第二专题整数的速算与巧算docx.docx

1、第二专题整数的速算与巧算docx【第二专题】整数的速算与巧算 前面专题初步讲解一些四则混合运算的性质和简单的运算技巧，但这仅仅是运算的基础，本专题将更深入地介绍一些特定的速算、巧算的方法，以提高计算的效率、节省计算时间，锻炼记忆力，提高综合分析、判断能力，提高解决复杂问题的能力。【必会知识点】一、基本运算定律加法交换律：加法结合律：乘法交换律：乘法结合律： 乘法分配律：（反过来就是提取公因数）减法的性质：除法的性质： （8）其他性质： a-(b-c)=a-b+c=a+c-b a-(b+c)=a-b-c a(bc)=abc=acb积不变性质：同时乘以（或除以）同一个非零数，积不变，即： ab=(

2、an)(bn)=(an)(bn)(n0)商不变性质：被除数和除数除以（或乘以）同一个非0的数，商不变，即：ab=(an)(bn)=(an)(bn)(n0)在连除时，可以交换除数位置，商不变，如abc=acb在乘除混合运算中，被乘数、乘数（或除数）必须连同运算符号一起交换位置（即带符号搬家），如： abc=acb=bca上面的这些运算律，既可以从左到右顺着用，【尤其是】可以从右到左逆着用二、 在乘除运算中，去掉和添加括号的规则 【去括号原则：】 1、括号前是“”，去括号后，括号内的乘除符号不变，即：a（bc）=abc， a（bc）=abc 2、括号前是“”，去括号后，括号内的“”变为“”，“”变

3、为“”，即：a（bc）=abc， a（bc）=abc；【添括号原则：】1、加括号时，括号前是“”，原符号不变；但此时括号内不能有加减运算，只能有乘除运算； 即：abc=a（bc），abc=a（bc） ；2、括号前是“”，其中“”号变成“”号，“”变为“”， 但此时括号内不能有加减运算，只能有乘除运算 即，abc=a（bc）， abc=a（bc）。（13）两个数之积除以两个数之积等于分别相除后在相乘，即，（ab）（cd）=（ac）（bd）=（ad）（bc）【多背勤背，灵活运用，尤其逆运算】【概念】1什么是补数？ 两个数相加，若能恰好凑成整十、整百、整千、整万，就把其中的一个数叫做另一个数的“补数

4、”。如：1+9=10，3+7=10， 2+8=10，4+6=10， 5+5=10。又如：11+89=100，3367=100，22+78=100，44+56=100， 55+45=100，这些都互为补数。对于一个较大的数，如何能很快地算出它的“补数”来呢？一般来说，可以这样“凑”数：从最高位凑起，使各位数字相加得9，到最后个位数字相加得10。 如： 8765512345， 4680253198， 8736212638 【要求】 补数要达到看见一个数马上想到他的补数的程度【 必背的固定算式】A、式中含有25、125、（或4、8）的情况的425=1425=100，825=2425=200,1225

5、=3425=300 1625=4425=4002025=5425=5002425=6425=6002825=7425=7003225=8425=8003625=9425=900 8125=18125=1000，16125=28125=2000,24125=38125=3000 32125=48125=400040125=58125=500048125=68125=600056125=78125=700064125=88125=800072125=98125=900062516=10000（注意）245=120 与254=100 别混了B、计算结果为“11”的19+2=11 1111=12112

6、9+3=111 111111=123211239+4=1111 11111111=123432112349+5=11111 1111111111=123454321123459+6=111111 111111111111=123456543211234569+7=1111111 11111111111111=123456765432112345679+8=11111111 1111111111111111=123456787654321123456789+9=111111111(等于123456799=11111111）计算结果为“88”的997=88 9896=888 98795=8888

7、987694=88888 9876593=888888 98765492=8888888 987654391=88888888计算结果为“10”的1999=100 118989=1000 11179879=10000 1111698769=100000 111115987659=1000000 11111149876549=10000000 1111111398765439=100000000 111111112987654329=1000000000 11111111119876543219=10000000000数字142857循环的1428572=285714 1428573=42857

8、1 1428574=571428 1428575=714285 1428576=857142 1428577=999999 其他的可以化为（n-2,3,4,5,6的形式），转化为加法算式如14285711=142857（6+5） =1428576+1428575=857142+714285=1571427C、几个质数连乘积的，（啥叫质数？需要学会） 质数（素数）：一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这样的数叫做质数（素数）互质数：公约数只有1的两个数，叫做互质数。 （如：5和6，8和9等） 71113=1001 1331=403，1337=481,373=111D、常见数的平方、立方1=1

9、2=4 3=9 4=16 5=25 6=36 7=49 8=64 9=81 10=100 11=121 12=144 13=169 14=196 15=225 16=256 17=289 18=324 19=361 20=400 25=625302=90402=1600502=2500602=3600702=4900802=6400352=1225452=2025552=3025652=4225752=5625852 =72251=1 2=8 3=27 4=64 5=125 6=216 7=343 8=512 9=729 10=1000E、分数、小数与百分数的关系1/2=0.5=50% 1/4

10、=0.25=25% 2/4=0.5=50% 3/4=0.75=75%1/5=0.2=20% 2/5=0.40=40% 3/5=0.6=60% 4/5=0.8=80%1/8=0.125=12.5% 2/8=0.25=25% 3/8=0.375=37.5% 4/8=0.500=50% 5/8=0.625=62.5% 6/8=0.7=70% 7/8=0.875=87.5% 1/10=0.1=10% 3/10=0.3=30% 1/20=0.05=5% 3/20=0.15=15% 1/25=0.04=4% 2/25=0.08=8% 1/50=0.02=2% 3/50=0.06=6% 1/100=0.01

11、=1% 1/125=0.008=0.8% 2/125=0.016=1.6% 1/30.333=33.3% 2/30.667=66.7% 1/60.167=16.7% 5/60.833=83.3% F、关于的数（结果保留2位小数即可）13.14 26.28 39.42 412.56 515.7 618.84 721.98 825.12 928.26 1031.4 1134.54 1237.68 1340.82 1443.96 1547.1 1650.24 2062.8 2475.36 2578.5 36113.04 48=150.7249=153.8664=200.9672=226.0875 =

12、235.5G、100以内质数 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、 47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97 H、关于时间的 1世纪=100年 一年的天数，平年365日、闰年366日 ； 1日=24小时 1小时=60分=3600秒， 1分=60秒 ； 1年有4个季度；每个季度有3个月；1年有12个月 ； 1、3、5、7、8、10、12月是大月，每月有31天； 4、6、9、11月是小月，每月有30天。 平年的2月是28天，闰年的2月是29天。关于闰年（年份是100的倍数，如果能被400整除的，那一年是闰年；年份数不是100的倍数，如

13、果能被4整除的，那一年是闰年）I、100以内合数的分解4=22； 6=23； 8=222； 9=33；10=25； 12=223； 14=27； 15=35；16=2222； 18=233； 20=225； 21=37；22=211； 24=2223； 25=55； 26=213；27=333； 28=227； 30=235； 32=22222；33=311； 34=217； 35=57； 36=2233；38=219； 39=313； 40=2225； 42=237；44=2211； 45=335； 46=223； 48=22223；49=77； 50=255； 51=317； 52=221

14、3；54=2333； 55=511； 56=2227； 57=319；58=229； 60=2235； 62=231； 63=337；64=222222； 65=513； 66=2311； 68=2217；69=323； 70=257； 72=22233； 74=237；75=355； 76=2219； 77=711； 78=2313；80=22225； 81=3333； 82=241； 84=2237；85=517； 86=243； 87=329； 88=22211；90=2335； 91=713； 92=2223； 93=331；94=247； 95=519； 96=222223； 98=

15、277；99=3311； 100=2255；J、关于两个数相乘，确定个位数的1）末位数为6的，需要乘数末位是6和6，或者4和9,或者2和3，或者1和6，或者2和8，或者4和4，或者7和8；2）末位数为4的，需要乘数末位是2和7，或者3和8,或者2和2，或者1和4，或者4和6，或者6和9,或者8和8；K、其他两位数乘法规则1)两位数101 公式： 两位数重复两次 例：45101=4545 2)三位数1001 公式： 三位数重复两次 例：2341001=234234 3) 四位数10001 公式： 四位数重复两次 例：123410001=12341234 （以上经常反算）4)两位数99 公式：丢1

16、凑百 例：2399=2277 23-1=22放前面 100-23=77放后面 特殊：9999=9801 99-1=98放前面 100-99=01放后面 5)三位数999 公式：丢1凑千 例：123999=122877 123-1=122放前面 1000-123=877放后面6)四位数9999 公式：丢1凑万 例：12349999=12338766 7) 两位数11 公式：头作头，尾作尾，两数相加放中间 例： 5211=572 5放前 2放后 5+2=7放中间 特殊：8911=979 8放前 9放后 8+9=17放中间 17的1要进位，所以8+1=9 8）个位为5的两位数的自乘：十位数字（十位数

17、字加1）100+25如1515=1（1+1）100+25=2252525=2（2+1）100+25=6253535=3（3+1）100+25=12254545=4（4+1）100+25=20255555=5（5+1）100+25=302565656（6+1）100+25=42257575=7（7+1）100+2556258585=8（8+1）100+25=722595959（9+1）100259025【 常用的计算方法】 在熟练掌握前面公式、定律及固定结果的基础上，还需要掌握一些解题技巧，即根据算式中数的不同特点，巧妙利用以上结论进行化简，进而快速得出结果。一、分组法：根据运算定律、运算性质以

18、及和差积商的变化规律，对算式中的运算进行重新组合。【例题1】 6324-（789-676） =6324-789+676 （去括号原则） =（6324+676）-789（结合律） =7000-789=6211【例题2】 52524 =（52）（254）（交换律） =10100=1000【例题3】 2/5+0.23+0.77+3/5 =(2/5+3/5)+(0.23+0.77) =1+1=2【巩固】 计算 1753417566（分配律） 6712+67356752+67 54999945二、补数凑整法：对于算式中接近整十、整百的数，有时补上一个数，使其变成整十、整百的数，可简化计算。【例题1】53

19、6-198 =536-（200-2） =536-200+2=338【例题2】 4499 =44（100-1） =44100-44=4356【巩固】 （1）24+44+56（2）53+36+47 （3）123101 （4）12399三、基准数法： 若干个都接近某数的数相加，可以把某数作为基准数，然后把基准数与相加数的个数相乘，再加上各数与基准数的差，即可得到计算结果，好处是化为个位数相加。【例题1】 31+35+32+28+29 =305+（1+5+2-2-1） =150+5=155【巩固】（1）计算：23+20+19+22+18+21 （2）计算：102+100+99+101+98 （3）计算

20、 78+768382+77807985 （4）计算 389387383385384386388 （5）计算（494249434938493949414943）6四、分解法： 在某些除法或乘法算式中，可以把一些数先分解开来进行恒等变换，使计算简便。【例题1】251.2532 =251.25（48） =（254）（1.258） =10010=1000【例题2】56035 =560(75) =56075 =805=16 五、转化法：1.某数乘或除以5,25,125，可以用102,1004,10008代替5,25,125，然后计算。2.一个数除以另一个不为0的数，可以转化为成这个数的倒数。【例题1】7

21、85 =78（102）=78102=7802=390【例题2】379/4+1254/9 =374/9+1254/9 =（37+125）4/9 =1624/9=72六、公式法：1等差数列求和公式：a1为第一项，an为第n项，n为项数,sn为前n项和，d为公差常见数列前n项和，11+2+3+4+.+100=(1+100)100/2=505022+4+6+.+98+100=2(1+2+3+.+49+50) =2(1+50)50/2=255031+3+5+ .+99=(1+99)50/2=2500412+22+32+.+n2=n(n+1)(2n+1)/6513+23+33+.+n3=n(n+1)/22

22、【例题1】2+4+6+.+198+200 =2（1+2+3+4+.+100） =2(1+100)100/2 =101100=10100 或者=（2+200）100/2=10100【巩固】 计算（1351989）（2461988）2平方差公式：（互为反算）【例题1】 403397 =（400+3）（400-3） =4002-32=15991【例题2】1002-992+982-972+.+22-12 =（100-99）（100+99）+（98-97）（98+97）+.+（2-1）（2+1） =199+195+.+7+3 =(3+199)50/2=50503完全平方公式 （a+b) =a+2ab+b

23、 （a-b) =a-2ab+b【例题1】（a21）2（a21）2 =(a4-2a2+1)-(a4+2a2+1) =-2a2【例题2】99298100 =992(99+1)(99-1) =992-992+1=1七、其他类型：例1 计算999999999999999解：在涉及所有数字都是9的计算中，常使用凑整法.例如将999化成10001去计算.这是小学数学中常用的一种技巧. 999999999999999（101）（100-1）（10001）（10000-1） （100000-1）10100100010000100000-5111110-5111105.例2 计算1999991999919991

24、9919解：此题各数字中，除最高位是1外，其余都是9，仍使用凑整法.不过这里是加1凑整.（如 1991200） 19999919999199919919（199991）（199991）（19991）（1991） （191）520000020000200020020-5222220-522225.例3 计算 9999222233333334解：此题如果直接乘，数字较大，容易出错.如果将9999变为33333，规律就出现了. 99992222333333343333322223333333433336666333333343333（66663334）33331000033330000.例4 199

25、9999999解法1：199999999910009999999991000999（1999）100099910001000（9991）100010001000000.解法2：19999999991999999（1000-1）1999999000-999（1999-999）99900010009990001000000.【练习题】一、乘5、15、25、125（1）1745 （2）125198 （3）12572 （4）2512516 （5）192564125二、乘9、99、999（1）129 （2）1299（3）12999（4）123456789876543219（提示：123456789876

26、54321=1111111112）（5）2999+999999三、乘11、111、101（1）4511（2）5611（3）222211（4）245611（提示：可以用公式，另外，还有一种小技巧 一个数乘以11，“两头一拉，中间相加”）（5）37101（6）85101（7）79101（8）2310101（9）69101010101（10）1231001（11）3985100010001（12）456710001（13）438691000010000100001 （提示：重叠数问题）（14）1000001999999=（15）2357111317（2004-2）= 57223949=（提示：乘法凑整之乘11、111、101 ，71113=1001） （16）2007-711132（17）295295（18）705705 （提示：把29、70看成一个数的问题）【解析】（17）（18）（19）712788 （20）17081792（21）11278927（22）8179217【解析】我们先将互补的概念推广一下，当两个数的和是10，100，1000，时，这两个数互为补数，简称互补当被乘数与乘数前面的几位数相同，后面的几位数互补时，这个算式就是“同补”型；当被乘数与乘数前面的几位数互补，后面的几位数相同时，这个乘法算式就是“补同”型（19） 的结果后四位应该是，第四位之前则是