欧拉法解常微分方程.docx

1、欧拉法解常微分方程长 沙 理 工 大 学数学与计算科学学院实验报 告实验项目名称 Eular方法求解一阶常微分方程数值解 所属课程名称 偏微分方程数值解 实 验 类 型 验证性 实 验 日 期 013-26 班 级 学 号 姓 名 成 绩 一、实验概述:【实验目的】 熟练掌握应用显性Eulr法和隐式Eulr法求解一般一阶常微分方程的近似数值解。【实验原理】虽然求解常微分方程有各种各样的解析方法,但解析方法只能用来求解一些特殊类型的方程。求解从实际问题当中归结出来的微分方程主要靠数值解法。欧拉方法是一类重要的数值解法。这类方法回避解(x）的函数表达式，而是寻求它在一系列离散节点上的近似值，相邻的

2、两个节点的间距称作步长。假定步长为定数。欧拉方法是一类离散化方法，这类方法将寻求解y（)的分析问题转化为计算离散值值的代数问题,从而使问题获得了实质性的简化。然而随之带来的困难是，由于数据量往往很大,差分方法所归结出的可能是个大规模的代数方程组。 【实验环境】1.硬件环境 2.软件环境 MATLAB7.2、实验内容:【实验过程】（实验步骤）(一)实验任务 描述某种化学反应过程的方程，利用显性和隐形Eualar方法求解下列一阶线性微分方程组的近似数值解: (2)求解过程Eular方法: 一阶线性微分方程初值问题 (1）方程离散化:差分和差商 （2） 通过初始值，依据递推公式(2)逐步算出就为显性

3、的Elar方法。隐形Eua方法： （) 公式（3)即为隐式Eu公式。(三)程序算法1. 利用显式Eul法方求解 利用MATAB进行求解，编写脚本文件如下:文件名:hql.m 显性E方法 f0=;=0;z00 et=001； tim=1； t=:elta:time； f=zero(size(t）; =zeros(sz(); z=zers(sze(t）); f=zeros(size(t）)； g1=zers(sz(）); z1=zos(sie()； f（)=0; g(1）g0； (1）=z0; for =2:length（) f(i-1) = -.04*f（-1） + 100(-1）g(-1)；

4、f(i）=f（i-1)+f1(i-1）*dla; 1(i-1)0*f(i-1) -1000f(i-1)(i-1)-3*107*g(i-1)2； (i)=（i-)+g1(i-1)*delt; z1(i-)=3107*(i-1）2; z()=z(i-1)+z(-1)*dela； Fun=f+g+z ed igr plt(,f,); xlabel（t); yael(1); titl(t-1变化图) fur plot(t,g,）; label(t）; ylbe（y2); titl(y变化图） figur o（t,z,o）; xlabel(）; lbel（y); tite（-y变化图) fire plo

5、（t，Fun）; xlael（); abl(1+y2y3); title(t1+y2y3变化图)【实验结论】 A步长h.001时进行数据测试。结果如下：迭代第一次时，结果与方程描述内容相符。迭代第二次时,结果与方程描述内容基本相符。迭代三次时,结果与方程描述内容基本相符。迭代100次时,模拟结果已经严重脱离事实，故当选择deta为0.001时,该迭代方法不收敛。时间与个变量直接的变化关系如图所示:从上述图形可以明显看出,在迭代的不断进行时,各变量与时间的变化越来越大，且严重脱离了方程所描述的现实意义。B.当选择0.000001时,模拟结果如下： 迭代第一次, 与A中结果相同。 迭代第二次， 跌

6、二次迭代结果明显优于一中。跌三次迭代结果，并未产生误差。地1000次迭代结果， 结果明显是收敛的。 时间与个变量直接的变化关系如图所示：从图中能够清晰看出,当h=0000001时，模拟结果与方程所表示的显示意义相吻合。说明了显性Elr方法的收敛性是与步长的选择是相关。这就对我们们选择步长造成了困难,由于选择的步长不合适有可能得出错误的结论。【实验小结】（收获体会)1、软件使用 在写MATLAB语言的时候要深刻理解题的意图,整理好思绪再做题目,在我运算的过程中,h取值取得越小、越细微，曲线逼近的越好。2、欧拉法的缺点 简单地取切线的端点作为下一步的起点进行计算,当步数增多时,误差会因积累而越来越

7、大。因此欧拉格式一般不用于实际计算。3、实验感想 在这次上机实验中，我掌握了解决常微分方程的基本方法,同时学会使用计算机软件对两种不同方法得到的结果进行判断,对我们以后对数据进行分析很有帮助。三、指导教师评语及成绩:评 语评语等级优良中及格不及格1.实验报告按时完成，字迹清楚,文字叙述流畅，逻辑性强.实验方案设计合理.实验过程（实验步骤详细,记录完整,数据合理,分析透彻)4实验结论正确. 成绩： 指导教师签名： 批阅日期:附录:源 程 序程序1：%显性Eul方法f0=1;g0 =0;z0delta=0000001; time00001;t=0:delta:tie; f=zros(se(t)；=

8、zeros（sie();zer(siz（t）;=zro(ize（t）)；g1=eos(size（t);z1=zeros(ize(t);f(1）=0;(1)0;z（1)=0；or 2:length(t) f1（-) -0.04*f(i-1） 10000(i-1)*g(-); f（)=f(i-1）+f1(i1)*dlt; g(-)= .04*f（i-) - 1000(-)g（i-）-*17g(-）2; g(i）=g(1)1（-1)*delta; z1（i-1)*10*g(-1）2; (i）=z（1)+z(-1）*delt; Funf+gnd figurot(,f,o);xla(t）;label(y1);tle（t-y1变化图） figeplot（t,g，o）；xlbl()；ylabel（y2);title(t-y2变化图) figelot(t，z,o);xlabel(t);labl(y)；title(t-y3变化图） igureplo(t,u);xlabel（t);ylal（y1+y2y3);tite(t-y1+y+y3变化图)