欧拉法解常微分方程.docx
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欧拉法解常微分方程
长沙理工大学
数学与计算科学学院
实 验 报告
实验项目名称Eular方法求解一阶常微分方程数值解
所属课程名称 偏微分方程数值解
实验类型 验证性
实验日期 ２01５－3-26
班 级
学 号
姓名
成 绩
一、实验概述:
【实验目的】
熟练掌握应用显性Eulａr法和隐式Eulａr法求解一般一阶常微分方程的近似数值解。
【实验原理】
虽然求解常微分方程有各种各样的解析方法,但解析方法只能用来求解一些特殊类型的方程。
求解从实际问题当中归结出来的微分方程主要靠数值解法。
欧拉方法是一类重要的数值解法。
这类方法回避解ｙ（x）的函数表达式，而是寻求它在一系列离散节点上的近似值，相邻的两个节点的间距称作步长。
假定步长为定数。
欧拉方法是一类离散化方法，这类方法将寻求解y（ｘ）的分析问题转化为计算离散值值的代数问题,从而使问题获得了实质性的简化。
然而随之带来的困难是，由于数据量往往很大,差分方法所归结出的可能是个大规模的代数方程组。
【实验环境】
1.硬件环境
2.２.软件环境
MATLAB7.０
2、实验内容:
【实验过程】（实验步骤）
（一）实验任务
描述某种化学反应过程的方程，利用显性和隐形Eualar方法求解下列一阶线性微分方程组的近似数值解:
（2）求解过程
Eular方法:
一阶线性微分方程初值问题
（1）
方程离散化:
差分和差商
（2）
通过初始值
，依据递推公式
（2）逐步算出
就为显性的Eｕlar方法。
隐形Euｌaｒ方法：
（３）
公式（3）即为隐式Euｌａｒ公式。
（三）程序算法
1.利用显式Eulａｒ法方求解
利用MATＬAB进行求解，编写脚本文件如下:
文件名:
hql.m
％显性Eｕｌａｒ方法
f0=１; ｇ０ =0;z0＝0
ｄeｌtａ=0．01；
timｅ=1；
t=０:
ｄelta:
time；
f=zeroｓ（size（t））;
ｇ=zeros（sｉzｅ（ｔ））;
z=zerｏs（sｉze（t））;
f１=zeros（size（t））；
g1=zerｏs（sｉzｅ（ｔ））;
z1=zｅｒos（siｚe（ｔ））；
f（１）=ｆ0;
g
（1）＝g0；
ｚ
（1）=z0;
forｉ=2:
length（ｔ）
f１（i-1）=-０.04*f（ｉ-1）+1０00０＊ｆ（ｉ-1）＊g（ｉ-1）；
f（i）=f（i-1）+f1（i-1）*dｅlｔa;
ｇ1（i-1） ＝ ０．0４*f（i-1）- 10０00＊f（i-1）＊ｇ（i-1）-3*10^7*g（i-1）^2；
ｇ（i）=ｇ（i-１）+g1（i-1）*deltａ;
z1（i-１）=3＊10^7*ｇ（i-1）^2;
z（ｉ）=z（i-1）+z（ｉ-1）*delｔa；
Fun=f+g+z
eｎd
ｆigｕrｅ
plｏt（ｔ,f,＇ｏ'）;
xlabel（'t'）;
yｌaｂel（'ｙ1'）;
titlｅ（'t-ｙ1变化图'）
fｉｇurｅ
plot（t,g,'ｏ'）;
ｘlabel（'t'）;
ylａbeｌ（'y2＇）;
titlｅ（'ｔ－y２变化图＇）
figurｅ
ｐｌoｔ（t,z,＇o'）;
xlabel（＇ｔ'）;
ｙlａbel（＇y３'）;
titｌe（'ｔ-y３变化图'）
fiｇｕre
ploｔ（t，Fun）;
xlaｂel（'ｔ'）;
ｙｌabｅl（'ｙ1+y2＋y3'）;
title（＇t－ｙ1+y2＋y3变化图'）
【实验结论】
A步长h＝０.001时进行数据测试。
结果如下：
迭代第一次时，
结果与方程描述内容相符。
迭代第二次时,
结果与方程描述内容基本相符。
迭代三次时,
结果与方程描述内容基本相符。
迭代100０次时,
模拟结果已经严重脱离事实，故当选择deｌta为0.001时,该迭代方法不收敛。
时间与个变量直接的变化关系如图所示:
从上述图形可以明显看出,在迭代的不断进行时,各变量与时间的变化越来越大，且严重脱离了方程所描述的现实意义。
B.当选择ｈ＝0.0０0０0001时,模拟结果如下：
迭代第一次,
与A中结果相同。
迭代第二次，
跌二次迭代结果明显优于一中。
跌三次迭代结果，
并未产生误差。
地1000次迭代结果，
结果明显是收敛的。
时间与个变量直接的变化关系如图所示：
从图中能够清晰看出,当h=0．0００00001时，模拟结果与方程所表示的显示意义相吻合。
说明了显性Eｕａlr方法的收敛性是与步长的选择是相关。
这就对我们们选择步长造成了困难,由于选择的步长不合适有可能得出错误的结论。
【实验小结】（收获体会）
1、软件使用
在写MATLAB语言的时候要深刻理解题的意图,整理好思绪再做题目,在我运算的过程中,h取值取得越小、越细微，曲线逼近的越好。
2、欧拉法的缺点
简单地取切线的端点作为下一步的起点进行计算,当步数增多时,误差会因积累而越来越大。
因此欧拉格式一般不用于实际计算。
3、实验感想
在这次上机实验中，我掌握了解决常微分方程的基本方法,同时学会使用计算机软件对两种不同方法得到的结果进行判断,对我们以后对数据进行分析很有帮助。
三、指导教师评语及成绩:
评语
评语等级
优
良
中
及格
不及格
1.实验报告按时完成，字迹清楚,文字叙述流畅，逻辑性强
２.实验方案设计合理
３.实验过程（实验步骤详细,记录完整,数据合理,分析透彻）
4实验结论正确.
成 绩：
指导教师签名：
批阅日期:
附录:
源程序
程序1：
%显性Eulａｒ方法
f0=1; g0=0;z0＝０
delta=０．000０0001;
time＝０．00001;
t=0:
delta:
tiｍe;
f=zｅros（sｉｚe（t））；
ｇ=zeros（siｚe（ｔ））;
z＝ｚerｏｓ（sizｅ（t））;
ｆ１=zｅroｓ（ｓize（t））；
g1=ｚeｒos（size（t））;
z1=zeros（ｓize（t））;
f
（1）=ｆ0;
ｇ
（1）＝ｇ0;
z
（1）=ｚ0；
ｆorｉ＝2:
length（t）
f1（ｉ-１） ＝-0.04*f（i-1）＋10000＊ｆ（i-1）*g（ｉ-１）;
f（ｉ）=f（i-1）+f1（i－1）*dｅltａ;
g１（ｉ-１） =０.04*f（i-１）-10０00＊ｆ（ｉ-１）＊g（i-１）-３*1０＾7＊g（ｉ-１）^2;
g（i）=g（ｉ－1）＋ｇ1（ｉ-1）*delta;
z1（i-1）＝３*10＾７*g（ｉ-1）＾2;
ｚ（i）=z（ｉ－1）+z（ｉ-1）*deltａ;
Fun＝f+g＋ｚ
ｅnd
figurｅ
ｐｌot（ｔ,f,'o'）;
xlaｂｅｌ（'t'）;
ｙlabel（'y1'）;
tｉｔle（＇t-y1变化图＇）
figｕｒe
plot（t,g，'o'）；
xlａbｅl（'ｔ'）；
ylabel（＇y2＇）;
title（'t-y2变化图＇）
figｕｒe
ｐlot（t，z,'o＇）;
xlabel（'t＇）;
ｙlabｅl（'y３＇）；
title（'t-y3变化图'）
ｆigure
ploｔ（t,Ｆuｎ）;
xlabel（'t'）;
ylaｂｅl（'y1+y2＋y3'）;
titｌe（'t-y1+y２+y3变化图'）
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