概率论与数理统计期末复习20题解答.docx

1、概率论与数理统计期末复习20题解答x .(3 )求X的概率密度.概率论与数理统计期末复习20题及解答【第一章】 随机事件与概率1、甲袋中有4个白球3个黑球，乙袋中有 2个白球3个黑球，先从甲袋中任取一球放入乙袋 ，再从乙袋中任取一球返还甲袋.求经此换球过程后甲袋中黑球数增加的概率 .2、 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求此人拨号不超过两次而接通所需电 话的概率.3、 已知将0,1两字符之一输入信道时输出的也是字符 0或1 ,且输出结果为原字符的概率为(0 1).假设该信道传输各字符时是独立工作的 现以等概率从“ 101”，“ 010 ”这两个字符串中任取一个输入信道求输出

2、结果恰为“ 000 ”的概率.4、 试卷中的一道选择题有 4个答案可供选择，其中只有 1个答案是正确的某考生如果会做这道题， 则一定能选出正确答案；若该考生不会做这道题，则不妨随机选取一个答案设该考生会做这道题的概率为0.85 (1 )求该考生选出此题正确答案的概率； (2)已知该考生做对了此题，求该考生确实会做这道题的概率.【第二章】 随机变量及其分布5、设连续随机变量X的分布函数为F (x) A Barctanx,(1)求系数A及B ;(2)求X落在区间(1, 1)内的概率;【第三章】数字特征10、设随机变量X的概率密度为(1 )求X,Y的数学期望E(X), E(Y)，方差D(X), D(

3、Y) (2)求X,Y的协方差cov(X,Y)与相 关系数R(X,Y) 【第四章】正态分布13、 假设某大学学生在一次概率论与数理统计统考中的考试成绩 X (百分制)近似服从正态分布，已知满分为100分平均成绩为75分，95分以上的人数占考生总数的 2.3%. (1)试估计本次考试的不及格率(低于60分为不及格);(2)试估计本次考试成绩在 65分至85分之间的考生人数占考生总数的比例 .已知 (1) 0.8413, (1.5) 0.9332 , (2) 0.977214、 两台机床分别加工生产轴与轴衬.设随机变量 X (单位：mm )表示轴的直径，随机变量 Y (单 位：mm )表示轴衬的内径

4、，已知 X N(50, 0.32), Y N(52,0.42)，显然X与Y是独立的.如果轴 衬的内径与轴的直径之差在 1 3 mm之间，则轴与轴衬可以配套使用.求任取一轴与一轴衬可以配套使用的概率.已知 (2) 0.9772【第五章】数理统计基本知识15、设总体X N(0, 1) , X1,X2, ,X5是来自该总体的简单随机样本，求常数 k 0使k(X1 2X2)T 1 t(3).vxI x： X5216、设总体X N(40, 52)，从该总体中抽取容量为 64的样本，求概率 P(| X 40 | 1).【第六章】参数估计17、设总体X的概率密度为其中参数（1）（2）0 设X1,X2, ,X

5、n是取自该总体的一组简单随机样本，x1,X2,Xn为样本观测值求参数求参数的矩估计量. 的最大似然估计量.18、设总体X的概率密度为f(x; ) xe ， x 0；0, x 0,其中参数0设X1,X2, ,Xn是取自该总体的一组简单随机样本 ，为，X2,Xn为样本观测值（1）求参数的最大似然估计量.的无偏估计，请说明理由你得到的估计量是不是参数(2)【第七章】假设检验.某工艺品厂生产矩形裱0 0.618的正态分布.现从该厂某日生产的一批产品中随机抽取 25个样品，测得其宽与长之比的平均值为 x 0.646,样本标准差为s 0.093.试问在显著性水平 0.05水平上能否认为这批产品是合格品？2

6、0、已知某种口服药存在使服用者收缩压 （高压）增高的副作用.临床统计表明，在服用此药的人群中收缩压的增高值服从均值为 0 22 （单位：mmHg，毫米汞柱）的正态分布.现在研制了一种新的替代药品，并对一批志愿者进行了临床试验 .现从该批志愿者中随机抽取 16人测量收缩压增高值，计算得到样本均值x 19.5（mmHg），样本标准差s 5.2（mmHg ）.试问这组临床试验的样本数据能否支持“新的替代 药品比原药品副作用小”这一结论 （取显著性水平 0.05）.解答部分【第一章】 随机事件与概率1、甲袋中有4个白球3个黑球，乙袋中有 2个白球3个黑球，先从甲袋中任取一球放入乙袋 ，再从乙袋中任取一

7、球返还甲袋.求经此换球过程后甲袋中黑球数增加的概率，C表示“经此换【解】设A表示“从甲袋移往乙袋的是白球” ，B表示“从乙袋返还甲袋的是黑球”球过程后甲袋中黑球数增加”，则C AB，2、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求此人拨号不超过两次而接通所需电话的概率.【解】 设Ai表示“此人第i次拨号能拨通所需电话” (i 1,2), A表示“此人拨号不超过两次而接通所需电话”，则A A1 AA2，由概率加法定理与乘法定理得所求概率为P(A) P(Ai AA2) P(A) P(AA2)1 9 1P(A) P(A)P(A2|A) 0.2.1 10 10 93、已知将0,1两字符之一输

8、入信道时输出的也是字符 0或1 ,且输出结果为原字符的概率为(0 1).假设该信道传输各字符时是独立工作的 .现以等概率从“ 101”，“ 010 ”这两个字符串中任取一个输入信道.求输出结果恰为“ 000 ”的概率.【解】设A1 :输入的是“ 101 ”，A2：输入的是“ 010 ”，B:输出的是“ 000 ”，贝yP(AJ 1/2 , P(A2)1/2 , P(B卜J (1 )2 , P(B A2) 2(1 ),从而由全概率公式得P(B) P(AJP(B A1) P(A2)P(B A2)12 1 2 1(1 )2 2(1 ) (1 ).22 24、试卷中的一道选择题有 4个答案可供选择，其

9、中只有 1个答案是正确的某考生如果会做这道题,则一定能选出正确答案；若该考生不会做这道题，则不妨随机选取一个答案设该考生会做这道题的概率为0.85 (1 )求该考生选出此题正确答案的概率； (2)已知该考生做对了此题，求该考生确实会做这道题的概率.【解】设A表示“该考生会解这道题” ，B表示“该考生选出正确答案”，则P(A) 0.85 , P(A) 0.2 , P(B A) 1 , P(B| A) 0.25.(1 )由全概率公式得P(B) P(A)P(B A) P(A)P(B|A)0.85 1 0.2 0.25 0.9. (2)由贝叶斯公式得【第二章】 随机变量及其分布5、设连续随机变量X的分

10、布函数为F(x)AB arcta nx,x .(1)求系数A及B ; (2)求X落在区间(1,1)内的概率；(3 )求X的概率密度.【解】(1)由分布函数的性质可知F()lim F(x) AxB ( ) 0,2F()lim F(x) AxB - 1 ,2由此解得A 1 1A , B -2(2) X的分布函数为1 1F (x) arctan x ( x ),2于是所求概率为P( 1 X 1)(3) X的概率密度为11 11F(1) F( 1) ( arcta n1) ( arcta n( 1)6、设随机变量X的概率密度为f (x) ax, 0 x 人 f(x) 0,其它，求：(1)常数 a ；

11、(2) P(0.5 X 1.5); (3) X 的分布函数 F(x).【解】(1 )由概率密度的性质可知2 2&设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x, y)1 , 0 x 1,0 y2x;0,其它.求：(1)(X,Y)的边缘概率密度 fX(x)， fY(y) ；(2)概率P(X1-,Y 1) ；(3)判断X, Y是否相互2独立【解】(1 )当0 x 1时，有2xfx(x)f(x, y)dy 0 dy 2x ；当x 0或x 1时，显然有fx(x)0.于是X的边缘概率密度为fx(x)2x, 0 x0, 其它.1；当0 y 2时，有fY(y)f(x,y)dx1y dx 122当y 0或y 2时

12、，显然有fY(y)0.于是Y的边缘概率密度为fY(y)1上20 y 20,其它.1 1 1/2(2)P(X 2，Y 1) - dy1 1/ 214 .f(x, y)dxdy dx0 y/2所以X的边缘概率密度fx(X) 0 (3)容易验证f (x, y) fx(x)fY(y),故X与Y不独立.9、设X和Y是两个相互独立的随机变量,X U0, 0.2，Y的概率密度函数为(2)求X和Y的联合概率密度 f (x, y) ；(2)【解】(1)由题意知，X的概率密度函数为因为X和Y相互独立，故X和Y5e 5y, y0,0,y0.求概率P(YX).5,0 x0.2;0,其它.25e 5y0 x0,其它.f

13、y(y)fx(X)f (x, y) fx(x)fY(y)0.2, y 0;(2)P(Y X)yf(x,y)dxdy (x0.2dxx25e ydy002 5x5 0 (1 e )dx e【第三章】数字特征10、设随机变量X的概率密度为(ab)xb, 0 x1,f(x)a (2x),1 x2,0J其它，1已知 E(X),求：(1) a,b的值；(2) E(2X 3).2【解】(1 )由概率密度的性质可知1 2f(x)dx 0(a b)x bdx 1 a(2 x) dx又f(x)dxAe2xA1 ,0dx2A2- 2x2x11t 1 _、1x 2edxtedtr(2)02022E(2X3) 2E(

14、X) 32-3211、设随机变量 X的概率密度为 Ae 2x ,x0,f(x) 0,x0.(2) 由数学期望的性质，有求: ( 1)常数 A ；( 2)E(X)和 D(X).【解】(1 )由概率密度的性质可知4 .由此得(2)由数学期望公式得E(X)由于故利用方差计算公式得2 2 1 12 1 D(X) E(X ) E(X)-.412、设(X,Y)的联合概率分布如下:(1 )求X,Y的数学期望E(X), E(Y)，方差D(X), D(Y) . (2)求X,Y的协方差cov(X,Y)与相 关系数R(X,Y).P(X 0)1/4,P(X1) 3/4P(Y 0)1/2,P(Y1) 1/2 ,1由0

15、1分布的期望与方差公式得E(X)3/4,D(X)3/4(1 1/4)3/16 ,E(Y)1/2,D(Y)1/2(1 1/2)1/4 ,由(X,Y)的联合概率分布知E(XY) 00 1/40 10 1 C)1/4 11 1/41/2从而cov(X,Y)E(XY)E(X)日丫)1/2 3/41/21/8,【解】 由(X ,Y)的联合概率分布知X,Y服从0 1分布:R(X,Y)cov(X,Y) 1/8、D(X) 、 D(Y) - 3/16. 1/4【第四章】正态分布13、假设某大学学生在一次概率论与数理统计统考中的考试成绩 X (百分制)近似服从正态分布，已知满分为100分平均成绩为75分，95分以

16、上的人数占考生总数的 2.3%. (1)试估计本次考试的不及格率(低于60分为不及格)；(2)试估计本次考试成绩在 65分至85分之间的考生人数占考生总数的比例 .已知 (1) 0.8413, (1.5) 0.9332 , (2) 0.97722【解】 由题意，可设 X近似服从正态分布 N(75,).已知P(X 95) 2.3%，即95 75 20P(X 95) 1 P(X 95) 1 ( ) 1 ( ) 2.3%,由此得 (出)0.977，于是202 ,10，从而近似有 X N(75, 102).(1)P(X 60)(60 75)10(1.5) 1 (1.5)1 0.93320.0668,由

17、此可知,本次考试的不及格率约为 6.68% .(2)c、 ,8575 65 75、P(65 X85) ()( )1010(1)(1) 2 (1) 1 20.8413 10.6826 ,由此可知，成绩在 65分至85分之间的考生人数约占考生总数的 68.26% .14、两台机床分别加工生产轴与轴衬.设随机变量 X (单位：mm )表示轴的直径，随机变量 Y (单位：mm )表示轴衬的内径，已知 X N(50, 0.32), Y N(52,0.42)，显然X与Y是独立的如果轴衬的内径与轴的直径之差在 1 3 mm之间，则轴与轴衬可以配套使用.求任取一轴与一轴衬可以配套使用的概率.已知 (2) 0.

18、97722 250,0.3 0.4 ),Z即ZN(2,0.52) 于是所求概率为【解】 设Z Y X，由X与Y的独立性及独立正态变量的线性组合的性质可知, X N(52【第五章】 数理统计基本知识15、设总体X N(0, 1) , X1,X2, ,X5是来自该总体的简单随机样本，求常数 k 0使k(X1 2X2)T 1 2) t(3).【解】由X N(0, 1)知X1vx! x： X522X2 N (0, 5)，于是 N (0,1),X1 2X2.5又由2分布的定义知2 (3),所以比较可得k从而【第六章】参数估计17、设总体X的概率密度为其中参数(1)(2)【解】2)e (x0,x 2,其它

19、，0 设X1,X2, ,Xn是取自该总体的一组简单随机样本， x,X2, ,xn为样本观测值.求参数 的矩估计量.求参数 的最大似然估计量.f(x；)(1) E(X) xf(x, )dxx 2 t (x 2)xe dx210 (t 2)e Pt 2,令 X E(X)，即 X 2 ,解得参数的矩估计量为（2 ）样本似然函数为L()nf(X,i 1上式两边取对数得ln L()上式两边对 求导并令导数为零得dln L(解得2n，从而参数x 218、设总体X的概率密度为其中参数nlnn(Xi1nXi 2n)(1的最大似然估计量为f(x；)n(Xi 2n)n i 1e2n)，0,0 设X1,X2, ,X

20、n是取自该总体的一组简单随机样本 求参数 的最大似然估计量.你得到的估计量是不是参数 的无偏估计，请说明理由.（1）（2）【解】（1 ）样本似然函数为L(nf (Xi ,i 1n 1 空2 xie12n上式两边取对数得lnL()2nlnnIni 1Xi求导数得lnL()2n0；0,12i 1，Xi, X2,Xi1,Xn为样本观测值nXi1令lnL( ) 0解得dnXi2n i 1于是参数的极大似然估计量为(2)E(X)x2ex/E(?)dxE(f)X是的无偏估计.2丄2n i 1Xi(32ex/11E(X)dxt2e tdx1严)【第七章】假设检验19、矩形的宽与长之比为 0.618 (黄金分

21、割)时将给人们视觉上的和谐美感 .某工艺品厂生产矩形裱画专用框架.根据该厂制定的技术标准，一批合格产品的宽与长之比必须服从均值为 0 0.618的正态分布.现从该厂某日生产的一批产品中随机抽取 25个样品，测得其宽与长之比的平均值为 X 0.646,样本标准差为s 0.093.试问在显著性水平 0.05水平上能否认为这批产品是合格品？【解】由题意，待检验的假设为H 0 :|zn +/rrt 仃U 1、( 人、I，曰，、/ t0 0.618 ；H10.618 .因为未知，所以检验统计量为+ X 0X 0.6185( X0.618)t 厂S/ . nS/ .25 t(24),S关于H 的拒绝域为1

22、1 1 t /2(n 1) t0.025(24) 206 -现在x 0.646 , s 0.093，所以统计量t的观测值为t 5(.646 .618)1.505.0.093因为|t | 1.505 2.06 t0.025(24)，即t的观测值不在拒绝域内，从而接受.原假设，即可以认为这批产品 是合格品.20、已知某种口服药存在使服用者收缩压 (高压)增高的副作用.临床统计表明，在服用此药的人群中收缩压的增高值服从均值为 0 22 (单位：mmHg，毫米汞柱)的正态分布.现在研制了一种新的替代药品，并对一批志愿者进行了临床试验 .现从该批志愿者中随机抽取 16人测量收缩压增高值，计算得到样本均值

23、X 19.5(mmHg)，样本标准差s 5.2(mmHg ).试问这组临床试验的样本数据能否支持“新的替代 药品比原药品副作用小”这一结论 (取显著性水平 0.05).【解】由题意，待检验的假设为H。： 0 22； H1 : 22.因为未知，所以取统计量t J 42)t(15),S/ . n S且关于H 0的拒绝域为t t (n 1) 匕05(15) 1.753.现在X 19.5 , s 5.2，所以统计量t的观测值为丄 4(19.5 22)t 1.923.5.2因为t 1.923 1.753 俎05(15)，即t的观测值在拒绝域内，从而拒绝.原假设，即认为这次试 验支持“新的替代药品比原药品副作用小”这一结论