高中数学新人教B版必修4 弧度制和弧度制与角度制的换算.docx

1、高中数学新人教B版必修4 弧度制和弧度制与角度制的换算11.2弧度制和弧度制与角度制的换算预习课本P711，思考并完成以下问题(1)1弧度的角是如何定义的？(2)如何求角的弧度数？(3)如何进行弧度与角度的换算？(4)以弧度为单位的扇形弧长、面积公式是什么？1度量角的两种制度(1)角度制：定义：用度作单位来度量角的制度1度的角：把圆周360等分，则其中1份所对的圆心角是1度(2)弧度制：定义：以弧度为单位来度量角的制度1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角弧度数的计算公式：在半径为r的圆中，若弧长为l的弧所对的圆心角为 rad，则.点睛用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两个字可以省略不

2、写，如2 rad的单位“rad”可省略不写，只写2.2角度与弧度的互化(1)180 rad.(2)常用的角度数与弧度数的互化：度030456090120135150180225270315360弧度023.弧长与扇形面积公式公式度量制弧长公式扇形面积公式角度制lS弧度制lr(02)Slrr2(02)点睛(1)在应用扇形面积公式Sr2时，要注意的单位是“弧度”(2)在运用公式时，根据已知条件，选择合适的公式代入(3)在弧度制下的扇形面积公式Slr，与三角形面积公式Sah(其中h是三角形底边a上的高)的形式较相似，可类比记忆(4)由，r，l，S中任意的两个量可以求出另外的两个量1判断下列命题是否正

3、确(正确的打“”，错误的打“”)(1)1弧度1.()(2)每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应()(3)用弧度制度量角，与圆的半径长短有关()答案：(1)(2)(3)25弧度的角的终边所在的象限为()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案：D3半径为1，圆心角为的扇形的弧长是()A. BC. D.答案：C4(1)_；(2)210_.答案：(1)120(2)角度与弧度的换算典例把下列角度化成弧度或弧度化成角度：(1)72；(2)300；(3)2；(4).解(1)7272.(2)300300.(3)22.(4)40.角度与弧度的互化技巧在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式 rad

4、180是关键，由它可以得到：度数弧度数，弧度数度数活学活用将下列角度与弧度进行互化：(1)；(2)；(3)10；(4)855.解：(1)18015 330.(2)180105.(3)1010.(4)855855.用弧度制表示终边相同的角典例已知角2 018.(1)将改写成2k(kZ,02)的形式，并指出是第几象限角；(2)在区间2，4)上找出与终边相同的角解(1)因为2 0186360142，且142142，所以12，故是第二象限角(2)与终边相同的角可表示为2k，kZ，又24，所以k1,0,1，将k的值分别代入2k，kZ，得，.用弧度制表示终边相同的角2k(kZ)时，其中2k是的偶数倍，而不

5、是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用活学活用1将1 125表示成2k，02，kZ的形式为_解析：因为1 1254360315，315315，所以1 1258.答案：82用弧度表示终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合解：如题图，330角的终边与30角的终边相同，将30化为弧度，即，而7575，终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为.扇形的弧长公式及面积公式题点一：利用公式求弧长和面积1已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为.求：(1)这个圆心角所对的弧长；(2)这个扇形的面积解：(1)因为扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为，所以半径r，所以这个圆心角所对的弧长l.(2)由(1

6、)得扇形的面积S.题点二：利用公式求半径和弧度数2扇形OAB的面积是4 cm2，它的周长是8 cm，求扇形的半径和圆心角解：设扇形圆心角的弧度数为(02)，弧长为l cm，半径为r cm，依题意有由，得r2，l82r4，2.故所求扇形的半径为2、圆心角为2 rad.题点三：利用公式求扇形面积的最值3已知扇形的周长是30 cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解：设扇形的圆心角为(02)，半径为r，面积为S，弧长为l，则l2r30，故l302r，从而Slr(302r)rr215r2，所以，当r cm时，2，扇形面积最大，最大面积为 cm2.弧度制下涉及扇形问

7、题的攻略(1)明确弧度制下扇形的面积公式是Slr|r2(其中l是扇形的弧长，r是扇形的半径，是扇形的圆心角)(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解提醒运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是为弧度 层级一学业水平达标1下列说法中，错误的是()A“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B1的角是周角的，1 rad的角是周角的C1 rad的角比1的角要大D用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关解析：选D由角度制和弧度制的定义，知A、B、C说法正确用弧度制度量角时，角的大小与所对圆弧

8、长与半径的比有关，而与圆的半径无关，故D说法错误2扇形的周长是16，圆心角是2弧度，则扇形的面积是()A16 B32C16 D32解析：选C弧长l2r,4r16，r4，得l8，即Slr16.3角的终边落在区间内，则角所在的象限是()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选C3的终边在x轴的非正半轴上，的终边在y轴的非正半轴上，故角为第三象限角4时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为()A. BC. D解析：选B显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了周，转过的弧度为2.5下列表示中不正确的是()A终边在x轴上的角的集合是|k，kZB终边在y轴上的角的集合是C终

9、边在坐标轴上的角的集合是D终边在直线yx上的角的集合是解析：选D终边在直线yx上的角的集合应是.6135化为弧度为_，化为角度为_解析：135135，180660.答案：6607扇形的半径是，圆心角是60，则该扇形的面积为_解析：60，扇形的面积公式为S扇形r2()2.答案：8设集合M，N|，则MN_.解析：由，得k.kZ，k1,0,1,2，MN.答案：9一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数解：设扇形的半径为R，弧长为l，则2Rl4.根据扇形面积公式SlR，得1lR.联立解得R1，l2，2.10把下列各角化成2k(02，kZ)的形式，并指出是第几象限角(1)1 500；(2)；(3)

10、4.解：(1)1 5001 80030010，1 500与终边相同，是第四象限角(2)2，与终边相同，是第四象限角(3)42(24)，4与24终边相同，是第二象限角层级二应试能力达标1下列转化结果错误的是()A60化成弧度是B化成度是600C150化成弧度是D.化成度是15解析：选C对于A,6060；对于B，180600；对于C，150150；对于D，18015.故C错误2集合中角的终边所在的范围(阴影部分)是()解析：选C当k2m，mZ时，2m2m，mZ；当k2m1，mZ时，2m2m，mZ，所以选C.3若角与角x有相同的终边，角与角x有相同的终边，那么与间的关系为()A0 B0C2k(kZ)

11、 D2k(kZ)解析：选Dx2k1(k1Z)，x2k2(k2Z)，2(k1k2)(k1Z，k2Z)k1Z，k2Z，k1k2Z.2k(kZ)4.已知某机械采用齿轮传动，由主动轮M带着从动轮N转动(如图所示)，设主动轮M的直径为150 mm，从动轮N的直径为300 mm，若主动轮M顺时针旋转，则从动轮N逆时针旋转()A. B.C. D解析：选B设从动轮N逆时针旋转 rad，由题意，知主动轮M与从动轮N转动的弧长相等，所以，解得，选B.5若角的终边与角的终边相同，则在0,2上，终边与角的终边相同的角是_解析：由题意，得2k(kZ)，(kZ)令k0,1,2,3，得，.答案：，6圆的半径变为原来的3倍，

12、而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的_解析：设原来圆的半径为r，弧长为l，圆心角为，则lr.设将圆的半径变为原来的3倍后圆心角为1，则1，故.答案：7已知1 690.(1)把写成2k(kZ，0,2)的形式；(2)求，使与终边相同，且(4，4)解：(1)1 690436025042.(2)与终边相同，2k(kZ)又(4，4)，42k4(kZ)解得k(kZ)，k2，1,0,1.的值是，.8.如图，已知在半径为10的圆O中，弦AB的长为10.(1)求弦AB所对的圆心角的大小；(2)求所对的弧的长度l及阴影部分的面积S.解：(1)由于圆O的半径为10，弦AB的长为10，所以AOB为等边三角形，AOB，所以.(2)因为，所以lr.S扇lr10，又SAOB10525，所以SS扇SAOB2550.