九年级数学 三角形的重心定义与性质.docx
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九年级数学三角形的重心定义与性质
三角形的重心定义与性质
三角形的重心定义：
重心：
重心是三角形三边中线的交点。
三角形的重心的性质：
1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：
1。
2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）；
空间直角坐标系——横坐标：
（X1+X2+X3）/3纵坐标：
（Y1+Y2+Y3）/3竖坐标：
（Z1+Z2+Z3）/3
5.重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。
6.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
如何证明三角形的重心把中线分成2比1的两部分
已知△ABC,D、E、F分别为BC、AC、AB的中点.那么AD、BE、CF三线共点,即重心G.现在证明DG:
AG=1:
2
证明：
连结EF交AD于M,则M为AD中点
EF为△ABC的中位线,
所以EF‖BC且EF:
BC=1:
2
由平行线分线段成比例定理有：
GM:
MD=EF:
BC=1:
2
设GM=x,那么GD=2x
DM=GM+GD=3x
AD=2GM=6x
AG=AD-GD=4x
所以GD:
AD=2x:
4x=1:
2
扩展资料：
重心的性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）。
5.以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。
参考资料：
XX百科-三角形重心
三角形的重心的性质及公式
重心是三角形三边中线的交点：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：
1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
三角形重心是三角形三边每一边的三条中线的交点。
当几何体为匀质物体时，重心与该形中心重合。
在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，
即其坐标为[（X1+X2+X3）/3,（Y1+Y2+Y3）/3]；
空间直角坐标系——X坐标：
（X1+X2+X3）/3，Y坐标：
（Y1+Y2+Y3）/3，Z坐标：
（Z1+Z2+Z3）/3
扩展资料：
三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）
在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3。
推论：
由性质1可知GA+GB+GC=0
向量BO与向量BF共线，故可设BO=xBF,
根据三角形加法法则：
向量AO=AB+BO
=a+xBF=a+x（AF-AB）
=a+x（b/2-a）=（1-x）a+（x/2）b.
向量CO与向量CD共线，故可设CO=yCD,
根据三角形加法法则：
向量AO=AC+CO
=b+yCD=b+y（AD-AC）
=b+y（a/2-b）=（y/2）a+（1-y）b
三角形的重心，把中线分为1:
2两个部分，这个怎么证明
证明：
连结EF交AD于M,则M为AD中点
EF为△ABC的中位线,
所以EF‖BC且EF:
BC=1:
2
由平行线分线段成比例定理有：
GM:
MD=EF:
BC=1:
2
设GM=x,那么GD=2x
DM=GM+GD=3x
AD=2GM=6x
AG=AD-GD=4x
所以GD:
AD=2x:
4x=1:
2
扩展资料
重心的几条性质：
1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：
1。
2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均。
5.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
6.三角形ABC的重心为G，点P为其内部任意一点，则3PG²=（AP²+BP²+CP²）-1/3（AB²+BC²+CA²）。
7.在三角形ABC中，过重心G的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则AB/AP+AC/AQ=3
8.从三角形ABC的三个顶点分别向以他们的对边为直径的圆作切线，所得的6个切点为Pi，则Pi均在以重心G为圆心，r=1/18（AB²+BC²+CA²）为半径的圆周上。
9、G为三角形ABC的重心,P为三角形ABC所在平面上任意一点，则PA²+PB²+PC²=GA²+GB²+GC²+3PG²。
一般证明三角形重心的方法有哪些
重心证明课本上就有，但如果题目一说某某点是三角形的重心，你要联想到重心有这些性质，由于这些性质是被证明了的，所以是可以当定理用的，做题的时候写一句依据重心的性质得出。
。
。
即可
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：
1。
证明一
三角形ABC，E、F是AB，AC的中点。
EC、FB交于G。
过E作EH平行BF。
AE=BE推出AH=HF=1/2AF
AF=CF
推出HF=1/2CF推出EG=1/2CG
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
证明二
证明方法：
在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA1、BOB1、COC1分别为a、b、c边上的中线根据重心性质知，OA1=1/3AA1，OB1=1/3BB1，OC1=1/3CC1过O，A分别作a边上高h1，h可知h1=1/3h则，S（△BOC）=1/2×h1a=1/2×1/3ha=1/3S（△ABC）；同理可证S（△AOC）=1/3S（△ABC），S（△AOB）=1/3S（△ABC）所以，S（△BOC）=S（△AOC）=S（△AOB）
3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。
（等边三角形）
证明方法：
设三角形三个顶点为（x1,y1）,（x2,y2）,（x3,y3）平面上任意一点为（x，y）则该点到三顶点距离平方和为：
（x1-x）^2+（y1-y）^2+（x2-x）^2+（y2-y）^2+（x3-x）^2+（y3-y）^2
=3x^2-2x（x1+x2+x3）+3y^2-2y（y1+y2+y3）+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2
=3（x-1/3*（x1+x2+x3））^2+3（y-1/3（y1+y2+y3））^2+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3（x1+x2+x3）^2-1/3（y1+y2+y3）^2
显然当x=（x1+x2+x3）/3,y=（y1+y2+y3）/3（重心坐标）时
上式取得最小值x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3（x1+x2+x3）^2-1/3（y1+y2+y3）^2
最终得出结论。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，
即其坐标为（（X1+X2+X3）/3,（Y1+Y2+Y3）/3）；
空间直角坐标系——横坐标：
（X1+X2+X3）/3纵坐标：
（Y1+Y2+Y3）/3竖坐标：
（z1+z2+z3）/3
5、三角形内到三边距离之积最大的点。
6。
在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0，则M点为△ABC的重心，反之也成立。
7.设△ABC重心为G点，所在平面有一点O，则向量OG=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）
三角形重心分线段为2比1怎么证，要初中生能看懂的
以下两种方法都可以:
1、两条中线相交，连接中位线，取中线被分成的两段中长的那段的中点，四中点连成四边形，证它是平行四边形，用对角线互相平分就行;
2、两条中线相交，连接中位线，中位线等于第三边的一半;证下面两三角形相似，相似比为1/2。
如何证明重心到三角形3个顶点距离的平方和最小
设三角形顶点坐标A（x0,y0）,B（x1,y1）,C（x2,y2）
平面上任意点P（x,y）.则P于三顶点距离平方和为
S＝（x-x0）^2+（y-y0）^2+（x-x1）^2+（y-y1）^2+（x-x2）^2+（y-y2）^2
=[（x-x0）^2+（x-x1）^2+（x-x2）^2]
+[（y-y0）^2+（y-y1）^2+（y-y2）^2]
=[3*x^2-2（x0+x1+x2）*x+x0^2+x1^2+x2^2]
+[3*y^2-2（y0+y1+y2）*y+y0^2+y1^2+y2^2]
注意到中括号中的内容为平方和恒大于0
因此当两个中括号中的内容都取得最小值时,S才能取得最小值.
3*x^2-2（x0+x1+x2）*x+x0^2+x1^2+x2^2是以x为自变量的抛物线,二次项系数大于0,开口向上,根据抛物线的性质,当
x=-b/（2a）
=2（x0+x1+x2）/（2*3）
=（x0+x1+x2）/3
时,3*x^2-2（x0+x1+x2）*x+x0^2+x1^2+x2^2取得最小值.
同理
y=（y0+y1+y2）/3时,3*y^2-2（y0+y1+y2）*y+y0^2+y1^2+y2^2取得最小值.
而我们可以通过重心的定义得出,上面的P点就是三角形的重心.
证毕
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