第二专题整数的速算与巧算docx.docx

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【第二专题】整数的速算与巧算

前面专题初步讲解一些四则混合运算的性质和简单的运算技巧，但这仅仅是运算的基础，本专题将更深入地介绍一些特定的速算、巧算的方法，以提高计算的效率、节省计算时间，锻炼记忆力，提高综合分析、判断能力，提高解决复杂问题的能力。

【必会知识点】

一、基本运算定律

⑴加法交换律：

⑵加法结合律：

⑶乘法交换律：

⑷乘法结合律：

⑸乘法分配律：

（反过来就是提取公因数）

⑹减法的性质：

⑺除法的性质：

（8）其他性质：

a-（b-c）=a-b+c=a+c-b

a-（b+c）=a-b-c

a÷（b÷c）=a÷b×c=a×c÷b

[积不变性质]：

同时乘以（或除以）同一个非零数，积不变，即：

a×b=（a×n）×（b÷n）=（a÷n）×（b×n）（n≠0）

[商不变性质]：

被除数和除数除以（或乘以）同一个非0的数，商不变，即：

a÷b=（a×n）÷（b×n）=（a÷n）÷（b÷n）（n≠0）

[在连除时，可以交换除数位置，商不变]，如a÷b÷c=a÷c÷b

[在乘除混合运算中，被乘数、乘数（或除数）必须连同运算符号一起交换位置（即带符号搬家）[，如：

a×b÷c=a÷c×b=b÷c×a

上面的这些运算律，既可以从左到右顺着用，【尤其是】可以从右到左逆着用．

二、在乘除运算中，去掉和添加括号的规则

【去括号原则：

】

1、括号前是“×”，去括号后，括号内的乘除符号不变，

即：

a×（b×c）=a×b×c，a×（b÷c）=a×b÷c

2、括号前是“÷”，去括号后，括号内的“×”变为“÷”，“÷”变为“×”，即：

a÷（b×c）=a÷b÷c，a÷（b÷c）=a÷b×c；

【添括号原则：

】

1、加括号时，括号前是“×”，原符号不变；但此时括号内不能有加减运算，只能有乘除运算；

即：

a×b×c=a×（b×c），a×b÷c=a×（b÷c）；

2、括号前是“÷”，其中“×”号变成“÷”号，“÷”变为“×”，

但此时括号内不能有加减运算，只能有乘除运算．

即，a÷b÷c=a÷（b×c），a÷b×c=a÷（b÷c）。

（13）两个数之积除以两个数之积等于分别相除后在相乘，

即，（a×b）÷（c×d）=（a÷c）×（b÷d）=（a÷d）×（b÷c）

【多背勤背，灵活运用，尤其逆运算】

【概念】

1．什么是补数？

两个数相加，若能恰好凑成整十、整百、整千、整万„，就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”。

如：

1+9=10，3+7=10，2+8=10，4+6=10，5+5=10。

又如：

11+89=100，33＋67=100，

22+78=100，44+56=100，55+45=100，这些都互为补数。

对于一个较大的数，如何能很快地算出它的“补数”来呢？

一般来说，可以这样“凑”数：

从最高位凑起，使各位数字相加得9，到最后个位数字相加得10。

如：

87655→12345，46802→53198，87362→12638

【要求】补数要达到看见一个数马上想到他的补数的程度

【必背的固定算式】

A、式中含有25、125、（或4、8）的情况的

4×25=1×4×25=100，

8×25=2×4×25=200,

12×25=3×4×25=300

16×25=4×4×25=400

20×25=5×4×25=500

24×25=6×4×25=600

28×25=7×4×25=700

32×25=8×4×25=800

36×25=9×4×25=900

8×125=1×8×125=1000，

16×125=2×8×125=2000,

24×125=3×8×125=3000

32×125=4×8×125=4000

40×125=5×8×125=5000

48×125=6×8×125=6000

56×125=7×8×125=7000

64×125=8×8×125=8000

72×125=9×8×125=9000

625×16=10000              （注意） 24×5=120与25×4=100别混了

B、①计算结果为“11……”的

1×9+2=1111×11=121

12×9+3=111111×111=12321

123×9+4=11111111×1111=1234321

1234×9+5=1111111111×11111=123454321

12345×9+6=111111111111×111111=12345654321

123456×9+7=11111111111111×1111111=1234567654321

1234567×9+8=1111111111111111×11111111=123456787654321

12345678×9+9=111111111（等于12345679×9=11111111）

②计算结果为“88……”的

9×9＋7=88

98×9＋6=888

987×9＋5=8888

9876×9＋4=88888

98765×9＋3=888888

987654×9＋2=8888888

9876543×9＋1=88888888

③计算结果为“10……”的

19＋9×9=100

118＋98×9=1000

1117＋987×9=10000

11116＋9876×9=100000

111115＋98765×9=1000000

1111114＋987654×9=10000000

11111113＋9876543×9=100000000

111111112＋98765432×9=1000000000

1111111111＋987654321×9=10000000000

④数字142857循环的

142857×2=285714

142857×3=428571

142857×4=571428

142857×5=714285

142857×6=857142

142857×7=999999

其他的可以化为（n-2,3,4,5,6的形式），转化为加法算式

如142857×11=142857×（6+5）

=142857×6+142857×5=857142+714285=1571427

C、几个质数连乘积的，（啥叫质数？

需要学会）

质数（素数）：

一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这样的数叫做质数（素数）

互质数：

公约数只有1的两个数，叫做互质数。

（如：

5和6，8和9等）

7×11×13=1001

13×31=403，13×37=481,      37×3=111         

D、常见数的平方、立方

1²=12²=43²=94²=165²=256²=367²=498²=649²=8110²=100

11²=12112²=14413²=16914²=19615²=22516²=25617²=289

18²=32419²=36120²=40025²=625

 302=90  402=1600       502=2500     602=3600       702=4900   802=6400    352=1225    452=2025     552=3025 652=4225    752=5625     852=7225

1³=12³=83³=274³=645³=1256³=2167³=3438³=5129³=72910³=1000

E、分数、小数与百分数的关系

1/2=0.5=50%1/4=0.25=25%2/4=0.5=50%3/4=0.75=75%

1/5=0.2=20%2/5=0.40=40%3/5=0.6=60%4/5=0.8=80%

1/8=0.125=12.5%2/8=0.25=25%3/8=0.375=37.5%

4/8=0.500=50%5/8=0.625=62.5%6/8=0.7=70%

7/8=0.875=87.5%

1/10=0.1=10%3/10=0.3=30%……

1/20=0.05=5%3/20=0.15=15%……

1/25=0.04=4%2/25=0.08=8%……

1/50=0.02=2%3/50=0.06=6%……

1/100=0.01=1%

1/125=0.008=0.8%2/125=0.016=1.6%……

1/3≈0.333=33.3%2/3≈0.667=66.7%

1/6≈0.167=16.7%5/6≈0.833=83.3%

F、关于π的数（结果保留2位小数即可）

1π＝3.142π＝6.283π＝9.424π＝12.56

5π＝15.76π＝18.847π＝21.988π＝25.12

9π＝28.2610π＝31.411π＝34.5412π＝37.68

13π＝40.8214π＝43.9615π＝47.116π＝50.24

20π＝62.824π＝75.3625π＝78.5

36π＝113.0448π=150.72          49π=153.86   

 64π=200.96        72π=226.08          75π=235.5

G、100以内质数

2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97

H、关于时间的

1世纪=100年

一年的天数，平年365日、闰年366日；

1日=24小时1小时=60分=3600秒，1分=60秒；

1年有4个季度；每个季度有3个月；1年有12个月；

1、3、5、7、8、10、12月是大月，每月有31天；

4、6、9、11月是小月，每月有30天。

平年的2月是28天，闰年的2月是29天。

关于闰年（年份是100的倍数，如果能被400整除的，那一年是闰年；年份数不是100的倍数，如果能被4整除的，那一年是闰年）

I、100以内合数的分解

4=2×2；6=2×3；8=2×2×2；9=3×3；

10=2×5；12=2×2×3；14=2×7；15=3×5；

16=2×2×2×2；18=2×3×3；20=2×2×5；21=3×7；

22=2×11；24=2×2×2×3；25=5×5；26=2×13；

27=3×3×3；28=2×2×7；30=2×3×5；32=2×2×2×2×2；

33=3×11；34=2×17；35=5×7；36=2×2×3×3；

38=2×19；39=3×13；40=2×2×2×5；42=2×3×7；

44=2×2×11；45=3×3×5；46=2×23；48=2×2×2×2×3；

49=7×7；50=2×5×5；51=3×17；52=2×2×13；

54=2×3×3×3；55=5×11；56=2×2×2×7；57=3×19；

58=2×29；60=2×2×3×5；62=2×31；63=3×3×7；

64=2×2×2×2×2×2；65=5×13；66=2×3×11；68=2×2×17；

69=3×23；70=2×5×7；72=2×2×2×3×3；74=2×37；

75=3×5×5；76=2×2×19；77=7×11；78=2×3×13；

80=2×2×2×2×5；81=3×3×3×3；82=2×41；84=2×2×3×7；

85=5×17；86=2×43；87=3×29；88=2×2×2×11；

90=2×3×3×5；91=7×13；92=2×2×23；93=3×31；

94=2×47；95=5×19；96=2×2×2×2×2×3；98=2×7×7；

99=3×3×11；100=2×2×5×5；

J、关于两个数相乘，确定个位数的

1）末位数为6的，需要乘数末位是6和6，或者4和9,或者2和3，或者1和6，或者2和8，或者4和4，或者7和8；

2）末位数为4的，需要乘数末位是2和7，或者3和8,或者2和2，或者1和4，或者4和6，或者6和9,或者8和8；

K、其他两位数乘法规则

1）两位数×101公式：

两位数重复两次例：

45×101=4545

2）三位数×1001公式：

三位数重复两次例：

234×1001=234234

3）四位数×10001公式：

四位数重复两次例：

1234×10001=12341234

（以上经常反算）

4）两位数×99公式：

丢1凑百

例：

23×99=227723-1=22放前面100-23=77放后面

特殊：

99×99=980199-1=98放前面100-99=01放后面

5）三位数×999公式：

丢1凑千

例：

123×999=122877123-1=122放前面1000-123=877放后面

6）四位数×9999公式：

丢1凑万

例：

1234×9999=12338766

7）两位数×11公式：

头作头，尾作尾，两数相加放中间

例：

52×11=5725放前2放后5+2=7放中间

特殊：

89×11=9798放前9放后8+9=17放中间17的1要进位，所以8+1=9

8）个位为5的两位数的自乘：

十位数字×（十位数字加1）×100+25

　　如15×15=1×（1+1）×100+25=225

　　25×25=2×（2+1）×100+25=625

　　35×35=3×（3+1）×100+25=1225

　　45×45=4×（4+1）×100+25=2025

　　55×55=5×（5+1）×100+25=3025

　　65×65＝6×（6+1）×100+25=4225

　　75×75=7×（7+1）×100+25＝5625

　　85×85=8×（8+1）×100+25=7225

　　95×95＝9×（9+1）×100＋25＝9025

【常用的计算方法】

在熟练掌握前面公式、定律及固定结果的基础上，还需要掌握一些解题技巧，即根据算式中数的不同特点，巧妙利用以上结论进行化简，进而快速得出结果。

一、分组法：

根据运算定律、运算性质以及和差积商的变化规律，对算式中的运算进行重新组合。

【例题1】6324-（789-676）

=6324-789+676（去括号原则）

=（6324+676）-789（结合律）

=7000-789=6211

【例题2】5×25×2×4

=（5×2）×（25×4）（交换律）

=10×100=1000

【例题3】2/5+0.23+0.77+3/5

=（2/5+3/5）+（0.23+0.77）

=1+1=2

【巩固】计算①175×34＋175×66（分配律）

②67×12+67×35＋67×52+67

③54＋99×99＋45

二、补数凑整法：

对于算式中接近整十、整百……的数，有时补上一个数，使其变成整十、整百……的数，可简化计算。

【例题1】536-198

=536-（200-2）

=536-200+2=338

【例题2】44×99

=44×（100-1）

=44×100-44=4356

【巩固】

（1）24+44+56

（2）53+36+47

　　（3）123×101

（4）123×99

三、基准数法：

若干个都接近某数的数相加，可以把某数作为基准数，然后把基准数与相加数的个数相乘，再加上各数与基准数的差，即可得到计算结果，好处是化为个位数相加。

【例题1】31+35+32+28+29

=30×5+（1+5+2-2-1）

=150+5=155

【巩固】

（1）计算：

23+20+19+22+18+21

（2）计算：

102+100+99+101+98

（3）计算78+76＋83＋82+77＋80＋79＋85

（4）计算389＋387＋383＋385＋384＋386＋388

（5）计算（4942＋4943＋4938＋4939＋4941＋4943）÷6

四、分解法：

在某些除法或乘法算式中，可以把一些数先分解开来进行恒等变换，使计算简便。

【例题1】25×1.25×32

=25×1.25×（4×8）

=（25×4）×（1.25×8）

=100×10=1000

【例题2】560÷35

=560÷（7×5）

=560÷7÷5

=80÷5=16

五、转化法：

1.某数乘或除以5,25,125，可以用10÷2,100÷4,1000÷8代替5,25,125，然后计算。

2.一个数除以另一个不为0的数，可以转化为成这个数的倒数。

【例题1】78×5

=78×（10÷2）=78×10÷2=780÷2=390

【例题2】37÷9/4+125×4/9

=37×4/9+125×4/9

=（37+125）×4/9

=162×4/9=72

六、公式法：

1．等差数列求和公式：

a1为第一项，an为第n项，n为项数,sn为前n项和，d为公差

常见数列前n项和，

1　1+2+3+4+.....+100=（1+100）×100/2=5050

2　2+4+6+......+98+100=2×（1+2+3+......+49+50）

=2×（1+50）×50/2=2550

3　1+3+5+........+99=（1+99）×50/2=2500

4　12+22+32+.......+n2=n×（n+1）×（2n+1）/6

5　13+23+33+.......+n3=[n×（n+1）/2]2

【例题1】2+4+6+......+198+200

=2×（1+2+3+4+.....+100）

=2×[（1+100）×100/2]

=101×100=10100

或者=（2+200）×100/2=10100

【巩固】计算（1＋3＋5＋…＋1989）－（2＋4＋6＋…＋1988）

2．平方差公式：

（互为反算）

【例题1】403×397

=（400+3）×（400-3）

=4002-32=15991

【例题2】1002-992+982-972+......+22-12

=（100-99）×（100+99）+（98-97）×（98+97）+......+（2-1）×（2+1）

=199+195+......+7+3

=（3+199）×50/2=5050

3．完全平方公式

（a+b）²=a²+2ab+b²

     （a-b）²=a²-2ab+b²

【例题1】（a2－1）2－（a2＋1）2

=（a4-2a2+1）-（a4+2a2+1）

=-2a2

【例题2】992－98×100

=992－（99+1）×（99-1）

=992-992+1=1

七、其他类型：

例1计算9＋99＋999＋9999＋99999

　　解：

在涉及所有数字都是9的计算中，常使用凑整法.例如将999化成1000—1去计算.这是小学数学中常用的一种技巧.

　　9＋99＋999＋9999＋99999

　　＝（10－1）＋（100-1）＋（1000－1）＋（10000-1）

　　＋（100000-1）

　　＝10＋100＋1000＋10000＋100000-5

　　＝111110-5

　　＝111105.

例2计算199999＋19999＋1999＋199＋19

　　解：

此题各数字中，除最高位是1外，其余都是9，仍使用凑整法.不过这里是加1凑整.（如199＋1＝200）

　　199999＋19999＋1999＋199＋19

　　＝（19999＋1）＋（19999＋1）＋（1999＋1）＋（199＋1）

　　＋（19＋1）－5

　　＝200000＋20000＋2000＋200＋20-5

　　＝222220-5

＝22225.

例3计算9999×2222＋3333×3334

　　解：

此题如果直接乘，数字较大，容易出错.如果将9999变为3333×3，规律就出现了.

　　9999×2222＋3333×3334

　　＝3333×3×2222＋3333×3334

　　＝3333×6666＋3333×3334

　　＝3333×（6666＋3334）

　　＝3333×10000

　　＝33330000.

例41999＋999×999

　　解法1：

1999＋999×999

　　＝1000＋999＋999×999

　　＝1000＋999×（1＋999）

　　＝1000＋999×1000

　　＝1000×（999＋1）

　　＝1000×1000

　　＝1000000.

　　解法2：

1999＋999×999

　　＝1999＋999×（1000-1）

　　＝1999＋999000-999

　　＝（1999-999）＋999000

　　＝1000＋999000

＝1000000.

【练习题】

一、乘5、15、25、125

（1）17×4×5

（2）125×19×8

（3）125×72

（4）25×125×16

（5）19×25×64×125

二、乘9、99、999

（1）12×9

（2）12×99

（3）12×999

（4）12345678987654321×9（提示：

12345678987654321=1111111112）

（5）2999+999×999

三、乘11、111、101

（1）45×11

（2）56×11

（3）2222×11

（4）2456×11

（提示：

可以用公式

，另外，还有一种小技巧——一个数乘以11，“两头一拉，中间相加”）

（5）37×101

（6）85×101

（7）79×101

（8）23×10101

（9）69×101010101

（10）123×1001

（11）3985×100010001

（12）4567×10001

（13）43869×1000010000100001

（提示：

重叠数问题）

（14）1000001×999999=

（15）2×3×5×7×11×13×17÷（2004-2）=

5×7×22×39×49=

（提示：

乘法凑整之乘11、111、101，7×11×13=1001）

（16）2007-7×11×13×2

（17）295×295

（18）705×705

（提示：

把29、70看成一个数的问题）

【解析】（17）

（18）

（19）712×788（20）1708×1792（21）1127×8927

（22）817×9217

【解析】

我们先将互补的概念推广一下，当两个数的和是10，100，1000，

时，这两个数互为补数，简称互补．

当被乘数与乘数前面的几位数相同，后面的几位数互补时，这个算式就是“同补”型；当被乘数与乘数前面的几位数互补，后面的几位数相同时，这个乘法算式就是“补同”型．

（19）

的结果后四位应该是

，第四位之前则是