九年级数学 三角形的重心定义与性质.docx

1、九年级数学 三角形的重心定义与性质三角形的重心定义与性质三角形的重心定义：重心：重心是三角形三边中线的交点。三角形的重心的性质：1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）；空间直角坐标系横坐标：（X1+X2+X3）/3纵坐标：（Y1+Y2+Y3）/3竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/35.重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。6.重心是三角形内到三边距离之积

2、最大的点。如何证明三角形的重心把中线分成2比1的两部分已知ABC,D、E、F分别为BC、AC、AB的中点.那么AD、BE、CF三线共点,即重心G.现在证明DG:AG=1:2证明：连结EF交AD于M,则M为AD中点EF为ABC的中位线,所以EFBC且EF:BC=1:2由平行线分线段成比例定理有：GM:MD=EF:BC=1:2设GM=x,那么GD=2xDM=GM+GD=3xAD=2GM=6xAG=AD-GD=4x所以GD:AD=2x:4x=1:2扩展资料：重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为21。2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三

3、条边的长成反比。3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）。5. 以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。参考资料：XX百科-三角形重心三角形的重心的性质及公式重心是三角形三边中线的交点：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。三角形重心是三角形三边每一边的三条中线的交点。当几何体为匀质物体时，重心与该形中心重合。在平面直角坐标系中，重心的坐标是

4、顶点坐标的算术平均数，即其坐标为(X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3；空间直角坐标系X坐标：(X1+X2+X3)/3，Y坐标：(Y1+Y2+Y3)/3，Z坐标：（Z1+Z2+Z3）/3扩展资料：三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。推论：由性质1可知GA+GB+GC=0向量BO与向量BF共线，故可设BO

5、=xBF,根据三角形加法法则：向量AO=AB+BO=a+ xBF=a+ x(AF-AB)= a+ x(b/2-a)=(1-x)a+(x/2)b.向量CO与向量CD共线，故可设CO=yCD,根据三角形加法法则：向量AO=AC+CO=b+ yCD=b+y(AD-AC)= b+y(a/2-b)=(y/2)a+(1-y)b三角形的重心，把中线分为1:2两个部分，这个怎么证明证明：连结EF交AD于M,则M为AD中点EF为ABC的中位线,所以EFBC且EF:BC=1:2由平行线分线段成比例定理有：GM:MD=EF:BC=1:2设GM=x,那么GD=2xDM=GM+GD=3xAD=2GM=6xAG=AD-G

6、D=4x所以GD:AD=2x:4x=1:2扩展资料重心的几条性质 ：1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均。5.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。6.三角形ABC的重心为G，点P为其内部任意一点，则3PG=(AP+BP+CP)-1/3(AB+BC+CA)。7.在三角形ABC中，过重心G的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP+AC/AQ=38.从三角形ABC的三个顶点分别向以他们的对边为直径的圆作切线，所得的6个切

7、点为Pi，则Pi均在以重心G为圆心，r=1/18(AB+BC+CA)为半径的圆周上。9、G为三角形ABC的重心,P为三角形ABC所在平面上任意一点，则PA+PB+PC=GA+GB+GC+3PG。一般证明三角形重心的方法有哪些重心证明课本上就有，但如果题目一说某某点是三角形的重心，你要联想到重心有这些性质，由于这些性质是被证明了的，所以是可以当定理用的，做题的时候写一句依据重心的性质得出。即可1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。证明一三角形ABC，E、F是AB，AC的中点。EC、FB交于G。过E作EH平行BF。AE=BE推出AH=HF=1/2AFAF=CF推出HF=1/2CF

8、 推出EG=1/2CG2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。证明二证明方法：在ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA1、BOB1、COC1分别为a、b、c边上的中线根据重心性质知，OA1=1/3AA1，OB1=1/3BB1，OC1=1/3CC1过O，A分别作a边上高h1，h可知h1=1/3h 则，S(BOC)=1/2h1a=1/21/3ha=1/3S(ABC)；同理可证S(AOC)=1/3S(ABC)，S(AOB)=1/3S(ABC) 所以，S(BOC)=S(AOC)=S(AOB)3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。 (等边三角形）证明方法：设三角形三个顶点

9、为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为（x，y） 则该点到三顶点距离平方和为： (x1-x)2+(y1-y)2+(x2-x)2+(y2-y)2+(x3-x)2+(y3-y)2=3x2-2x(x1+x2+x3)+3y2-2y(y1+y2+y3)+x12+x22+x32+y12+y22+y32=3(x-1/3*(x1+x2+x3)2+3(y-1/3(y1+y2+y3)2+x12+x22+x32+y12+y22+y32-1/3(x1+x2+x3)2-1/3(y1+y2+y3)2显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时上式取得最小值x1

10、2+x22+x32+y12+y22+y32-1/3(x1+x2+x3)2-1/3(y1+y2+y3)2最终得出结论。4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为(X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（z1+z2+z3）/35、三角形内到三边距离之积最大的点。6。在ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0 ，则M点为ABC的重心，反之也成立。7.设ABC重心为G点，所在平面有一点O，则向量OG=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）三角形重心分线段为2比1怎么证，要

11、初中生能看懂的以下两种方法都可以:1、两条中线相交，连接中位线，取中线被分成的两段中长的那段的中点，四中点连成四边形，证它是平行四边形，用对角线互相平分就行;2、两条中线相交，连接中位线，中位线等于第三边的一半;证下面两三角形相似，相似比为1/2。如何证明重心到三角形3个顶点距离的平方和最小设三角形顶点坐标A(x0,y0),B(x1,y1),C(x2,y2)平面上任意点P(x,y).则P于三顶点距离平方和为S(x-x0)2+(y-y0)2+(x-x1)2+(y-y1)2+(x-x2)2+(y-y2)2=(x-x0)2+(x-x1)2+(x-x2)2+(y-y0)2+(y-y1)2+(y-y2)

12、2=3*x2-2(x0+x1+x2)*x+x02+x12+x22+3*y2-2(y0+y1+y2)*y+y02+y12+y22注意到中括号中的内容为平方和恒大于0因此当两个中括号中的内容都取得最小值时,S才能取得最小值.3*x2-2(x0+x1+x2)*x+x02+x12+x22是以x为自变量的抛物线,二次项系数大于0,开口向上,根据抛物线的性质,当x=-b/(2a)=2(x0+x1+x2)/(2*3)=(x0+x1+x2)/3时,3*x2-2(x0+x1+x2)*x+x02+x12+x22取得最小值.同理y=(y0+y1+y2)/3时,3*y2-2(y0+y1+y2)*y+y02+y12+y22取得最小值.而我们可以通过重心的定义得出,上面的P点就是三角形的重心.证毕