第2章 数组和矩阵.docx

1、第2章 数组和矩阵第二章 数组和矩阵向量(矩阵)和数组是有区别的向量(矩阵)是一个数学概念，数组是一个计算机名词，一组数而已。非要给数组赋予数学含义，则一维数组相当于向量,二维数组相当于矩阵，向量或矩阵是数组的子集。向量(矩阵)的四则运算有具体的数学定义，使用通常的四则运算符号。数组运算特指数组对应元素之间的运算(也称点运算)，其运算符是在通常的运算符符前加一点作为其运算符。二者在加、减与数乘三种运算上恰好一致：数组加减：A+B与A-B；矩阵加减：A+B与A-B，都是对应元素之间加减(不分与.)数乘数组：k.*A或A.*k；数乘矩阵：k*A或A*k，都是k乘A的每个元素但注意以下两点：(1)向

2、量(矩阵)的乘法、乘方和除法等运算按线性变换定义，与数组对应的运算不一样。(2)数与矩阵加减、矩阵除法在数学没有定义，MATLAB中为简便起见定义了这两类运算；数组运算：数与数组加减： k+A与k-A ，k加（减）A的每个元素数组乘数组： A.*B，对应元素相乘数组乘方： A.kA的每个元素k次方， k.A 分别以k底A的元素为指数求幂值数除以数组： k./A和A.k k分别被A的元素除数组除法： 左除A.B右除B./A，对应元素相除矩阵运算：数与矩阵加减：k+A与k-A，等价于k*ones(size(A)+-A %特殊的定义矩阵乘法：A*B，按数学定义的矩阵乘法规则矩阵乘方：Ak，k个矩阵A

3、相乘矩阵除法：左除AB 右除B/A，分别为AX=B和XA=B的解搞清楚这些区别，发现数组的运算其实很简单，值得注意的是，在实际计算中什么时候需要对变量进行数组运算，什么时候需要对变量进行向量(矩阵)运算。比如第一章的积分表达式中的变量x就只能做数组元素。在不考虑数学意义时数组与向量(矩阵)是一回事！以下只讨论向量(矩阵)的运算MATLAB提供的数据类型（如下图），有十余种之多。但所有的MATLAB变量，不管它是什么类型的，都以数组或矩阵的形式保存。矩阵是数组的二维版本。MATLAB的数据类型说明：int8表示一个字节（8bit）2.1 表达式与其他程序语言类似，MATLAB提供了数学表达式功能

4、。但是，与大多数程序语言不同的是，这些表达式主要针对矩阵进行操作。与表达式相关的内容主要包括变量、数值(常数)、运算符和函数等。2.1.1 变量MATLAB变量使用前不需要任何类型声明和维数说明。命名规则同C语言，变量名最长63个字符（7.0版）变量严格区分大小写2.1.2数值表示MATLAB使用传统的数值表示方法。对于比较长的数，使用科学计数法，用字母e指定以10为底的幂次。虚数用i或j作为后缀。所有数值在内部保存为IEEE浮点标准指定的long型格式。其精度为16个小数位，范围大约为10-30810+308。内置常数：pi，i，j，eps，realmax，realmin，inf，NaN2.

5、1.3 运算符表达式采用的算术运算符和优光规则按此顺序：+ (加)、_ (减)、* (乘)、/ (除)、 (左除)、 (幂)、 (复数共轭转置)、()(优先)2.1.4 函数使用help 函数名获得函数帮助22构造数组1、直接构造：用空格或逗号间隔数组元素，然后用方括号括起来：x=1，2，3，4，5，62、增量法构造：使用冒号操作符创建数组。a= first:end。%递增、且步长为1的数组a=first:step:end。%指定增量步长值创建任何等差序列(数组)3、用linspace 函数构造x=linspace(first,last,num) %需要指定首尾值和元素总个数，步长根据 num

6、 平均分配2.3 构造矩阵MAITLAB中，二维数组称为矩阵。图形图像方面要涉及到大量的矩阵运算，比如，一幅数字图像就是个矩阵，矩阵中的每个元素表示图像上每个像素的信息。那么针对图像所作的任何操作实质上都是针对矩阵进行的。2.3.1 简单的创建方法使用矩阵创建符号 ，用逗号或空格隔开各元素间；用分号隔开各行。必须注意各行必须具有相同的元素个数2.3.2 构造特殊矩阵函数功能ones创建一个所有元素都为1的矩阵zeros创建一个所有元素都为0的矩阵eye创建一个对角线元素为1，其他元素为0 的矩阵diag根据向量创建对角矩阵magic创建一个方阵，所有行、列、对角线上的元素的和相等rand创建一

7、个矩阵或数组，其中的元素为服从均匀分布的随机数randn创建一个矩阵或数组，其中的元素为服从正态分布的随机数randpem创建一个向量（1n的矩阵）注：表中的大部分函数返回double型的矩阵。但是，可以用ones，zeros和eye函数生成任何数值类型的基本数组。方法是将数据类型名作为函数的最后一个参数值（class()函数可检测数据类型）：A=zeros(4,6);class(A) %class()返回矩阵A数据类型为 doubleA=zeros(4,6,uint32) ;class (A) %显示的数据类型为uint32的矩阵函数示例：A=magic(5) % 5阶魔方阵，每行、列和主对

8、角线上的和相等。A=rand(5)*20 %服从均匀分布的随机数的矩阵或数组，每个元素乘以20A=10,9,8,-7,5;B=diag(A,-1) %以A为对角线的对角矩阵，-1表示元素放在主对角线下方2.3.3 聚合矩阵矩阵聚合是通过连接一个或多个矩阵来形成一个新的矩阵。1、使用符号 聚合：表达式c=A B水平聚合，c=A;B垂向聚合。A=ones(3,5)*6; %35的矩阵，元素为6B=rand(3,5); %35的矩阵，元素为随机数D=A B %横向(列)聚合A和B，要求A，B行数相同C=A;B %垂向(行)聚合A和B，要求A，B列数相同2、使用函数聚合函数描述cat沿指定的维聚合矩阵

9、horzcat水平聚合矩阵vertcat垂向聚合矩阵repmat通过复制与蝶置来创建新矩阵blkdiag用已有矩阵创建块对角矩阵函数示例：（使用cat和vertcat函数可以代替实现矩阵的聚合）A=magic(3);B=-5 -6 -9;-4 -4 -2;1 2 3 ;cat1ab=cat(1,A,B) % 行（垂向）聚合，等价于A;Bcat2ab=cat(2,A,B) % 列（横向）聚合，等价于A Bvab=vertcat(A,B) % 行聚合，等价于A;BM=1 2;3 4;repM=Repmat(M,2,3) %将 M 视为一个元素的mn矩阵。C=eye(2)*8;blkdgabc=bl

10、kdiag(A,B,C) % 以A，B，C为块的对角矩阵2.3.4 聚合不同类型的矩阵聚合矩阵时，若矩阵的数据类型不同，则MATLAB会自动进行类型转换。高精度矩阵和低精度矩阵构造新矩阵时，新矩阵是低精度型的（1）single型和double型矩阵聚合为single型。X=single(4.5) pi 5.73*10300 %这也是聚合，3个11矩阵的聚合。x=ones(2)*2 ones(2,3,single) ;class(x)%两矩阵聚合为single型。（2）character和double型矩阵聚合为character型:x=A B C 68 69 70 %x=ABCDEF；clas

11、s(x)=char（3）logical和double型矩阵聚合为double,比较特殊:x=true false false pi sqrt(7) % x=1.0000 0 0 3.1416 2.6458；class(x)=double2.4 获取矩阵的元素2.4.1获取单个元素A(row，column) %返回矩阵中第row行，第column列元素A(m) %返回矩阵中的第m元素。注：A(m)形式按矩阵的存贮顺序访问。即行优先(行标变化最快)原则，比如一个三阶方阵的存贮顺序是a11,a21,a31,a21,a22,a23,a31,a32,a33。显然A(4)=a21。一般对一个 mn矩阵A(

12、i，j)和A(p)的对应关系为：p=(j-1)* m+i。函数sub2ind()和ind2sub()可以完成单索引p和位置(i，j)间的转换。A=1 2 3 ;4 5 6 ;7 8 9p=sub2ind(size(A),2,3) %size(A)返回矩阵A的行列值，A(2,3)为A(8)。row,col=ind2sub(size(A),8) %返回A(8)的下标(2,3)。2.4.2 获取多个元素仔细体会冒号：，end关键字及first:step:end格式的使用。A=magic(4)S=A(1,4) + A(2,4) + A(3,4) + A(4,4) %求第4列14行元素的和S=sum(A

13、(1:4,4) %同上，求第4列14行元素的和S=sum(A(:,2) %求第2列所有元素的和A(1:3:16)=-10 %每隔两个元素处的值改为-10，注意按存贮顺序访问A(1:3,end)=10 %将矩阵A的13行中最后一个元素的值替换为10。A(:) %按存贮顺序操作A的所有元素，此处为显示。2.5 获取与矩阵有关的信息矩阵信息函数函数功能Length返回矩阵最长维的长度ndims返回矩阵维数numel返回矩阵元素的个数size返回每一维的长度下面这个例子演示上表中部分函数的使用。A=rand(5)*10;A(4:5,:)= %第四行，第五行各列元素全部被删除sum(A(:)/numel

14、(A) %计算矩阵A中所有元素求和后再算均值。% 查找矩阵中大小介于5 和7 之间的所有元素。if ndims(A)=2 % =不等于，如果A的维数不是2 即不是矩阵，就结束程序。 returnendrows,cols=size(A);for m=1:rows %行作为外循环是符合存贮顺序的，是高效率的。 for n=1:cols if A(m,n)=5 & A(m,n) 26重构后矩阵存贮结构不变C= rot90(A) %将矩阵A逆时针旋转90度。D=fliplr(A) %沿Y轴(左右)翻转矩阵E=ctranspose(A) %等价于A注：转置矩阵：有点撇符 . 和撇符 两个转置符号，其中函

15、数ctranspose和 等价。对于实矩阵，二者没有区别，对于复矩阵，点撇符 . 只转置，撇符 转置后再对每元素求共轭。2.7 导入数据2.7.1 使用load命令导入数据使用 load 命令可导入 .txt、.dat类型的文本文件。数据被保存在与文件名同名的矩阵中。注意，必须是矩形文本。使用 load 命令可导入.mat 类型的内存变量文件。命令中可省去扩展名.mat。load filename2.7.2 使用 Ipput wizard 工具菜单：StartMatlabInput wizard 依提示导入MATLAB 能识别的数据。如Excel 文件、图像等。2.8 矩阵的代数运算1、+ ：

16、加减运算，对应位置元素相加减2、乘法(数学上叫叉乘)*：叉乘，A（mt）*B（tn）=C（mn） .*：点乘，对应位置元素相乘注：加减运算，点乘运算要求两个矩阵为同型矩阵(两个行数、列数对应相同的矩阵)例：乘法和加法运算A=1 2 3; 4 5 6;B=1 2 3 4;5 6 7 8;8 10 11 12;C=A*BD=A.*AE=A+A3、除法运算由于矩阵乘法不满足交换律(即A*BB*A),通常有以下两个方程a*x =b，此时x=ab（b左除a）x*a=b，此时x=b/a（b右除a，或简称b除a）如果a为非奇异矩阵(行列式不为零的矩阵)，则ab和b/a可通过a的逆矩阵与b阵得到：ab = inv(a)*b % inv 求矩阵的逆，左乘a的逆b/a = b*inv(a) %右乘a的逆（另外，y.x 和 y./x运算，两个矩阵对应位置元素作 运算）。4、矩阵和常数的运算：矩阵中的每个元素和这个常数进行通常意义下的算术运算。2.9 矩阵的逻辑运算逻辑运算符操作符说明等价的函数&逻辑与and(x,y)|逻辑或or(x,y)逻辑非not(x)函数中的x与y可以都是矩阵或向量，也可以有一个是标量。要求它们的大小完全相同（即要求是同型矩阵）。