第三讲--多变量最优化幻灯片.ppt

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1,多变量最优化,2,例：

竞争性产品生产中的利润最大化,一家彩电制造商计划推出两种新产品：

一种19英寸液晶平板电视机，制造商建议零售价为339美元；另一种21英寸液晶平板电视机，零售价为399美元。

公司付出的成本为19英寸彩电每台195美元，21英寸彩电每台225美元，还要加上400000美元的固定成本。

在竞争的销售市场中，每年售出的彩电数量会影响彩电的平均售价。

据估计，对每种类型的彩电，每多售出一台，平均销售价格会下降1美分。

而且19英寸彩电的销售会影响21英寸彩电的销售，反之亦然。

据估计，每售出一台21英寸彩电，19英寸彩电的平均售价会下降0.3美分，而每售出一台19英寸彩电，21英寸彩电的平均售价会下降0.4美分。

问题是：

每种彩电应该各生产多少台？

3,变量：

x=19英寸彩电的售出数量（每年）y=21英寸彩电的售出数量（每年）p=19英寸彩电的销售价格（美元）q=21英寸彩电的销售价格（美元）R=彩电销售的收入（美元/年）C=生产彩电的成本（美元）P=彩电销售的利润（美元/年）,提出问题：

假设：

目标：

最大化利润函数P,4,解得全局极大值点,建立模型：

求解模型：

选择建模方法,无约束多变量最优化问题,5,回答问题：

这家公司可以通过生成4735台19英寸彩电和7043台21英寸彩电来获得最大利润，每年获得的净利润为553641美元，每台19英寸彩电的平均售价为270.52美元，每台21英寸彩电的平均售价为309.63美元。

生产的总支出为2908000美元，相应的利润率为19%。

因此建议这家公司应该实行推出新产品的计划。

6,计算机代数系统-matlab,x,y=meshgrid（0:

400:

10000,0:

400:

10000）;z=（339-0.01*x-0.003*y）.*x+（399-0.004*x-0.01*y）.*y-（400000+195*x+225*y）;mesh（x,y,z）,7,symsxyz=（339-0.01*x-0.003*y）.*x+（399-0.004*x-0.01*y）.*y-（400000+195*x+225*y）;dzdx=diff（z,x）dzdy=diff（z,y）s=solve（-1/50*x+144-7/1000*y=0,-7/1000*x-1/50*y+174=0,x,y）subs（z,x,y,s.x,s.y）,8,灵敏性分析,在向公司报告结论之前，应对我们关于彩电市场和生产过程所做的假设进行灵敏性分析，以保证结果具有稳健性。

对19英寸彩电的价格弹性系数a的灵敏性进行分析.,我们主要关心的是决策变量x和y的值，因为公司要据此来确定生产量。

9,求偏导数并令其为零，可解得,可画出x和y关于a的曲线图.,19英寸彩电的价格弹性系数a的提高，会导致19英寸彩电的最优生产量x的下降，及21英寸彩电的最优生产量y的提高。

而且，图中显示x比y对于a更敏感。

10,计算可得，在a=0.01时，有,如果将19英寸彩电的价格弹性系数提高10%，则我们应将19英寸彩电的生产量缩小11%，21英寸彩电的生产量扩大2.7%.,11,计算可得，在a=0.01时，有,考虑y对于a的灵敏性。

因此，19英寸彩电的价格弹性系数提高10%，会使利润下降4%.,12,symsaz=（339-a*x-0.003*y）.*x+（399-0.004*x-0.01*y）.*y-（400000+195*x+225*y）dzdx=diff（z,x）dzdy=diff（z,y）s=solve（-2*a*x+144-7/1000*y=0,-7/1000*x-1/50*y+174=0,x,y）dxda=diff（s.x,a）sxa=dxda*a/s.xa=0.01eval（sxa）,13,Matlab优化函数,functiony=tvsell（x）y=-（339-0.01*x

（1）-0.003*x

（2）*x

（1）-（399-0.004*x

（1）-0.01*x

（2）*x

（2）+（400000+195*x

（1）+225*x

（2）;,1）建立目标函数的m-文件,2）求解,x0=0,0;x,yval=fminunc（tvsell,x0）,无约束多变量函数极小,fminunc,14,如果在求极值时使用函数的梯度，则在目标函数的m-文件中应有两个输出，第二个输出为目标函数的梯度向量.,x0=0,0;options=optimset（gradobj,on）;x,yval=fminunc（tvsell,x0,options）,functiony,g=tvsell_b（x）y=-（339-0.01*x

（1）-0.003*x

（2）*x

（1）-（399-0.004*x

（1）-0.01*x

（2）*x

（2）+（400000+195*x

（1）+225*x

（2）;g=144-0.02*x

（1）-0.007*x

（2）,1740.007*x

（1）0.02*x

（2）;,15,例：

单变量最优化,options=optimset（tolx,1e-004）;x,yval=fminbnd（myfun,-2,1,options,1）,functiony=myfun（x,a）y=x/（a+x2）;,求a=1时f在区间-2,1上的极小值点及极小值.,16,连续约束优化拉格朗日乘子法,例：

考虑航天飞机上固定在飞机墙上供宇航员使用的水箱。

水箱的形状类似于谷仓，即在圆柱体顶部接一个圆锥体。

如果其半径为6m，而总的表面积限定为450m2，请确定圆柱体和圆锥体的高度，使谷仓的容积最大。

17,假设：

影响水箱设计的因素很多。

在我们的模型中，考虑水箱的形状和尺寸、体积、表面积，以及圆柱体和圆锥体的半径。

在满足设计限制的前提下，为宇航员最大化水箱容积。

提出问题：

模型建立：

圆柱体的体积,圆锥体的体积,水箱的容积,18,我们希望最大化水箱的容积V，而总表面积S限制了水箱的容积，所以问题是,圆柱体的表面积,圆锥体的表面积,总表面积,19,模型求解：

定义函数,将代入，化简得,将L对变量分别求偏导，并令其为0，即,20,模型的敏感性：

利用计算机代数系统，求得三位小数的解：

拉格朗日乘子的值,意思是如果总表面积增加1个单位，水箱的容积大约增加3m2.,21,Matlab的优化函数,约束极小,x,fval,exitflag,ouput,lambda,grad,hessian=fmincon（objfun,x0,A,b,A1,b1,LB,UB,nonlcon,options,p1,p2,）,22,例：

求解极值问题,23,x0=1,1;A=1,-1;b=1;LB=0,0;UB=inf,inf;x,f=fmincon（funobj,x0,A,b,LB,UB,nonlcon）,functionc1,c2=nonlcon（x）c1=1.5+x

（1）*x

（2）-x

（1）-x

（2）;-x

（1）*x

（2）-10;c2=0;,functiony=funobj（x）y=exp（x

（1）*（4*x

（1）2+2*x

（2）2+4*x

（1）*x

（2）+2*x

（2）+1）;,24,一般，首先用全局方法（随机搜索、格点搜索、或其他类型方法）估计最优解的近似值，然后用数值最优化工具（如牛顿法）求解，最后对参数的允许值进行灵敏性分析，以保证结果的正确性.,25,阅读材料：

参考文献1，第十三章第2、3节；参考文献2，第二章，第三章第1、2节；参考文献3，第三章第47节.,作业：

阅读UMAP270、UMAP468、UMAP517、UMAP522中的一篇，并提交一份简短的报告供班上讨论。