高中数学《补集及集合运算的综合应用》导学案.docx

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高中数学《补集及集合运算的综合应用》导学案

1．1.3　集合的基本运算

第2课时　补集及集合运算的综合应用

1．全集

（1）全集定义：

如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．

（2）全集符号表示：

全集通常记作U.

2．补集的定义

（1）自然语言：

对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA.

（2）符号语言：

∁UA＝

{x|x∈U且x∉A}．

（3）图形语言：

用Venn图表示，如下图阴影部分所示，表示∁UA.

1．判一判（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）一个集合的补集一定含有元素．（　　）

（2）集合∁BC与∁AC相等．（　　）

（3）集合A与集合A在全集U中的补集没有公共元素．（　　）

答案　

（1）×　

（2）×　（3）√

2．做一做

（1）（教材改编P11T4）设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则∁UM等于（　　）

A．UB．{1,3,5}

C．{3,5,6}D．{2,4,6}

（2）（教材改编P11T4）已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U（A∪B）等于（　　）

A．{1,3,4}B．{3,4}

C．{3}D．{4}

（3）设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则（∁RS）∪T等于（　　）

A．{x|－2

C．{x|x≤1}D．{x|x≥1}

答案　

（1）C　

（2）D　（3）C

『释疑解难』

1．全集理解

全集不是固定不变的，是相对于研究的问题而言的，如在整数范围内研究问题，Z是全集，而在实数范围内研究问题，R是全集．如若只讨论大于0小于5的实数，可选{x|0

2．补集理解

（1）补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割．一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围．

（2）补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的．

（3）集合的补集运算与实数的减法运算可进行类比：

实数

集合

被减数a

被减集合（全集）A

减数b

减集合B

差a－b

补（余）集∁AB

（4）符号∁UA有三层意思：

①A是U的子集，即A⊆U；②∁UA表示一个集合，且（∁UA）⊆U；③∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．

（5）若x∈U，则x∈A或x∈∁UA，二者必居其一．

探究

　　补集的简单运算

例1　

（1）已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁UA＝________；

（2）已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，∁UB＝{1,4,6}，则集合B＝________.

解析　

（1）将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示.由补集定义可得∁UA＝{x|x<－3或x＝5}．

（2）解法一：

A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，

∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}．

又∁UB＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7}．

解法二：

借助Venn图，如图所示．

由图可知B＝{2,3,5,7}．

答案　

（1）{x|x<－3或x＝5}　

（2）{2,3,5,7}

拓展提升

求集合补集的基本方法及处理技巧

（1）基本方法：

定义法．

（2）两种处理技巧

①当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解；

②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．

【跟踪训练1】　

（1）设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,3,5}，则∁UM＝（　　）

A．{2,4,6}B．{1,3,5}

C．{1,2,4}D．U

（2）若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，则集合A＝{x∈R|－2≤x≤0}的补集∁UA为（　　）

A．{x∈R|0

C．{x∈R|0

答案　

（1）A　

（2）C

解析　

（1）因为集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,3,5}，所以∁UM＝{2,4,6}．

（2）借助数轴（如图）易得∁UA＝{x∈R|0

探究

　　交、并、补集的综合运算

例2　已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2

解　把全集U和集合A，B在数轴上表示如下：

由图可知

∁UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，

A∩B＝{x|－2

∁U（A∩B）＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，

（∁UA）∩B＝{x|－3

拓展提升

1.补集的性质及混合运算的顺序

（1）A∪（∁UA）＝U，A∩（∁UA）＝∅.

（2）∁U（∁UA）＝A，∁UU＝∅，∁U∅＝U.

（3）∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB），∁U（A∪B）＝（∁UA）∩（∁UB）．

2．当集合是用列举法表示时，如数集，可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合；当集合是用描述法表示时，如不等式形式表示的集合，则可借助数轴求解．

3．集合的交、并、补运算是同级运算，因此在进行集合的混合运算时，有括号的先算括号内的，然后按照从左到右的顺序进行计算．

【跟踪训练2】　已知集合A＝{x||x|≤2}，B＝{x|－3

求：

A∩C，A∪B，（∁RA）∩B.

解　A∩C＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x≤1}＝{x|－2≤x≤1}；

A∪B＝{x|－2≤x≤2}∪{x|－3

（∁RA）∩B＝{x|x<－2或x>2}∩{x|－3

探究

　　利用集合间的关系求参数

例3　已知集合A＝{x|2a－2

解　∁RB＝{x|x≤1或x≥2}≠∅，

∵A∁RB，

∴分A＝∅和A≠∅两种情况讨论．

①若A＝∅，此时有2a－2≥a，∴a≥2.

②若A≠∅，

则有

或

∴a≤1.

综上所述，a≤1或a≥2.

[条件探究]　本例中若把“A∁RB”换成“A∩∁RB＝∅”，则a的取值范围为多少？

解　①若A＝∅，则a≥2满足题意．

②若A≠∅，则需满足

解得

≤a<2，综上所述a≥

.

拓展提升

利用补集求参数问题的方法

（1）解答本题的关键是利用A∁RB，对A＝∅与A≠∅进行分类讨论，转化为等价不等式（组）求解，同时要注意区域端点的问题．

（2）不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集．

（3）数轴与Venn图有同样的直观功效，在数轴上可以直观地表示数集，所以进行集合的交、并、补运算时，常借助数轴求解．

【跟踪训练3】　已知集合A＝{x|x

（1）若A∪（∁RB）＝R，求实数a的取值范围；

（2）若A∁RB，求实数a的取值范围．

解　

（1）∵B＝{x|1

∴∁RB＝{x|x≤1或x≥3}，

因而要使A∪（∁RB）＝R，结合数轴分析（如图），可得a≥3.

（2）∵A＝{x|x

探究

　　补集思想的应用——正难则反

例4　若集合A＝{x|ax2＋3x＋2＝0}中至多有1个元素，求实数a的取值范围．

解　假设集合A中含有2个元素，即ax2＋3x＋2＝0有两个不相等的实数根，则

解得a<

且a≠0，则此时实数a的取值范围是

.在全集U＝R中，集合

的补集是

.所以满足题意的实数a的取值范围是

.

拓展提升

运用补集思想解题的方法

当从正面考虑情况较多，问题较复杂的时候，往往考虑运用补集思想．其解题步骤为：

（1）否定已知条件，考虑反面问题；

（2）求解反面问题对应的参数范围；

（3）取反面问题对应的参数范围的补集．

【跟踪训练4】　已知集合A＝{y|y>a2＋1或y

解　因为A＝{y|y>a2＋1或y

由

得

故a≤－

或

≤a≤2.

即A∩B＝∅时，a的取值范围为a≤－

或

≤a≤2，

故A∩B≠∅时，a的取值范围为a>2或－

.

1.全集与补集的互相依存关系

（1）全集并非是包罗万象，含有任何元素的集合，它是对于研究问题而言的一个相对概念，它仅含有所研究问题中涉及的所有元素，如研究整数，Z就是全集，研究方程的实数解，R就是全集．因此，全集因研究问题而异.

（2）补集是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念.

（3）∁UA的数学意义包括两个方面：

首先必须具备A⊆U；其次是定义∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}，补集是集合间的运算关系.

2.补集思想

做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求∁UA，再由∁U（∁UA）＝A求A.

1．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）＝（　　）

A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}

C．{x|0≤x≤1}D．{x|0

答案　D

解析　由题，知A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，所以∁U（A∪B）＝{x|0

2．已知三个集合U，A，B之间的关系如图所示，则（∁UB）∩A＝（　　）

A．{3}B．{0,1,2,4,7,8}

C．{1,2}D．{1,2,3}

答案　C

解析　由Venn图可知U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,2,3}，B＝{3,5,6}，所以（∁UB）∩A＝{1,2}．

3．设全集U＝{x∈N|x≤8}，集合A＝{1,3,7}，B＝{2,3,8}，则（∁UA）∩（∁UB）＝（　　）

A．{1,2,7,8}B．{4,5,6}

C．{0,4,5,6}D．{0,3,4,5,6}

答案　C

解析　∵U＝{x∈N|x≤8}＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，

∴∁UA＝{0,2,4,5,6,8}，∁UB＝{0,1,4,5,6,7}，

∴（∁UA）∩（∁UB）＝{0,4,5,6}．

4．已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5,7}，B＝{3,4,5}，则（∁UA）∪（∁UB）＝________.

答案　{1,2,3,6,7}

解析　由题可得∁UA＝{1,3,6}，∁UB＝{1,2,6,7}，

∴（∁UA）∪（∁UB）＝{1,2,3,6,7}．

5．已知U＝R，集合A＝{x|x2－x－2＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，B∩（∁UA）＝∅，求实数m的值．

解　A＝{－1,2}，B∩（∁UA）＝∅等价于B⊆A.

当m＝0时，B＝∅⊆A；

当m≠0时，B＝

.

∴－

＝－1或－

＝2，即m＝1或m＝－

.

综上，m的值为0,1，－

.

A级：

基础巩固练

一、选择题

1．设集合U＝{1,2,3,4}，A＝{1,2}，B＝{2,4}，则∁U（A∪B）＝（　　）

A．{2}B．{3}C．{1,2,4}D．{1,4}

答案　B

解析　集合U＝{1,2,3,4}，A＝{1,2}，B＝{2,4}，则∁U（A∪B）＝{3}，故选B.

2．已知全集U＝R，集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x∈R|x≥3}，则下图中阴影部分所表示的集合为（　　）

A．{1}B．{1,2}

C．{1,2,3}D．{0,1,2}

答案　B

解析　由题意得A∩B＝{3,4,5}，阴影部分所表示的集合为集合A去掉集合A∩B中的元素所组成的集合，所以为{1,2}．

3．M＝{x|x<－2或x>2}，N＝{x|x≤m}，若（∁RM）∩N≠∅，则实数m的取值范围为（　　）

A．m<2B．m≥－2

C．m>－1D．－2≤m≤2

答案　B

解析　∁RM＝{x|－2≤x≤2}，再利用数轴来解决（∁RM）∩N≠∅时m的取值范围，易知m≥－2.

4．下列四个命题中，设U为全集，则不正确的命题是（　　）

A．若A∩B＝∅，则（∁UA）∪（∁UB）＝U

B．若A∪B＝∅，则A＝B＝∅

C．若A∪B＝U，则（∁UA）∩（∁UB）＝∅

D．若A∩B＝∅，则A＝B＝∅

答案　D

解析　由图易知，A正确；

由A∪B＝∅，得A＝B＝∅，B正确；

由Venn图易知C正确．

故选D.

5．已知U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x≤－1}，则（A∩∁UB）∪（B∩∁UA）＝（　　）

A．∅B．{x|x≤0}

C．{x|x>－1}D．{x|x>0或x≤－1}

答案　D

解析　∵A∩∁UB＝{x|x>0}，B∩∁UA＝{x|x≤－1}，∴（A∩∁UB）∪（B∩∁UA）＝{x|x>0或x≤－1}．

二、填空题

6．设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1,2,3,5,8}，B＝{1,3,5,7,9}，则（∁UA）∩B＝________.

答案　{7,9}

解析　∵U＝{n∈N|1≤n≤10}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，A＝{1,2,3,5,8}，∴∁UA＝{4,6,7,9,10}，

又∵B＝{1,3,5,7,9}，∴（∁UA）∩B＝{7,9}．

7．已知集合A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，若B∪（∁UB）＝A，则∁UB＝________.

答案　{－

}或{

}或{3}

解析　因为B∪（∁UB）＝A，所以A＝U.

①当x2＝3时，x＝±

，B＝{1,3}，∁UB＝{

}或{－

}．

②当x2＝x时，x＝0或1.

当x＝0时，B＝{0,1}，∁UB＝{3}；而当x＝1时不合题意，舍去．

8．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．

答案　12

解析　设两项运动都喜欢的人数为x，画出Venn图得到方程15－x＋x＋10－x＋8＝30⇒x＝3，所以喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15－3＝12（人）．

三、解答题

9．已知集合A＝{x|－4≤x≤－2}，集合B＝{x|x＋3≥0}．

求：

（1）A∩B；

（2）A∪B；

（3）∁R（A∩B）．

解　由已知得B＝{x|x≥－3}，

（1）A∩B＝{x|－3≤x≤－2}．

（2）A∪B＝{x|x≥－4}．

（3）∁R（A∩B）＝{x|x<－3或x>－2}．

B级：

能力提升练

10．已知集合M＝{x∈N*|1≤x≤15}，集合A1，A2，A3满足：

①每个集合都恰有5个元素；

②A1∪A2∪A3＝M.

集合Ai中元素的最大值与最小值之和称为集合Ai的特征数，记为Xi（i＝1,2,3），求X1＋X2＋X3的最小值和最大值．

解　∵集合A1，A2，A3满足：

①每个集合都恰有5个元素；②A1∪A2∪A3＝M，∴A1，A2，A3中一定各包含五个数值．当X1＋X2＋X3取得最小值时，集合A1，A2，A3中的最小值分别是1,2,3，最大值是15,11,7，和最小，如：

A1＝{1,12,13,14,15}，A2＝{2,8,9,10,11}，A3＝{3,4,5,6,7}时，X1＋X2＋X3最小，最小值为39，

当集合A1，A2，A3中的最小值分别是1,5,9，最大值是15,14,13时，和最大，如：

当A1＝{1,2,3,4,15}，A2＝{5,6,7,8,14}，A3＝{9,10,11,12,13}时，X1＋X2＋X3最大，最大值为57.