高中数学《补集及集合运算的综合应用》导学案.docx

1、高中数学补集及集合运算的综合应用导学案11.3集合的基本运算第2课时补集及集合运算的综合应用1全集(1)全集定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集(2)全集符号表示：全集通常记作U.2补集的定义(1)自然语言：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作UA.(2)符号语言：UAx|xU且xA(3)图形语言：用Venn图表示，如下图阴影部分所示，表示UA. 1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)一个集合的补集一定含有元素()(2)集合BC与AC相等()(3)集合A与集合A在全集U中的

2、补集没有公共元素()答案(1)(2)(3)2做一做(1)(教材改编P11T4)设集合U1,2,3,4,5,6，M1,2,4，则UM等于()AU B1,3,5C3,5,6 D2,4,6(2)(教材改编P11T4)已知全集U1,2,3,4，集合A1,2，B2,3，则U(AB)等于()A1,3,4 B3,4C3 D4(3)设集合Sx|x2，Tx|4x1，则(RS)T等于()Ax|2x1 Bx|x4Cx|x1 Dx|x1答案(1)C(2)D(3)C释疑解难1全集理解全集不是固定不变的，是相对于研究的问题而言的，如在整数范围内研究问题，Z是全集，而在实数范围内研究问题，R是全集如若只讨论大于0小于5的实

3、数，可选x|0x5为全集通常也把给定的集合作为全集2补集理解(1)补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围(2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的(3)集合的补集运算与实数的减法运算可进行类比：实数集合被减数a被减集合(全集)A减数b减集合B差ab补(余)集AB(4)符号UA有三层意思：A是U的子集，即AU；UA表示一个集合，且(UA)U；UA是U中不属于A的所有元素组成的集合，即UAx|xU，且xA(5)若xU，则

4、xA或xUA，二者必居其一探究补集的简单运算例1(1)已知全集Ux|x5，集合Ax|3x5，则UA_；(2)已知全集U，集合A1,3,5,7，UA2,4,6，UB1,4,6，则集合B_.解析(1)将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示. 由补集定义可得UAx|x3或x5(2)解法一：A1,3,5,7，UA2,4,6，U1,2,3,4,5,6,7又UB1,4,6，B2,3,5,7解法二：借助Venn图，如图所示由图可知B2,3,5,7答案(1)x|x3或x5(2)2,3,5,7拓展提升求集合补集的基本方法及处理技巧(1)基本方法：定义法(2)两种处理技巧当集合用列举法表示时，可借助Venn图

5、求解；当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解【跟踪训练1】(1)设集合U1,2,3,4,5,6，M1,3,5，则UM()A2,4,6 B1,3,5C1,2,4 DU(2)若全集UxR|2x2，则集合AxR|2x0的补集UA为()AxR|0x2 BxR|0x2CxR|0x2 DxR|0x2答案(1)A(2)C解析(1)因为集合U1,2,3,4,5,6，M1,3,5，所以UM2,4,6(2)借助数轴(如图)易得UAxR|0x2探究交、并、补集的综合运算例2已知全集Ux|x4，集合Ax|2x3，Bx|3x3求UA，AB，U(AB)，(UA)B.解把全集U和集合A，B在数轴上表

6、示如下：由图可知UAx|x2或3x4，ABx|2x3，U(AB)x|x2或3x4，(UA)Bx|3x2或x3拓展提升1.补集的性质及混合运算的顺序(1)A(UA)U，A(UA).(2)U(UA)A，UU，UU.(3)U(AB)(UA)(UB)，U(AB)(UA)(UB)2当集合是用列举法表示时，如数集，可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合；当集合是用描述法表示时，如不等式形式表示的集合，则可借助数轴求解3集合的交、并、补运算是同级运算，因此在进行集合的混合运算时，有括号的先算括号内的，然后按照从左到右的顺序进行计算【跟踪训练2】已知集合Ax|x|2，Bx|3x0，Cx|x1求：AC，AB，

7、(RA)B.解ACx|2x2x|x1x|2x1；ABx|2x2x|3x0x|3x2；(RA)Bx|x2x|3x0x|3x2探究利用集合间的关系求参数例3已知集合Ax|2a2xa，Bx|1x2，且A RB，求a的取值范围解RBx|x1或x2，A RB，分A和A两种情况讨论若A，此时有2a2a，a2.若A，则有或a1.综上所述，a1或a2.条件探究本例中若把“A RB”换成“ARB”，则a的取值范围为多少？解若A，则a2满足题意若A，则需满足解得a2，综上所述a.拓展提升利用补集求参数问题的方法(1)解答本题的关键是利用A RB，对A与A进行分类讨论，转化为等价不等式(组)求解，同时要注意区域端点

8、的问题(2)不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集(3)数轴与Venn图有同样的直观功效，在数轴上可以直观地表示数集，所以进行集合的交、并、补运算时，常借助数轴求解【跟踪训练3】已知集合Ax|xa，Bx|1x3(1)若A(RB)R，求实数a的取值范围；(2)若A RB，求实数a的取值范围解(1)Bx|1x3，RBx|x1或x3，因而要使A(RB)R，结合数轴分析(如图)，可得a3.(2)Ax|xa，RBx|x1或x3要使A RB，结合数轴分析(如图)，可得a1.探究补集思想的应用正难则反例4若集合Ax|ax23x20中至多有1个元素，求实数a的取值范围解假设集合A

9、中含有2个元素，即ax23x20有两个不相等的实数根，则解得aa21或ya21或y2或a.1.全集与补集的互相依存关系(1)全集并非是包罗万象，含有任何元素的集合，它是对于研究问题而言的一个相对概念，它仅含有所研究问题中涉及的所有元素，如研究整数，Z就是全集，研究方程的实数解，R就是全集因此，全集因研究问题而异.(2)补集是集合之间的一种运算求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念.(3)UA的数学意义包括两个方面：首先必须具备AU；其次是定义UAx|xU，且xA，补集是集合间的运算关系.2.补集思想做题时“正难

10、则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求UA，再由U(UA)A求A.1已知全集UR，Ax|x0，Bx|x1，则集合U(AB)()Ax|x0 Bx|x1Cx|0x1 Dx|0x1答案D解析由题，知ABx|x0或x1，所以U(AB)x|0x12已知三个集合U，A，B之间的关系如图所示，则(UB)A()A3 B0,1,2,4,7,8C1,2 D1,2,3答案C解析由Venn图可知U0,1,2,3,4,5,6,7,8，A1,2,3，B3,5,6，所以(UB)A1,23设全集UxN|x8，集合A1,3,7，B2,3,8，则(UA)(UB)()A1,2,7,8 B4,5,

11、6C0,4,5,6 D0,3,4,5,6答案C解析UxN|x80,1,2,3,4,5,6,7,8，UA0,2,4,5,6,8，UB0,1,4,5,6,7，(UA)(UB)0,4,5,64已知集合U1,2,3,4,5,6,7，A2,4,5,7，B3,4,5，则(UA)(UB)_.答案1,2,3,6,7解析由题可得UA1,3,6，UB1,2,6,7，(UA)(UB)1,2,3,6,75已知UR，集合Ax|x2x20，Bx|mx10，B(UA)，求实数m的值解A1,2，B(UA)等价于BA.当m0时，BA；当m0时，B.1或2，即m1或m.综上，m的值为0,1，.A级：基础巩固练一、选择题1设集合U

12、1,2,3,4，A1,2，B2,4，则U(AB)()A2 B3 C1,2,4 D1,4答案B解析集合U1,2,3,4，A1,2，B2,4，则U(AB)3，故选B.2已知全集UR，集合A1,2,3,4,5，BxR|x3，则下图中阴影部分所表示的集合为()A1 B1,2C1,2,3 D0,1,2答案B解析由题意得AB3,4,5，阴影部分所表示的集合为集合A去掉集合AB中的元素所组成的集合，所以为1,23Mx|x2，Nx|xm，若(RM)N，则实数m的取值范围为()Am1 D2m2答案B解析RMx|2x2，再利用数轴来解决(RM)N时m的取值范围，易知m2.4下列四个命题中，设U为全集，则不正确的命

13、题是()A若AB，则(UA)(UB)UB若AB，则ABC若ABU，则(UA)(UB)D若AB，则AB答案D解析由图易知，A正确；由AB，得AB，B正确；由Venn图易知C正确故选D.5已知UR，Ax|x0，Bx|x1，则(AUB)(BUA)()A Bx|x0Cx|x1 Dx|x0或x1答案D解析AUBx|x0，BUAx|x1，(AUB)(BUA)x|x0或x1二、填空题6设全集UnN|1n10，A1,2,3,5,8，B1,3,5,7,9，则(UA)B_.答案7,9解析UnN|1n101,2,3,4,5,6,7,8,9,10，A1,2,3,5,8，UA4,6,7,9,10，又B1,3,5,7,9

14、，(UA)B7,97已知集合A1,3，x，B1，x2，若B(UB)A，则UB_.答案或或3解析因为B(UB)A，所以AU.当x23时，x，B1,3，UB或当x2x时，x0或1.当x0时，B0,1，UB3；而当x1时不合题意，舍去8某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_答案12解析设两项运动都喜欢的人数为x，画出Venn图得到方程15xx10x830x3，所以喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15312(人)三、解答题9已知集合Ax|4x2，集合Bx|x30求：(1)AB；(2)AB；(3)R(AB)解

15、由已知得Bx|x3，(1)ABx|3x2(2)ABx|x4(3)R(AB)x|x2B级：能力提升练10已知集合MxN*|1x15，集合A1，A2，A3满足：每个集合都恰有5个元素；A1A2A3M.集合Ai中元素的最大值与最小值之和称为集合Ai的特征数，记为Xi(i1,2,3)，求X1X2X3的最小值和最大值解集合A1，A2，A3满足：每个集合都恰有5个元素；A1A2A3M，A1，A2，A3中一定各包含五个数值当X1X2X3取得最小值时，集合A1，A2，A3中的最小值分别是1,2,3，最大值是15,11,7，和最小，如：A11,12,13,14,15，A22,8,9,10,11，A33,4,5,6,7时，X1X2X3最小，最小值为39，当集合A1，A2，A3中的最小值分别是1,5,9，最大值是15,14,13时，和最大，如：当A11,2,3,4,15，A25,6,7,8,14，A39,10,11,12,13时，X1X2X3最大，最大值为57.