当 1≤x≤e 时，f（x）＝ln x＋e.
由 ln x＋e≥e，得 1≤x≤e.
e－11
∴所求事件的概率 P＝＝1－ .
（2）如图，
数对（xi，yi）（i＝1，2，…，n）表示的点落在边长为 1 的正方形 OABC 内（包括边界），两数的平方和小于 1
1
π
的数对表示的点落在半径为 1 的四分之一圆（阴影部分）内.由几何概型的概率公式可得n＝ 12 ，故 π ＝ n .
答案
（1）B
（2）C
热点二古典概型的概率
【例 2】 （2016·山东卷）某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图
所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为 x，
y.奖励规则如下：
16 816
①若 xy≤3，则奖励玩具一个；
②若 xy≥8 则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶.
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动.
（1）求小亮获得玩具的概率；
（2）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.
解
（1）用数对（x，y）表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间 Ω 与点集 S＝{（x，y）|x∈N，y∈N，
1≤x≤4，1≤y≤4}一一对应.
因为 S 中元素的个数是 4×4＝16.
所以基本事件总数 n＝16.
（1）记“xy≤3”为事件 A，
则事件 A 包含的基本事件数共 5 个，
即（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（3，1），
55
1616
（2）记“xy≥8”为事件 B，“3＜xy＜8”为事件 C.
则事件 B 包含的基本事件数共 6 个.
即（2，4），（3，3），（3，4），（4，2），（4，3），（4，4）.
63
168
事件 C 包含的基本事件数共 5 个，
即（1，4），（2，2），（2，3），（3，2），（4，1）.
535
所以 P（C）＝.因为 ＞，
所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.
探究提高1.求古典概型的概率的关键是正确列举出基本事件的总数和待求事件包含的基本事件数.
2.两点注意：
（1）对于较复杂的题目，列出事件数时要正确分类，分类时应不重不漏.
（2）当直接求解有困难时，可考虑求其对立事件的概率.
【训练 2】 （2017·昆明诊断）某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取 40 名
学生的测试成绩，整理数据并按分数段[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]
进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如下）.
40
10
（1）体育成绩大于或等于 70 分的学生常被称为“体育良好”.已知该校高一年级有 1 000 名学生，试估计
该校高一年级中“体育良好”的学生人数；
（2）为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在[60，70）和[80，90）的样本学生中随机抽取 2 人，
求在抽取的 2 名学生中，至少有 1 人体育成绩在 [60，70）的概率.
解
（1）由折线图，知样本中体育成绩大于或等于 70 分的学生有 14＋3＋13＝30（人）.
30
所以该校高一年级中，“体育良好”的学生人数大约有 1 000×＝750（人）.
（2）设“至少有 1 人体育成绩在[60，70）”为事件 M，
记体育成绩在[60，70）的数据为 A1，A2，体育成绩在[80，90）的数据为 B1，B2，B3，则从这两组数据中随机
抽取 2 个，所有可能的结果有 10 种，即（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，
B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）.
而事件 M 的结果有 7 种，即（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3）.
7
因此事件 M 的概率 P（M）＝.
热点三概率与统计的综合问题
【例 3】（2017·合肥质检）一企业从某条生产线上随机抽取 100 件产品，测量这些产品的某项技术指标
值 x，得到如下的频率分布表：
x
频数
[11，13）
2
[13，15）
12
[15，17）
34
[17，19）
38
[19，21）
10
[21，23）
4
（1）作出样本的频率分布直方图，并估计该技术指标值 x 的平均数和众数；
（2）若 x<13 或 x≥21，则该产品不合格.现从不合格的产品中随机抽取 2 件，求抽取的 2 件产品中技术指标
值小于 13 的产品恰有 1 件的概率.
解
（1）频率分布直方图为
－
估计平均数为 x ＝12×0.02＋14×0.12＋16×0.34＋18×0.38＋20×0.10＋22×0.04＝17.08.
由频率分布直方图，x∈[17，19）时，矩形面积最大，因此估计众数为 18.
（2）记技术指标值 x<13 的 2 件不合格产品为 a1，a2，技术指标值 x≥21 的 4 件不合格产品为 b1，b2，b3，b4，
则从这 6 件不合格产品中随机抽取 2 件包含如下基本事件（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，b4），
（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，b4），（b1，b2），（b1，b3），（b1，b4），（b2，b3），（b2，b4），（b3，b4），共
15 个基本事件.
记抽取的 2 件产品中技术指标值小于 13 的产品恰有 1 件为事件 M，则事件 M 包含如下基本事件（a1，b1），
（a1，b2），（a1，b3），（a1，b4），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，b4），共 8 个基本事件.
8
故抽取 2 件产品中技术指标值小于 13 的产品恰有 1 件的概率为 P＝.
探究提高1.概率与统计的综合题一般是先给出样本数据或样本数据的分布等，在解题中首先要处理好数
据，如数据的个数、数据的分布规律等，即把数据分析清楚，然后再根据题目要求进行相关计算.
2.在求解该类问题要注意两点：
（1）明确频率与概率的关系，频率可近似替代概率.
（2）此类问题中的概率模型多是古典概型，在求解时，要明确基本事件的构成.
【训练 3】 （2017·成都诊断）某省 2017 年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用
等级制.各等级划分标准为：
85 分及以上，记为 A 等；分数在[70，85）内，记为 B 等；分数在[60，70）内，
记为 C 等；60 分以下，记为 D 等.同时认定 A，B，C 等为合格，D 等为不合格.已知甲、乙两所学校学生的
原始成绩均分布在[50，100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取 50 名学生的原始成绩作为样本进行
统计.按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出甲校样本的频率分布直方图
如图 1 所示，乙校的样本中等级为 C，D 的所有数据的茎叶图如图 2 所示.
（1）求图中 x 的值，并根据样本数据比较甲、乙两校的合格率；
（2）在乙校的样本中，从成绩等级为 C，D 的学生中随机抽取 2 名学生进行调研，求抽出的 2 名学生中至少
有 1 名学生成绩等级为 D 的概率.
解
（1）由题意，可知 10x＋0.012×10＋0.056×10＋0.018×10＋0.010×10＝1，∴x＝0.004，
∴甲学校的合格率为（1－10×0.004）×100%＝0.96×100%＝96%.
⎝50⎭
∴甲、乙两校的合格率均为 96%.
（2）由题意，将乙校的样本中成绩等级为 C 的 4 名学生记为 C1，C2，C3，C4，成绩等级为 D 的 2 名学生记为
D1，D2，
则随机抽取 2 名学生的基本事件有{C1，C2}，{C1，C3}，{C1，C4}，{C1，D1}，{C1，D2}，{C2，C3}，{C2，C4}，
{C2，D1}，{C2，D2}，{C3，C4}，{C3，D1}，{C3，D2}，{C4，D1}，{C4，D2}，{D1，D2}，共 15 个基本事件.
其中“至少有 1 名学生成绩等级为 D”包含{C1，D1}，{C1，D2}，{C2，D1}，{C2，D2}，{C3，D1}，{C3，D2}，
{C4，D1}，{C4，D2}，{D1，D2}，共 9 个基本事件.
93
155
1.几何概型的概率计算主要考查与构成事件区域的长度、面积、体积有关的实际问题 .考查难度不大，与
平面区域、空间几何体、函数等结合是命题的一个方向.
2.古典概型中基本事件数的探求方法
（1）列举法：
将基本事件按一定的顺序一一列举出来，适用于求解基本事件个数比较少的概率问题.
（2）树状图法：
适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题
目，常采用树状图法.
3.当某事件的概率不易直接求解，但其对立事件的概率易求解时，可运用对立事件的概率公式 （若事件 A
与事件 B 为对立事件，则 P（A）＋P（B）＝1），即用间接法求概率.
一、选择题
11
1.（2016·天津卷）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 ，甲获胜的概率是 ，则甲不输的概率为（）
A.
5
6
B.
2
5
C.
1
6
D.
1
3
解析设“两人下成和棋”为事件 A，“甲获胜”为事件 B.事件 A 与 B 是互斥事件，所以甲不输的概率 P
115
236
答案A
2.（2016·全国Ⅲ卷）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N 中的一个字
母，第二位是 1，2，3，4，5 中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（）
A.
8
15
B.
1
8
C.
1
15
30
15
解析小敏输入密码的所有可能情况如下：
（M，1），（M，2），（M，3），（M，4），（M，5），（I，1），（I，2），
（I，3），（I，4），（I，5），（N，1），（N，2），（N，3），（N，4），（N，5），共 15 种.
1
而能开机的密码只有一种，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率为 .
答案C
3.（2017·莆田质检）从区间（0，1）中任取两个数作为直角三角形两直角边的长，则所取的两个数使得斜边
长度不大于 1 的概率是（）
A. π
π
4
C.
1
2
D.
3
4
解析任取的两个数记为 x，y，所在区域是正方形 OABC 内部，而符合题意的 x，y 位于阴影区域内（不包
括 x，y 轴）.
1
π ×12
故所求概率 P＝＝.
答案B
.
4.（2017·天津卷）有 5 支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫 从这 5 支彩笔中任取 2
支不同颜色的彩笔，则取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为（）
A.
4
5
B.
3
5
C.
2
5
D.
1
5
解析从 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、
蓝紫、绿紫，共 10 种，其中取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫，共4 种.
42
105
答案C
5.有一底面半径为 1、高为 2 的圆柱，点 O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点 P
到点 O 的距离大于 1 的概率为（）
A.
1
3
B.
2
3
C.
3
4
D.
1
4
33
5－（－4） 9
2π
×13
V半球1
V圆柱π×12×23
12
故点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率 P＝1－ ＝ .
答案B
二、填空题
6.（2017·江苏卷）记函数 f（x）＝ 6＋x－x2的定义域为 D.在区间[－4，5]上随机取一个数 x，则 x∈D 的概
率是________.
解析由 6＋x－x2≥0，得－2≤x≤3，即 D＝[－2，3].
3－（－2）5
∴所求事件的概率 P＝＝ .
答案
5
9
2
a
4
7.（2017·黄山二模改编）从集合 A＝{2，4}中随机抽取一个数记为 a，从集合 B＝{1，3}中随机抽取一个数
1
记为 b，则 f（x）＝ ax2＋bx＋1 在（－∞，－1]上是减函数的概率为________.
解析依题意，数对（a，b）所有取值为（2，1），（2，3），（4，1），（4，3）共 4 种情况.
记“f（x）在区间（－∞，－1]上是减函数”为事件 A.
b
则 A 发生时，x＝－ ≥－1，即 a≥b
∴事件 A 发生时，有（2，1），（4，1），（4，3）共 3 种情况.
3
故所求事件的概率 P（A）＝ .
答案
3
4
8.（2016·山东卷）在区间[－1，1]上随机地取一个数 k，则事件“直线 y＝kx 与圆（x－5）2＋y2＝9 相交”
发生的概率为________.
解析直线 y＝kx 与圆（x－5）2＋y2＝9 相交的充要条件是圆心（5，0）到直线 y＝kx 的距离小于 3.
则
－ç－ ⎪
|5k－0| 3 3 3
＜3，解之得－ ＜k＜ ，故所求事件的概率 P＝ ＝ .
k2＋12
答案
3
4
三、解答题
9.（2017·山东卷）某旅游爱好者计划从 3 个亚洲国家 A1，A2，A3 和 3 个欧洲国家 B1，B2，B3 中选择 2 个国家
去旅游.
（1）若从这 6 个国家中任选 2 个 ，求这 2 个国家都是亚洲国家的概率；
（2）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选 1 个，求这 2 个国家包括 A1 但不包括 B1 的概率.
解
（1）由题意知，从 6 个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：
{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，
B2}，{A3，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，共 15 个.
所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有
{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共 3 个.
31
155
（2）从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有：
{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，共 9 个.
包括 A1 但不包括 B1 的事件所包含的基本事件有
2
{A1，B2}，{A1，B3}，共 2 个，则所求事件的概率为 P＝9.
10.（2016·全国Ⅱ卷）某险种的基本保费为 a（单位：
元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本
年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数
保费
0
0.85a
1
a
2
1.25a
3
1.5a
4
1.75a
≥5
2a
随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数
频数
0
60
1
50
2
30
3
30
4
20
≥5
10
（1）记 A 为事件：
“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求 P（A）的估计值；
（2）记 B 为事件：
“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求 P（B）的估计值；
（3）求续保人本年度的平均保费的估计值.
60＋50
200
升级会员 