高考数学文科二轮复习专题6 第2讲 概率及其与统计的交汇问题.docx

1、高考数学文科二轮复习专题6 第2讲 概率及其与统计的交汇问题第2讲 概率及其与统计的交汇问题高考定位 1.以选择题、填空题的形式考查古典概型、几何概型的基本应用，同时渗透互斥事件、对立事件；2.概率常与统计知识结合在一起命题，主要以解答题形式呈现，中档难度.真题感悟1.(2016全国卷)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )10B.58C.381040 84015 5解析 至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为 .答案 B2.(2016全国卷)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花

2、种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )A.13B.12C.23D.566 3解析 从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下2种颜色的花种在另一个花坛的种数有：红黄白紫、红白黄紫、红紫白黄、黄白红紫、黄紫红白、白紫红黄，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有：红黄白紫、红白黄紫、黄紫红白、白紫红黄，共4种.故所求概4 2率为P.答案 C3.(2017全国卷)从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )A.110B.15C.310D.25解

3、析 如下表所示，表中的点横坐标表示第一次取到的数，纵坐标表示第二次取到的数11(1，1)2(1，2)3(1，3)4(1，4)5(1，5)2345(2，1)(3，1)(4，1)(5，1)(2，2)(3，2)(4，2)(5，2)(2，3)(3，3)(4，3)(5，3)(2，4)(3，4)(4，4)(5，4)(2，5)(3，5)(4，5)(5，5)25 5总计有25种情况，满足条件的有10种，10 2所以所求概率为 .答案 D4.(2017全国卷)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的

4、概率是( )A.14B.8C.12D.4解析 设正方形的边长为2，则面积S正方形4.又正方形内切圆的面积S12.所以根据对称性，黑色部分的面积S黑2.由几何概型的概率公式，概率P8.n 基本事件总数答案 B考点整合1.古典概型的概率m A中所含的基本事件数(1)公式P(A) .(2)古典概型的两个特点：所有可能出现的基本事件只有有限个；每个基本事件出现的可能性相等.2.几何概型的概率构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）(2)几何概型应满足两个条件：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；每个基本事件出现的可能性相等.3.概率的性质及互斥事件的概

5、率(1)概率的取值范围：0P(A)1.(2)必然事件的概率：P(A)1.(3)不可能事件的概率：P(A)0.(4)若A，B互斥，则P(AB)P(A)P(B)，特别地P(A)P(A)1.热点一 几何概型【例1】 (1)(2016全国卷)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A.13B.12C.23D.342(2)(2017日照质检)如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1，0)，且点C与点D在函数f(x)x1，x0， 1 的图象上.若在矩形ABCD内随机取一点

6、，则此点取自阴影部分的概率等于( )x1，x0A.16B.14C.38D.12解析 (1)如图所示，画出时间轴：40 22小明到达的时间会随机的落在图中线段AB上，而当他的到达时间落在线段AC或DB上时，才能保证他等1010 1车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率P .1(2)因为四边形ABCD为矩形，B(1，0)且点C和点D分别在直线yx1和yx1上，所以C(1，2)，D(2，2)，E(0，1)，则A(2，0).1 3因此S矩形ABCD6，S阴影21|CD|2.32 1由几何概型，所求事件的概率P.答案 (1)B (2)B探究提高 1.几何概型适用条件：当构成试验的结果的区域为长度

7、、面积、体积时，应考虑使用几何概型求解.2.求解关键：寻找构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域.易错警示 在计算几何概型时，对应的是区间、区域还是几何体，一定要区分开来，否则结论不正确.ex，0x1，【训练1】(1)(2017榆林二模)若函数f(x) 在区间0，e上随机取一个实数x，则lnxe，1xef(x)的值不小于常数e的概率是( )eA.1e1B.11e1e(2)(2016全国卷)从区间0，1随机抽取2n个数x1，x2，xn，y1，y2，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个

8、，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为( )A.4nmB.2nmC.4mnD.2mne e解析 (1)当0x1时，恒有f(x)exe，不满足题意.当1xe时，f(x)lnxe.由lnxee，得1xe.e1 1所求事件的概率P 1.(2)如图，数对(xi，yi)(i1，2，n)表示的点落在边长为1的正方形OABC内(包括边界)，两数的平方和小于11的数对表示的点落在半径为1的四分之一圆(阴影部分)内.由几何概型的概率公式可得n12，故n.答案 (1)B (2)C热点二 古典概型的概率【例2】(2016山东卷)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次

9、，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：16 8 16若xy3，则奖励玩具一个；若xy8则奖励水杯一个；其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动.(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.解 (1)用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间与点集S(x，y)|xN，yN，1x4，1y4一一对应.因为S中元素的个数是4416.所以基本事件总数n16.(1)记“xy3”为事件A，则事件A包含的基本事件数共5个，即(1，1)，(1，2)，(1

10、，3)，(2，1)，(3，1)，5 516 16(2)记“xy8”为事件B，“3xy8”为事件C.则事件B包含的基本事件数共6个.即(2，4)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4).6 316 8事件C包含的基本事件数共5个，即(1，4)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4，1).5 3 5所以P(C) .因为 ，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.探究提高 1.求古典概型的概率的关键是正确列举出基本事件的总数和待求事件包含的基本事件数.2.两点注意：(1)对于较复杂的题目，列出事件数时要正确分类，分类时应不重不漏.(2)当直接求解有困难时，可考虑求其对立事件

11、的概率.【训练2】(2017昆明诊断)某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段40，50)，50，60)，60，70)，70，80)，80，90)，90，100进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图(如下).4010(1)体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”.已知该校高一年级有1000名学生，试估计该校高一年级中“体育良好”的学生人数；(2)为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在60，70)和80，90)的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在6

12、0，70)的概率.解 (1)由折线图，知样本中体育成绩大于或等于70分的学生有1431330(人).30所以该校高一年级中，“体育良好”的学生人数大约有1000 750(人).(2)设“至少有1人体育成绩在60，70)”为事件M，记体育成绩在60，70)的数据为A1，A2，体育成绩在80，90)的数据为B1，B2，B3，则从这两组数据中随机抽取2个，所有可能的结果有10种，即(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3).而事件M的结果有7种，即(A1，A2)，(A1，B1)，(A1

13、，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3).7因此事件M的概率P(M) .热点三 概率与统计的综合问题【例3】 (2017合肥质检)一企业从某条生产线上随机抽取100件产品，测量这些产品的某项技术指标值x，得到如下的频率分布表：x频数11，13)213，15)1215，17)3417，19)3819，21)1021，23)4(1)作出样本的频率分布直方图，并估计该技术指标值x的平均数和众数；(2)若x13或x21，则该产品不合格.现从不合格的产品中随机抽取2件，求抽取的2件产品中技术指标值小于13的产品恰有1件的概率.解 (1)频率分布直方图为估计平均数为x120

14、.02140.12160.34180.38200.10220.0417.08.由频率分布直方图，x17，19)时，矩形面积最大，因此估计众数为18.(2)记技术指标值x13的2件不合格产品为a1，a2，技术指标值x21的4件不合格产品为b1，b2，b3，b4，则从这6件不合格产品中随机抽取2件包含如下基本事件(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，b4)，(b2，b3)，(b2，b4)，(b3，b4)，共15个基本事件.记抽取的2件产品中技术指标值小于

15、13的产品恰有1件为事件M，则事件M包含如下基本事件(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，共8个基本事件.8故抽取2件产品中技术指标值小于13的产品恰有1件的概率为P .探究提高 1.概率与统计的综合题一般是先给出样本数据或样本数据的分布等，在解题中首先要处理好数据，如数据的个数、数据的分布规律等，即把数据分析清楚，然后再根据题目要求进行相关计算.2.在求解该类问题要注意两点：(1)明确频率与概率的关系，频率可近似替代概率.(2)此类问题中的概率模型多是古典概型，在求解时，要明确基本事件的构成.【训练3】

16、(2017成都诊断)某省2017年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制.各等级划分标准为：85分及以上，记为A等；分数在70，85)内，记为B等；分数在60，70)内，记为C等；60分以下，记为D等.同时认定A，B，C等为合格，D等为不合格.已知甲、乙两所学校学生的原始成绩均分布在50，100内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计.按照50，60)，60，70)，70，80)，80，90)，90，100的分组作出甲校样本的频率分布直方图如图1所示，乙校的样本中等级为C，D的所有数据的茎叶图如图2所示.(1)求图中x的值，并根据样本数据比

17、较甲、乙两校的合格率；(2)在乙校的样本中，从成绩等级为C，D的学生中随机抽取2名学生进行调研，求抽出的2名学生中至少有1名学生成绩等级为D的概率.解 (1)由题意，可知10x0.012100.056100.018100.010101，x0.004，甲学校的合格率为(1100.004)100%0.96100%96%. 50甲、乙两校的合格率均为96%.(2)由题意，将乙校的样本中成绩等级为C的4名学生记为C1，C2，C3，C4，成绩等级为D的2名学生记为D1，D2，则随机抽取2名学生的基本事件有C1，C2，C1，C3，C1，C4，C1，D1，C1，D2，C2，C3，C2，C4，C2，D1，C2

18、，D2，C3，C4，C3，D1，C3，D2，C4，D1，C4，D2，D1，D2，共15个基本事件.其中“至少有1名学生成绩等级为D”包含C1，D1，C1，D2，C2，D1，C2，D2，C3，D1，C3，D2，C4，D1，C4，D2，D1，D2，共9个基本事件.9 315 51.几何概型的概率计算主要考查与构成事件区域的长度、面积、体积有关的实际问题.考查难度不大，与平面区域、空间几何体、函数等结合是命题的一个方向.2.古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法：将基本事件按一定的顺序一一列举出来，适用于求解基本事件个数比较少的概率问题.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对

19、于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.3.当某事件的概率不易直接求解，但其对立事件的概率易求解时，可运用对立事件的概率公式(若事件A与事件B为对立事件，则P(A)P(B)1)，即用间接法求概率.一、选择题1 11.(2016天津卷)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为( )A.56B.25C.16D.13解析 设“两人下成和棋”为事件A，“甲获胜”为事件B.事件A与B是互斥事件，所以甲不输的概率P1 1 52 3 6答案 A2.(2016全国卷)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，

20、3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )A.815B.18C.1153015解析 小敏输入密码的所有可能情况如下：(M，1)，(M，2)，(M，3)，(M，4)，(M，5)，(I，1)，(I，2)，(I，3)，(I，4)，(I，5)，(N，1)，(N，2)，(N，3)，(N，4)，(N，5)，共15种.1而能开机的密码只有一种，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率为.答案 C3.(2017莆田质检)从区间(0，1)中任取两个数作为直角三角形两直角边的长，则所取的两个数使得斜边长度不大于1的概率是( )A.4C.12D.34解析 任取的两个数记为x，y，所在区域是正

21、方形OABC内部，而符合题意的x，y位于阴影区域内(不包括x，y轴).112故所求概率P .答案 B.4.(2017天津卷)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )A.45B.35C.25D.15解析 从5支彩笔中任取2支不同颜色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共10种，其中取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫，共4种.4 210 5答案 C5.有一底面半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点

22、P到点O的距离大于1的概率为( )A.13B.23C.34D.143 35（4） 9213V半球 1V圆柱 122 31 2故点P到点O的距离大于1的概率P1.答案 B二、填空题6.(2017江苏卷)记函数f(x)6xx2的定义域为D.在区间4，5上随机取一个数x，则xD的概率是_.解析 由6xx20，得2x3，即D2，3.3（2） 5所求事件的概率P .答案592a47.(2017黄山二模改编)从集合A2，4中随机抽取一个数记为a，从集合B1，3中随机抽取一个数1记为b，则f(x)ax2bx1在(，1上是减函数的概率为_.解析 依题意，数对(a，b)所有取值为(2，1)，(2，3)，(4，1

23、)，(4，3)共4种情况.记“f(x)在区间(，1上是减函数”为事件A.b则A发生时，x1，即ab事件A发生时，有(2，1)，(4，1)，(4，3)共3种情况.3故所求事件的概率P(A).答案348.(2016山东卷)在区间1，1上随机地取一个数k，则事件“直线ykx与圆(x5)2y29相交”发生的概率为_.解析 直线ykx与圆(x5)2y29相交的充要条件是圆心(5，0)到直线ykx的距离小于3.则|5k0|3333，解之得k，故所求事件的概率P.k212答案34三、解答题9.(2017山东卷)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游.

24、(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.解 (1)由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：A1，A2，A1，A3，A1，B1，A1，B2，A1，B3，A2，A3，A2，B1，A2，B2，A2，B3，A3，B1，A3，B2，A3，B3，B1，B2，B1，B3，B2，B3，共15个.所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有A1，A2，A1，A3，A2，A3，共3个.3 115 5(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有：A1

25、，B1，A1，B2，A1，B3，A2，B1，A2，B2，A2，B3，A3，B1，A3，B2，A3，B3，共9个.包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有2A1，B2，A1，B3，共2个，则所求事件的概率为P9.10.(2016全国卷)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数保费00.85a1a21.25a31.5a41.75a52a随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次数频数060150230330420510(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求P(A)的估计值；(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P(B)的估计值；(3)求续保人本年度的平均保费的估计值.6050200