1、1,多 变 量 最 优 化,2,例:竞争性产品生产中的利润最大化,一家彩电制造商计划推出两种新产品:一种19英寸液晶平板电视机,制造商建议零售价为339美元;另一种21英寸液晶平板电视机,零售价为399美元。公司付出的成本为19英寸彩电每台195美元,21英寸彩电每台225美元,还要加上400000美元的固定成本。在竞争的销售市场中,每年售出的彩电数量会影响彩电的平均售价。据估计,对每种类型的彩电,每多售出一台,平均销售价格会下降1美分。而且19英寸彩电的销售会影响21英寸彩电的销售,反之亦然。据估计,每售出一台21英寸彩电,19英寸彩电的平均售价会下降0.3美分,而每售出一台19英寸彩电,2
2、1英寸彩电的平均售价会下降0.4美分。问题是:每种彩电应该各生产多少台?,3,变量:,x=19英寸彩电的售出数量(每年)y=21英寸彩电的售出数量(每年)p=19英寸彩电的销售价格(美元)q=21英寸彩电的销售价格(美元)R=彩电销售的收入(美元/年)C=生产彩电的成本(美元)P=彩电销售的利润(美元/年),提出问题:,假设:,目标:最大化利润函数P,4,解得全局极大值点,建立模型:,求解模型:,选择建模方法,无约束多变量最优化问题,5,回答问题:,这家公司可以通过生成4735台19英寸彩电和7043台21英寸彩电来获得最大利润,每年获得的净利润为553641美元,每台19英寸彩电的平均售价为
3、270.52美元,每台21英寸彩电的平均售价为309.63美元。生产的总支出为2908000美元,相应的利润率为19%。因此建议这家公司应该实行推出新产品的计划。,6,计算机代数系统-matlab,x,y=meshgrid(0:400:10000,0:400:10000);z=(339-0.01*x-0.003*y).*x+(399-0.004*x-0.01*y).*y-(400000+195*x+225*y);mesh(x,y,z),7,syms x y z=(339-0.01*x-0.003*y).*x+(399-0.004*x-0.01*y).*y-(400000+195*x+225*y
4、);dzdx=diff(z,x)dzdy=diff(z,y)s=solve(-1/50*x+144-7/1000*y=0,-7/1000*x-1/50*y+174=0,x,y)subs(z,x,y,s.x,s.y),8,灵敏性分析,在向公司报告结论之前,应对我们关于彩电市场和生产过程所做的假设进行灵敏性分析,以保证结果具有稳健性。,对19英寸彩电的价格弹性系数a的灵敏性进行分析.,我们主要关心的是决策变量x和y的值,因为公司要据此来确定生产量。,9,求偏导数并令其为零,可解得,可画出x和y关于a的曲线图.,19英寸彩电的价格弹性系数a的提高,会导致19英寸彩电的最优生产量x的下降,及21英寸彩
5、电的最优生产量y的提高。而且,图中显示x比y对于a更敏感。,10,计算可得,在a=0.01时,有,如果将19英寸彩电的价格弹性系数提高10%,则我们应将19英寸彩电的生产量缩小11%,21英寸彩电的生产量扩大2.7%.,11,计算可得,在a=0.01时,有,考虑y对于a的灵敏性。,因此,19英寸彩电的价格弹性系数提高10%,会使利润下降4%.,12,syms a z=(339-a*x-0.003*y).*x+(399-0.004*x-0.01*y).*y-(400000+195*x+225*y)dzdx=diff(z,x)dzdy=diff(z,y)s=solve(-2*a*x+144-7/1
6、000*y=0,-7/1000*x-1/50*y+174=0,x,y)dxda=diff(s.x,a)sxa=dxda*a/s.x a=0.01 eval(sxa),13,Matlab 优化函数,function y=tvsell(x)y=-(339-0.01*x(1)-0.003*x(2)*x(1)-(399-0.004*x(1)-0.01*x(2)*x(2)+(400000+195*x(1)+225*x(2);,1)建立目标函数的m-文件,2)求解,x0=0,0;x,yval=fminunc(tvsell,x0),无约束多变量函数极小,fminunc,14,如果在求极值时使用函数的梯度,则
7、在目标函数的m-文件中应有两个输出,第二个输出为目标函数的梯度向量.,x0=0,0;options=optimset(gradobj,on);x,yval=fminunc(tvsell,x0,options),function y,g=tvsell_b(x)y=-(339-0.01*x(1)-0.003*x(2)*x(1)-(399-0.004*x(1)-0.01*x(2)*x(2)+(400000+195*x(1)+225*x(2);g=144-0.02*x(1)-0.007*x(2),174 0.007*x(1)0.02*x(2);,15,例:单变量最优化,options=optimset
8、(tolx,1e-004);x,yval=fminbnd(myfun,-2,1,options,1),function y=myfun(x,a)y=x/(a+x2);,求a=1时 f 在区间-2,1上的极小值点及极小值.,16,连续约束优化拉格朗日乘子法,例:考虑航天飞机上固定在飞机墙上供宇航员使用的水箱。水箱的形状类似于谷仓,即在圆柱体顶部接一个圆锥体。如果其半径为6m,而总的表面积限定为450m2,请确定圆柱体和圆锥体的高度,使谷仓的容积最大。,17,假设:影响水箱设计的因素很多。在我们的模型中,考虑水箱的形状和尺寸、体积、表面积,以及圆柱体和圆锥体的半径。,在满足设计限制的前提下,为宇航
9、员最大化水箱容积。,提出问题:,模型建立:,圆柱体的体积,圆锥体的体积,水箱的容积,18,我们希望最大化水箱的容积V,而总表面积S限制了水箱的容积,所以问题是,圆柱体的表面积,圆锥体的表面积,总表面积,19,模型求解:,定义函数,将 代入,化简得,将L对变量 分别求偏导,并令其为0,即,20,模型的敏感性:,利用计算机代数系统,求得三位小数的解:,拉格朗日乘子的值,意思是如果总表面积增加1个单位,水箱的容积大约增加3m2.,21,Matlab 的优化函数,约束极小,x,fval,exitflag,ouput,lambda,grad,hessian=fmincon(objfun,x0,A,b,A
10、1,b1,LB,UB,nonlcon,options,p1,p2,),22,例:求解极值问题,23,x0=1,1;A=1,-1;b=1;LB=0,0;UB=inf,inf;x,f=fmincon(funobj,x0,A,b,LB,UB,nonlcon),function c1,c2=nonlcon(x)c1=1.5+x(1)*x(2)-x(1)-x(2);-x(1)*x(2)-10;c2=0;,function y=funobj(x)y=exp(x(1)*(4*x(1)2+2*x(2)2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);,24,一般,首先用全局方法(随机搜索、格点搜索、或其他类型方法)估计最优解的近似值,然后用数值最优化工具(如牛顿法)求解,最后对参数的允许值进行灵敏性分析,以保证结果的正确性.,25,阅读材料:,参考文献1,第十三章第2、3节;参考文献2,第二章,第三章第1、2节;参考文献3,第三章第47节.,作业:,阅读UMAP270、UMAP468、UMAP517、UMAP522中的一篇,并提交一份简短的报告供班上讨论。,
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