第2章 数组和矩阵.docx

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第2章数组和矩阵

第二章数组和矩阵

向量（矩阵）和数组是有区别的

向量（矩阵）是一个数学概念，数组是一个计算机名词，一组数而已。

非要给数组赋予数学含义，则一维数组相当于向量,二维数组相当于矩阵，向量或矩阵是数组的子集。

向量（矩阵）的四则运算有具体的数学定义，使用通常的四则运算符号。

数组运算特指数组对应元素之间的运算（也称点运算），其运算符是在通常的运算符符前加一点作为其运算符。

二者在加、减与数乘三种运算上恰好一致：

数组加减：

A+B与A-B；矩阵加减：

A+B与A-B，都是对应元素之间加减（不分±与.±）

数乘数组：

k.*A或A.*k；数乘矩阵：

k*A或A*k，都是k乘A的每个元素

但注意以下两点：

（1）向量（矩阵）的乘法、乘方和除法等运算按线性变换定义，与数组对应的运算不一样。

（2）数与矩阵加减、矩阵除法在数学没有定义，MATLAB中为简便起见定义了这两类运算；

数组运算：

数与数组加减：

k+A与k-A，k加（减）A的每个元素

数组乘数组：

A.*B，对应元素相乘

数组乘方：

A.^k  A的每个元素k次方，k.^A分别以k底A的元素为指数求幂值

数除以数组：

k./A和A.\kk分别被A的元素除

数组除法：

左除A.\B右除B./A，对应元素相除

矩阵运算：

数与矩阵加减：

k+A与k-A，等价于k*ones（size（A））+-A%特殊的定义

矩阵乘法：

A*B，按数学定义的矩阵乘法规则

矩阵乘方：

A^k，k个矩阵A相乘

矩阵除法：

左除A\B右除B/A，分别为AX=B和XA=B的解

搞清楚这些区别，发现数组的运算其实很简单，值得注意的是，在实际计算中什么时候需要对变量进行数组运算，什么时候需要对变量进行向量（矩阵）运算。

比如第一章的积分表达式中的变量x就只能做数组元素。

在不考虑数学意义时数组与向量（矩阵）是一回事！

以下只讨论向量（矩阵）的运算

MATLAB提供的数据类型（如下图），有十余种之多。

但所有的MATLAB变量，不管它是什么类型的，都以数组或矩阵的形式保存。

矩阵是数组的二维版本。

MATLAB的数据类型

说明：

int8表示一个字节（8bit）

2.1表达式

与其他程序语言类似，MATLAB提供了数学表达式功能。

但是，与大多数程序语言不同的是，这些表达式主要针对矩阵进行操作。

与表达式相关的内容主要包括变量、数值（常数）、运算符和函数等。

2.1.1变量

MATLAB变量使用前不需要任何类型声明和维数说明。

命名规则同C语言，变量名最长63个字符（7.0版）

变量严格区分大小写

2.1.2数值表示

MATLAB使用传统的数值表示方法。

对于比较长的数，使用科学计数法，用字母e指定以10为底的幂次。

虚数用i或j作为后缀。

所有数值在内部保存为IEEE浮点标准指定的long型格式。

其精度为16个小数位，范围大约为10-308~10+308。

内置常数：

pi，i，j，eps，realmax，realmin，inf，NaN

2.1.3运算符

表达式采用的算术运算符和优光规则按此顺序：

+（加）、_（减）、*（乘）、/（除）、\（左除）、^（幂）、’（复数共轭转置）、（）（优先）

2.1.4函数

使用help函数名获得函数帮助

2．2构造数组

1、直接构造：

用空格或逗号间隔数组元素，然后用方括号括起来：

x=[1，2，3，4，5，6]

2、增量法构造：

使用冒号操作符创建数组。

a=first:

end。

%递增、且步长为1的数组

a=first:

step:

end。

%指定增量步长值创建任何等差序列（数组）

3、用linspace函数构造

x=linspace（first,last,num）%需要指定首尾值和元素总个数，步长根据num平均分配

2.3构造矩阵

MAITLAB中，二维数组称为矩阵。

图形图像方面要涉及到大量的矩阵运算，比如，一幅数字图像就是—个矩阵，矩阵中的每个元素表示图像上每个像素的信息。

那么针对图像所作的任何操作实质上都是针对矩阵进行的。

2.3.1简单的创建方法

使用矩阵创建符号[]，用逗号或空格隔开各元素间；用分号隔开各行。

必须注意各行必须具有相同的元素个数

2.3.2构造特殊矩阵

函数

功能

ones

创建一个所有元素都为1的矩阵

zeros

创建一个所有元素都为0的矩阵

eye

创建一个对角线元素为1，其他元素为0的矩阵

diag

根据向量创建对角矩阵

magic

创建一个方阵，所有行、列、对角线上的元素的和相等

rand

创建一个矩阵或数组，其中的元素为服从均匀分布的随机数

randn

创建一个矩阵或数组，其中的元素为服从正态分布的随机数

randpem

创建一个向量（1×n的矩阵）

注：

表中的大部分函数返回double型的矩阵。

但是，可以用ones，zeros和eye函数生成任何数值类型的基本数组。

方法是将数据类型名作为函数的最后一个参数值（class（）函数可检测数据类型）：

A=zeros（4,6）;class（A）%class（）返回矩阵A数据类型为double

A=zeros（4,6,'uint32'）;class（A）%显示的数据类型为uint32的矩阵

函数示例：

A=magic（5）%5阶魔方阵，每行、列和主对角线上的和相等。

A=rand（5）*20%服从均匀分布的随机数的矩阵或数组，每个元素乘以20

A=[10,9,8,-7,5];

B=diag（A,-1）%以A为对角线的对角矩阵，-1表示元素放在主对角线下方

2.3.3聚合矩阵

矩阵聚合是通过连接一个或多个矩阵来形成一个新的矩阵。

1、使用符号[]聚合：

表达式c=[AB]水平聚合，c=[A;B]垂向聚合。

A=ones（3,5）*6;%3×5的矩阵，元素为6

B=rand（3,5）;%3×5的矩阵，元素为随机数

D=[AB]%横向（列）聚合A和B，要求A，B行数相同

C=[A;B]%垂向（行）聚合A和B，要求A，B列数相同

2、使用函数聚合

函数

描述

cat

沿指定的维聚合矩阵

horzcat

水平聚合矩阵

vertcat

垂向聚合矩阵

repmat

通过复制与蝶置来创建新矩阵

blkdiag

用已有矩阵创建块对角矩阵

函数示例：

（使用cat和vertcat函数可以代替[]实现矩阵的聚合）

A=magic（3）;B=[-5-6-9;-4-4-2;123];

cat1ab=cat（1,A,B）%行（垂向）聚合，等价于[A;B]

cat2ab=cat（2,A,B）%列（横向）聚合，等价于[AB]

vab=vertcat（A,B）%行聚合，等价于[A;B]

M=[12;34];

repM=Repmat（M,2,3）%将M视为一个元素的m×n矩阵。

C=eye

（2）*8;

blkdgabc=blkdiag（A,B,C）%以A，B，C为块的对角矩阵

2.3.4聚合不同类型的矩阵

聚合矩阵时，若矩阵的数据类型不同，则MATLAB会自动进行类型转换。

高精度矩阵和低精度矩阵构造新矩阵时，新矩阵是低精度型的

（1）single型和double型矩阵聚合为single型。

X=[single（4.5）pi5.73*10^300]%这也是聚合，3个1×1矩阵的聚合。

x=[ones

（2）*2ones（2,3,'single'）];class（x）%两矩阵聚合为single型。

（2）character和double型矩阵聚合为character型:

x=[‘A’‘B’‘C’686970]%x=ABCDEF；class（x）=char

（3）logical和double型矩阵聚合为double,比较特殊:

x=[truefalsefalsepisqrt（7）]%x=1.0000003.14162.6458；class（x）=double

2.4获取矩阵的元素

2.4.1获取单个元素

A（row，column）%返回矩阵中第row行，第column列元素

A（m）%返回矩阵中的第m元素。

注：

A（m）形式按矩阵的存贮顺序访问。

即行优先（行标变化最快）原则，比如一个三阶方阵的存贮顺序是a11,a21,a31,a21,a22,a23,a31,a32,a33。

显然A（4）=a21。

一般对一个m×n矩阵A（i，j）和A（p）的对应关系为：

p=（j-1）*m+i。

函数sub2ind（）和ind2sub（）可以完成单索引p和位置（i，j）间的转换。

A=[123;456;789]

p=sub2ind（size（A）,2,3）%size（A）返回矩阵A的行列值，A（2,3）为A（8）。

[row,col]=ind2sub（size（A）,8）%返回A（8）的下标（2,3）。

2.4.2获取多个元素

仔细体会冒号：

，end关键字及first:

step:

end格式的使用。

A=magic（4）

S=A（1,4）+A（2,4）+A（3,4）+A（4,4）%求第4列1~4行元素的和

S=sum（A（1:

4,4））%同上，求第4列1~4行元素的和

S=sum（A（:

2））%求第2列所有元素的和

A（1:

3:

16）=-10%每隔两个元素处的值改为-10，注意按存贮顺序访问

A（1:

3,end）=10%将矩阵A的1～3行中最后一个元素的值替换为10。

A（:

）%按存贮顺序操作A的所有元素，此处为显示。

2.5获取与矩阵有关的信息

矩阵信息函数

函数

功能

Length

返回矩阵最长维的长度

ndims

返回矩阵维数

numel

返回矩阵元素的个数

size

返回每一维的长度

下面这个例子演示上表中部分函数的使用。

A=rand（5）*10;

A（4:

5,:

）=[]%第四行，第五行各列元素全部被删除

sum（A（:

））/numel（A）%计算矩阵A中所有元素求和后再算均值。

%查找矩阵中大小介于5和7之间的所有元素。

ifndims（A）~=2%~=不等于，如果A的维数不是2即不是矩阵，就结束程序。

return

end

[rows,cols]=size（A）;

form=1:

rows%行作为外循环是符合存贮顺序的，是高效率的。

forn=1:

cols

ifA（m,n）>=5&&A（m,n）<=7%&&逻辑与运算符

disp（sprintf（'A（%d,%d）=%5.2f',n,m,A（m,n）））;%和C相同的的输出语句sprintf

end

end

end

下表中的函数检查矩阵中的元素是否属于指定的数据类型：

数据类型检查函数

函数

功能

isa

是否属于给定类型（可代替以下各函数）

iscell

确定输入数据是否属于单元（元胞）数组

iscellstr

确定输入数据是否属于字符串元胞数组

ischar

确定输入数据是否属于字符数组

isfloat

确定输入数据是否属于浮点数组

isinteger

确定输入数据是否属于整型数组

islogical

确定输入数据是否属于逻辑数组

isnumeric

确定输入数据是否属于数值数组

isreal

确定输入数据是否属于实型值数组

isstruct

确定输入数据是否属于结构数组

下面的代码从向量中找出数组中的实数。

A=[5+7i6/74.2339jpi9-2i];

form=1:

numel（A）

ifisnumeric（A（m））&&isreal（A（m））%matlab中logical也是用数值的，这条件不多余

disp（A（m））

end

end

判断数组A是否为字符串数组

A=['This''is''character']

ischar（A）

isa（A,'char'）%与ischar（）函数效果相同

下表中的函数检查矩阵中的元素是否为指定数据结构。

数据结构检查函数

函数

功能

Isempty

确定输入数据是否为空

Isscalar

确定输入数据是否为标量

Isspace

确定输入数据是否为稀疏矩阵

Isvector

确定输入数据是否为向量

2.6缩放和重塑矩阵

2.6.1缩放矩阵

使用A（i,j）=p的形式对矩阵A（m×n）的元素赋值，若i,j超出了m,n.。

矩阵会自动放大。

但使用A（m）=p形式，m超出矩阵范围，则发生错误。

A=magic（4）

A（17）=3%错误，单索引方式不能缩放矩阵

A（1,5）=3%将A放大为4×5矩阵，放大后未赋值的元素置零

使使用A（i,j）=[]的形式，可以删除矩阵中的行和列，但不能删除单个元素。

使用A（m）=[]形式可对矩阵元素作任意删除，但结果是将剩下的元素重构成一个行向量。

A=magic（4）

A（:

2）=[]%删除矩阵A的第二列元素

A（2,1）=[]%错误

A（5）=[]%结果A变成了一个15元素的行向量

2.6.2重塑矩阵

重塑矩阵函数

函数

功能

reshape

重塑矩阵

rot90

逆时针旋转矩阵90度

fliplr

沿Y轴翻转矩阵

flipud

沿X轴翻转矩阵

flipdim

沿指定方向翻转矩阵

transpose

沿主对角线翻转矩阵

ctranspose

转置矩阵

下例演示表中函数的使用。

A=[14710;25811;36912]

B=reshape（A,2,6）%3×4=>2×6重构后矩阵存贮结构不变

C=rot90（A）%将矩阵A逆时针旋转90度。

D=fliplr（A）%沿Y轴（左右）翻转矩阵

E=ctranspose（A）%等价于A’

注：

转置矩阵：

有点撇符.'和撇符'两个转置符号，其中函数ctranspose和'等价。

对于实矩阵，二者没有区别，对于复矩阵，点撇符.'只转置，撇符'转置后再对每元素求共轭。

2.7导入数据

2.7.1使用load命令导入数据

使用load命令可导入.txt、.dat类型的文本文件。

数据被保存在与文件名同名的矩阵中。

注意，必须是矩形文本。

使用load命令可导入.mat类型的内存变量文件。

命令中可省去扩展名.mat。

loadfilename

2.7.2使用Ipputwizard工具

菜单：

Start—Matlab—Inputwizard依提示导入MATLAB能识别的数据。

如Excel文件、图像等。

2.8矩阵的代数运算

1、+－：

加减运算，对应位置元素相加减

2、乘法（数学上叫叉乘）

*：

叉乘，A（m×t）*B（t×n）=C（m×n）

.*：

点乘，对应位置元素相乘

注：

加减运算，点乘运算要求两个矩阵为同型矩阵（两个行数、列数对应相同的矩阵）

例：

乘法和加法运算

A=[123;456];

B=[1234;5678;8101112];

C=A*B

D=A.*A

E=A+A

3、除法运算

由于矩阵乘法不满足交换律（即A*B≠B*A）,通常有以下两个方程

a*x=b，此时x=a\b（b左除a）

x*a=b，此时x=b/a（b右除a，或简称b除a）

如果a为非奇异矩阵（行列式不为零的矩阵），则a\b和b/a可通过a的逆矩阵与b阵得到：

a\b=inv（a）*b%inv求矩阵的逆，左乘a的逆

b/a=b*inv（a）%右乘a的逆

（另外，y.\x和y./x运算，两个矩阵对应位置元素作

运算）。

4、矩阵和常数的运算：

矩阵中的每个元素和这个常数进行通常意义下的算术运算。

2.9矩阵的逻辑运算

逻辑运算符

操作符

说明

等价的函数

&

逻辑与

and（x,y）

|

逻辑或

or（x,y）

~

逻辑非

not（x）

函数中的x与y可以都是矩阵或向量，也可以有一个是标量。

要求它们的大小完全相同（即要求是同型矩阵）。