高中数学新人教B版必修4 弧度制和弧度制与角度制的换算.docx
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高中数学新人教B版必修4弧度制和弧度制与角度制的换算
1．1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
预习课本P7～11，思考并完成以下问题
（1）1弧度的角是如何定义的？
（2）如何求角α的弧度数？
（3）如何进行弧度与角度的换算？
（4）以弧度为单位的扇形弧长、面积公式是什么？
1．度量角的两种制度
（1）角度制：
①定义：
用度作单位来度量角的制度．
②1度的角：
把圆周360等分，则其中1份所对的圆心角是1度．
（2）弧度制：
①定义：
以弧度为单位来度量角的制度．
②1弧度的角：
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角．
③弧度数的计算公式：
在半径为r的圆中，若弧长为l的弧所对的圆心角为αrad，则α＝.
[点睛] 用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两个字可以省略不写，如2rad的单位“rad”可省略不写，只写2.
2．角度与弧度的互化
（1）180°＝πrad.
（2）常用的角度数与弧度数的互化：
度
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
225°
270°
315°
360°
弧度
0
π
2π
3.弧长与扇形面积公式
公式
度量制
弧长公式
扇形面积公式
角度制
l＝
S＝
弧度制
l＝α·r
（0<α<2π）
S＝lr＝αr2
（0<α<2π）
[点睛]
（1）在应用扇形面积公式S＝αr2时，要注意α的单位是“弧度”．
（2）在运用公式时，根据已知条件，选择合适的公式代入．
（3）在弧度制下的扇形面积公式S＝lr，与三角形面积公式S＝ah（其中h是三角形底边a上的高）的形式较相似，可类比记忆．
（4）由α，r，l，S中任意的两个量可以求出另外的两个量．
1．判断下列命题是否正确．（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）1弧度＝1°.（ ）
（2）每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应．（ ）
（3）用弧度制度量角，与圆的半径长短有关．（ ）
答案：
（1）×
（2）√ （3）×
2．5弧度的角的终边所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
答案：
D
3．半径为1，圆心角为的扇形的弧长是（ ）
A.B．π
C.D.
答案：
C
4．
（1）＝________；
（2）－210°＝________.
答案：
（1）120°
（2）－
角度与弧度的换算
[典例] 把下列角度化成弧度或弧度化成角度：
（1）72°；
（2）－300°；（3）2；（4）－.
[解]
（1）72°＝72×＝.
（2）－300°＝－300×＝－.
（3）2＝2×°＝°.
（4）－＝－°＝－40°.
角度与弧度的互化技巧
在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式πrad＝180°是关键，由它可以得到：
度数×＝弧度数，弧度数×＝度数．
[活学活用]
将下列角度与弧度进行互化：
（1）π；
（2）－；（3）10°；（4）－855°.
解：
（1）π＝×180°＝15330°.
（2）－＝－×180°＝－105°.
（3）10°＝10×＝.
（4）－855°＝－855×＝－.
用弧度制表示终边相同的角
[典例] 已知角α＝－2018°.
（1）将α改写成φ＋2kπ（k∈Z,0≤φ＜2π）的形式，并指出α是第几象限角；
（2）在区间[－2π，4π）上找出与α终边相同的角．
[解]
（1）因为α＝－2018°＝－6×360°＋142°，且142°＝142×＝，
所以α＝－12π＋，故α是第二象限角．
（2）与α终边相同的角可表示为θ＝2kπ＋，k∈Z，
又－2π≤θ＜4π，所以k＝－1,0,1，
将k的值分别代入θ＝2kπ＋，k∈Z，
得θ＝－，，.
用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α（k∈Z）时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．
[活学活用]
1．将－1125°表示成2kπ＋α，0≤α<2π，k∈Z的形式为________．
解析：
因为－1125°＝－4×360°＋315°，
315°＝315×＝，
所以－1125°＝－8π＋.
答案：
－8π＋
2．用弧度表示终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的集合．
解：
如题图，330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－，
而75°＝75×＝，
∴终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的集合为.
扇形的弧长公式及面积公式
题点一：
利用公式求弧长和面积
1．已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为.求：
（1）这个圆心角所对的弧长；
（2）这个扇形的面积．
解：
（1）因为扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为，所以半径r＝＝，
所以这个圆心角所对的弧长l＝×＝.
（2）由
（1）得扇形的面积S＝××＝.
题点二：
利用公式求半径和弧度数
2．扇形OAB的面积是4cm2，它的周长是8cm，求扇形的半径和圆心角．
解：
设扇形圆心角的弧度数为θ（0<θ<2π），弧长为lcm，半径为rcm，
依题意有
由①②，得r＝2，∴l＝8－2r＝4，θ＝＝2.
故所求扇形的半径为2、圆心角为2rad.
题点三：
利用公式求扇形面积的最值
3．已知扇形的周长是30cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？
最大面积是多少？
解：
设扇形的圆心角为α（0<α<2π），半径为r，面积为S，弧长为l，则l＋2r＝30，故l＝30－2r，
从而S＝lr＝（30－2r）r＝－r2＋15r＝－2＋，
所以，当r＝cm时，α＝2，
扇形面积最大，最大面积为cm2.
弧度制下涉及扇形问题的攻略
（1）明确弧度制下扇形的面积公式是S＝lr＝|α|r2（其中l是扇形的弧长，r是扇形的半径，α是扇形的圆心角）．
（2）涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程（组）求解．
[提醒] 运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是α为弧度．
层级一 学业水平达标
1．下列说法中，错误的是（ ）
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．1°的角是周角的，1rad的角是周角的
C．1rad的角比1°的角要大
D．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关
解析：
选D 由角度制和弧度制的定义，知A、B、C说法正确．用弧度制度量角时，角的大小与所对圆弧长与半径的比有关，而与圆的半径无关，故D说法错误．
2．扇形的周长是16，圆心角是2弧度，则扇形的面积是（ ）
A．16πB．32π
C．16D．32
解析：
选C 弧长l＝2r,4r＝16，r＝4，得l＝8，
即S＝lr＝16.
3．角α的终边落在区间内，则角α所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
解析：
选C －3π的终边在x轴的非正半轴上，－的终边在y轴的非正半轴上，故角α为第三象限角．
4．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为（ ）
A.πB．－π
C.πD．－π
解析：
选B 显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了周，转过的弧度为－×2π＝－π.
5．下列表示中不正确的是（ ）
A．终边在x轴上的角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}
B．终边在y轴上的角的集合是
C．终边在坐标轴上的角的集合是
D．终边在直线y＝x上的角的集合是
解析：
选D 终边在直线y＝x上的角的集合应是.
6．－135°化为弧度为________，化为角度为________．
解析：
－135°＝－135×＝－π，
π＝×180°＝660°.
答案：
－π 660°
7．扇形的半径是，圆心角是60°，则该扇形的面积为________．
解析：
60°＝，扇形的面积公式为S扇形＝αr2＝××（）2＝π.
答案：
π
8．设集合M＝，N＝{α|－π<α<π}，则M∩N＝________.
解析：
由－π<－<π，得－∵k∈Z，∴k＝－1,0,1,2，
∴M∩N＝.
答案：
9．一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．
解：
设扇形的半径为R，弧长为l，则2R＋l＝4.
根据扇形面积公式S＝lR，得1＝l·R.
联立解得R＝1，l＝2，∴α＝＝＝2.
10．把下列各角化成2kπ＋α（0≤α＜2π，k∈Z）的形式，并指出是第几象限角．
（1）－1500°；
（2）π；（3）－4.
解：
（1）∵－1500°＝－1800°＋300°＝－10π＋，
∴－1500°与终边相同，是第四象限角．
（2）∵π＝2π＋π，∴π与π终边相同，是第四象限角．
（3）∵－4＝－2π＋（2π－4），
∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角．
层级二 应试能力达标
1．下列转化结果错误的是（ ）
A．60°化成弧度是
B．－π化成度是－600°
C．－150°化成弧度是－π
D.化成度是15°
解析：
选C 对于A,60°＝60×＝；对于B，－π＝－×180°＝－600°；对于C，－150°＝－150×＝－π；对于D，＝×180°＝15°.故C错误．
2．集合中角的终边所在的范围（阴影部分）是（ ）
解析：
选C 当k＝2m，m∈Z时，2mπ＋≤α≤2mπ＋，m∈Z；当k＝2m＋1，m∈Z时，2mπ＋≤α≤2mπ＋，m∈Z，所以选C.
3．若角α与角x＋有相同的终边，角β与角x－有相同的终边，那么α与β间的关系为（ ）
A．α＋β＝0 B．α－β＝0
C．α＋β＝2kπ（k∈Z）D．α－β＝＋2kπ（k∈Z）
解析：
选D ∵α＝x＋＋2k1π（k1∈Z），β＝x－＋2k2π（k2∈Z），∴α－β＝＋2（k1－k2）·π（k1∈Z，k2∈Z）．
∵k1∈Z，k2∈Z，∴k1－k2∈Z.
∴α－β＝＋2kπ（k∈Z）．
4.
已知某机械采用齿轮传动，由主动轮M带着从动轮N转动（如图所示），设主动轮M的直径为150mm，从动轮N的直径为300mm，若主动轮M顺时针旋转，则从动轮N逆时针旋转（ ）
A.B.
C.D．π
解析：
选B 设从动轮N逆时针旋转θrad，由题意，知主动轮M与从动轮N转动的弧长相等，所以×＝×θ，解得θ＝，选B.
5．若角α的终边与π角的终边相同，则在[0,2π]上，终边与角的终边相同的角是____________．
解析：
由题意，得α＝＋2kπ（k∈Z），∴＝＋（k∈Z）．令k＝0,1,2,3，得＝，，，.
答案：
，，，
6．圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的________．
解析：
设原来圆的半径为r，弧长为l，圆心角为α，则l＝αr.设将圆的半径变为原来的3倍后圆心角为α1，则α1＝＝＝，故＝.
答案：
7．已知α＝1690°.
（1）把α写成2kπ＋β（k∈Z，β∈[0,2π））的形式；
（2）求θ，使θ与α终边相同，且θ∈（－4π，4π）．
解：
（1）1690°＝4×360°＋250°＝4×2π＋π.
（2）∵θ与α终边相同，∴θ＝2kπ＋π（k∈Z）．
又θ∈（－4π，4π），∴－4π<2kπ＋π<4π（k∈Z）．
解得－∴θ的值是－π，－π，π，π.
8.
如图，已知在半径为10的圆O中，弦AB的长为10.
（1）求弦AB所对的圆心角α的大小；
（2）求α所对的弧的长度l及阴影部分的面积S.
解：
（1）由于圆O的半径为10，弦AB的长为10，
所以△AOB为等边三角形，∠AOB＝，所以α＝.
（2）因为α＝，所以l＝α·r＝.
S扇＝lr＝××10＝，
又S△AOB＝×10×5＝25，
所以S＝S扇－S△AOB＝－25＝50.
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