概率论与数理统计期末复习20题解答.docx

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概率论与数理统计期末复习20题解答

x.

（3）求X的概率密度.

概率论与数理统计期末复习20题及解答

【第一章】随机事件与概率

1、甲袋中有4个白球3个黑球，乙袋中有2个白球3个黑球，先从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙

袋中任取一球返还甲袋.求经此换球过程后甲袋中黑球数增加的概率.

2、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求此人拨号不超过两次而接通所需电话的概率.

3、已知将0,1两字符之一输入信道时输出的也是字符0或1,且输出结果为原字符的概率为

（01）.假设该信道传输各字符时是独立工作的•现以等概率从“101”，“010”这两个字符串

中任取一个输入信道•求输出结果恰为“000”的概率.

4、试卷中的一道选择题有4个答案可供选择，其中只有1个答案是正确的•某考生如果会做这道题，则一定能选出正确答案；若该考生不会做这道题，则不妨随机选取一个答案•设该考生会做这道题的概率

为0.85•

（1）求该考生选出此题正确答案的概率；

（2）已知该考生做对了此题，求该考生确实会做这道题

的概率.

【第二章】随机变量及其分布

5、设连续随机变量X的分布函数为

F（x）ABarctanx,

（1）求系数A及B;

（2）求X落在区间（1,1）内的概率;

【第三章】数字特征

10、设随机变量X的概率密度为

（1）求X,Y的数学期望E（X）,E（Y），方差D（X）,D（Y）•

（2）求X,Y的协方差cov（X,Y）与相关系数R（X,Y）•

【第四章】正态分布

13、假设某大学学生在一次概率论与数理统计统考中的考试成绩X（百分制）近似服从正态分布，已

知满分为100分平均成绩为75分，95分以上的人数占考生总数的2.3%.

（1）试估计本次考试的不及格率

（低于60分为不及格）;

（2）试估计本次考试成绩在65分至85分之间的考生人数占考生总数的比例.[已

知

（1）0.8413,（1.5）0.9332,

（2）0.9772]

14、两台机床分别加工生产轴与轴衬.设随机变量X（单位：

mm）表示轴的直径，随机变量Y（单位：

mm）表示轴衬的内径，已知X~N（50,0.32）,Y~N（52,0.42），显然X与Y是独立的.如果轴衬的内径与轴的直径之差在1~3mm之间，则轴与轴衬可以配套使用.求任取一轴与一轴衬可以配套使

用的概率.[已知

（2）0.9772]

【第五章】

数理统计基本知识

15、设总体

X~N（0,1）,X1,X2,,X5是来自该总体的简单随机样本，求常数k0使

k（X12X2）

T1>~t（3）.

v'xIx：

X52

16、设总体X~N（40,52），从该总体中抽取容量为64的样本，求概率P（|X40|1）.

【第六章】参数估计

17、设总体X的概率密度为

其中参数

（1）

（2）

0•设X1,X2,,Xn是取自该总体的一组简单随机样本，

x1,X2,

Xn为样本观测值

求参数

求参数

的矩估计量.的最大似然估计量.

18、

设总体

X的概率密度为

f（x;）—xe，x0；

0,x0,

其中参数

0

•设X1,X2,,Xn是取自该总体的一组简单随机样本，

为，X2,

Xn为样本观测值

（1）

求参数

的最大似然估计量.

的无偏估计，请说明理由

你得到的估计量是不是参数

（2）

【第七章】假设检验

.某工艺品厂生产矩形裱

00.618的正态分

布.现从该厂某日生产的一批产品中随机抽取25个样品，测得其宽与长之比的平均值为x0.646,样本标

准差为s0.093.试问在显著性水平0.05水平上能否认为这批产品是合格品？

20、已知某种口服药存在使服用者收缩压（高压）增高的副作用.临床统计表明，在服用此药的人群中

收缩压的增高值服从均值为022（单位：

mmHg，毫米汞柱）的正态分布.现在研制了一种新的替代药

品，并对一批志愿者进行了临床试验.现从该批志愿者中随机抽取16人测量收缩压增高值，计算得到样本

均值x19.5（mmHg），样本标准差s5.2（mmHg）.试问这组临床试验的样本数据能否支持“新的替代药品比原药品副作用小”这一结论（取显著性水平0.05）.

解答部分

【第一章】随机事件与概率

1、甲袋中有4个白球3个黑球，乙袋中有2个白球3个黑球，先从甲袋中任取一球放入乙袋，再从

乙袋中任取一球返还甲袋.求经此换球过程后甲袋中黑球数增加的概率

，C表示“经此换

【解】设A表示“从甲袋移往乙袋的是白球”，B表示“从乙袋返还甲袋的是黑球”

球过程后甲袋中黑球数增加”，则

CAB，

2、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求此人拨号不超过两次而接通所需电

话的概率.

【解】设Ai表示“此人第i次拨号能拨通所需电话”（i1,2）,A表示“此人拨号不超过两次而接通

所需电话”，则

AA1~AA2，

由概率加法定理与乘法定理得所求概率为

P（A）P（AiAA2）P（A）P（AA2）

191

P（A）P（A）P（A2|A）———0.2.

110109

3、已知将0,1两字符之一输入信道时输出的也是字符0或1,且输出结果为原字符的概率为

（01）.假设该信道传输各字符时是独立工作的.现以等概率从“101”，“010”这两个字符串

中任取一个输入信道.求输出结果恰为“000”的概率.

【解】设A1:

输入的是“101”，A2：

输入的是“010”，B:

输出的是“000”，贝y

P（AJ1/2,P（A2）1/2,P（B卜J

（1）2,P（BA2）2

（1）,

从而由全概率公式得

P（B）P（AJP（BA1）P（A2）P（BA2）

12121

（1）22

（1）

（1）.

222

4、试卷中的一道选择题有4个答案可供选择，其中只有1个答案是正确的•某考生如果会做这道题,

则一定能选出正确答案；若该考生不会做这道题，则不妨随机选取一个答案•设该考生会做这道题的概率

为0.85•

（1）求该考生选出此题正确答案的概率；

（2）已知该考生做对了此题，求该考生确实会做这道题

的概率.

【解】设A表示“该考生会解这道题”，B表示“该考生选出正确答案”，则

P（A）0.85,P（A）0.2,P（BA）1,P（B|A）0.25.

（1）由全概率公式得

P（B）P（A）P（BA）P（A）P（B|A）

0.8510.20.250.9.

（2）由贝叶斯公式得

【第二章】随机变量及其分布

5、设连续随机变量X的分布函数为

F（x）

A

Barctanx,

x.

（1）求系数

A及B;

（2）求X落在区间

（1,1）内的概率；

（3）求X的概率密度.

【解】（1

）由分布函数的性质可知

F（

）

limF（x）A

x

B（）0,

2

F（

）

limF（x）A

x

B-1,

2

由此解得

A11

A,B-

2

（2）X的分布函数为

11

F（x）arctanx（x）,

2

于是所求概率为

P（1X1）

（3）X的概率密度为

1111

F

（1）F

（1）（arctan1）（arctan

（1））

6、设随机变量X的概率密度为

f（x）ax,0x人f（x）0,其它，

求：

（1）常数a；

（2）P（0.5X1.5）;（3）X的分布函数F（x）.

【解】

（1）由概率密度的性质可知

22

&设二维随机变量（X,Y）的概率密度为

f（x,y）

1,0x1,0y

2x;

0,

其它.

求：

（1）（X,Y）的边缘概率密度fX（x），fY（y）；

（2）概率P（X

1

-,Y1）；（3）判断X,Y是否相互

2

独立•

【解】

（1）当0x1时，有

2x

fx（x）

f（x,y）dy0dy2x；

当x0或x1时，显然有

fx（x）

0.

于是X的边缘概率密度为

fx（x）

2x,0x

0,其它.

1；

当0y2时，有

fY（y）

f（x,y）dx

1

ydx1

~2

2

当y0或y2时，显然有

fY（y）

0.

于是Y的边缘概率密度为

fY（y）

1上

2

0y2

0,

其它.

111/2

（2）P{（X2，Y1）}-dy

11/2

1

4.

f（x,y）dx

dydx

0y/2

所以X的边缘概率密度

fx（X）0•

（3）容易验证f（x,y）fx（x）fY（y）,故X与Y不独立.

9、设X和Y是两个相互独立的随机变量,

X~U[0,0.2]，Y的概率密度函数为

（2）求X和Y的联合概率密度f（x,y）；

（2）

【解】

（1）由题意知，X的概率密度函数为

因为X和Y相互独立，故X和Y

5e5y

y

0,

0,

y

0.

求概率

P（Y

X）.

5,

0x

0.2;

0,

其它.

25e

°5y

0x

0,

其它.

fy（y）

fx（X）

f（x,y）fx（x）fY（y）

0.2,y0;

（2）

P（YX）

y

f（x,y）dxdy（

x

0.2

dx

x

25eydy

0

025x

50（1e）dxe

【第三章】数字特征

10、设随机变量X的概率密度为

（a

b）x

b,0x

1,

f（x）

a（2

x）

1x

2,,

0

J

其它，

1

已知E（X）—,求：

（1）a,b的值；

（2）E（2X3）.

2

【解】

（1）由概率密度的性质可知

12

f（x）dx0[（ab）xb]dx1a（2x）dx

又

f（x）dx

Ae

2x・

A

1,

0

dx

2

A

2

-2x

2x

11

t■

1_、

1

x2e

dx

te

dt

r

（2）

0

2

0

2

2

E（2X

3）2E（X）3

2

-3

2

11、设随机变量X的概率密度为

£Ae2x,

x

0,

f（x）「

0,

x

0.

（2）由数学期望的性质，有

求:

（1）常数A；

（2）E（X）和D（X）.

【解】

（1）由概率密度的性质可知

4.

由此得

（2）由数学期望公式得

E（X）

由于

故利用方差计算公式得

221121D（X）E（X）[E（X）]-㈡-.

4

12、设（X,Y）的联合概率分布如下:

（1）求X,Y的数学期望E（X）,E（Y），方差D（X）,D（Y）.

（2）求X,Y的协方差cov（X,Y）与相关系数R（X,Y）.

P（X0）

1/4

P（X

1）3/4

P（Y0）

1/2

P（Y

1）1/2,

1

由"01"分布的期望与方差公式得

E（X）

3/4,

D（X）

3/4

（11/4）

3/16,

E（Y）

1/2,

D（Y）

1/2

（11/2）

1/4,

由（X,Y）的联合概率分布知

E（XY）0

01/4

01

01C

）1/41

11/4

1/2

从而

cov（X,Y）

E（XY）

E（X）

日丫）

1/23/4

1/2

1/8,

【解】由（X,Y）的联合概率分布知

X,Y服从"01"分布:

R（X,Y）

cov（X,Y）1/8

、D（X）、D（Y）-3/16.1/4

【第四章】正态分布

13、假设某大学学生在一次概率论与数理统计统考中的考试成绩X（百分制）近似服从正态分布，已

知满分为100分平均成绩为75分，95分以上的人数占考生总数的2.3%.

（1）试估计本次考试的不及格率

（低于60分为不及格）；

（2）试估计本次考试成绩在65分至85分之间的考生人数占考生总数的比例.[已

知

（1）0.8413,（1.5）0.9332,

（2）0.9772]

2

【解】由题意，可设X近似服从正态分布N（75,）.已知P（X95）2.3%，即

957520

P（X95）1P（X95）1（）1（）2.3%,

由此得（出）0.977，于是

20

2,

10，从而近似有X~N（75,102）.

（1）

P（X60）

（6075）

10

（1.5）1（1.5）

10.9332

0.0668,

由此可知,

本次考试的不及格率约为6.68%.

（2）

c、,85

756575、

P（65X

85）（

）（）

10

10

（1）

（1）2

（1）12

0.84131

0.6826,

由此可知，成绩在65分至85分之间的考生人数约占考生总数的68.26%.

14、两台机床分别加工生产轴与轴衬.设随机变量X（单位：

mm）表示轴的直径，随机变量Y（单

位：

mm）表示轴衬的内径，已知X~N（50,0.32）,Y~N（52,0.42），显然X与Y是独立的•如果轴

衬的内径与轴的直径之差在1~3mm之间，则轴与轴衬可以配套使用.求任取一轴与一轴衬可以配套使

用的概率.[已知

（2）0.9772]

22

50,0.30.4）,

Z

即Z~N（2,0.52）•于是所求概率为

【解】设ZYX，由X与Y的独立性及独立正态变量的线性组合的性质可知,X~N（52

【第五章】数理统计基本知识

15、设总体X~N（0,1）,X1,X2,,X5是来自该总体的简单随机样本，求常数k0使

k（X12X2）

T12）~t（3）.

【解】由X~N（0,1）知X1

v'x!

x：

X52

2X2~N（0,5），于是

~N（0,1）,

X12X2

.5

又由2分布的定义知

2（3）,

所以

比较可得k

从而

【第六章】参数估计

17、设总体X的概率密度为

其中参数

（1）

（2）

【解】

2）

e（x

0,

x2,

其它，

0•设X1,X2,,Xn是取自该总体的一组简单随机样本，x,,X2,,xn为样本观测值.

求参数的矩估计量.

求参数的最大似然估计量.

f（x；）

（1）E（X）xf（x,）dx

x2t（x2）

xedx

2

1

0（t2）ePt—2,

令XE（X），即X2,

解得参数

的矩估计量为

（2）样本似然函数为

L（）

n

f（X,

i1

上式两边取对数得

lnL（）

上式两边对求导并令导数为零得

dlnL（

解得

2n

—，从而参数

x2

18、

设总体

X的概率密度为

其中参数

nln

n

（Xi

1

n

Xi2n）

（1

的最大似然估计量为

f（x；）

n

（Xi2n）

ni1

e

2n），

0,

0•设X1,X2,,Xn是取自该总体的一组简单随机样本求参数的最大似然估计量.

你得到的估计量是不是参数的无偏估计，请说明理由.

（1）

（2）

【解】

（1）样本似然函数为

L（

n

f（Xi,

i1

n1空

2xie

1

2n

上式两边取对数得

lnL（）

2nln

n

In

i1

Xi

求导数得

」ln

L（）

2n

0；

0,

1

~2

i1

，Xi,X2,

Xi

1

Xn为样本观测值•

n

Xi

1

令—lnL（）0解得

d

n

Xi

2ni1

于是参数

的极大似然估计量为

（2）E（X）

x2ex/

E（?

）

dx

E（f）

X

是的无偏估计.

2

丄

2ni1

Xi

（32ex/

1

1E（X）

dx

t2etdx

1

严）

【第七章】假设检验

19、矩形的宽与长之比为0.618（黄金分割）时将给人们视觉上的和谐美感.某工艺品厂生产矩形裱

画专用框架.根据该厂制定的技术标准，一批合格产品的宽与长之比必须服从均值为00.618的正态分

布.现从该厂某日生产的一批产品中随机抽取25个样品，测得其宽与长之比的平均值为X0.646,样本标

准差为s0.093.试问在显著性水平0.05水平上能否认为这批产品是合格品？

【解】由题意，待检验的假设为

H0:

|zn+/rrt仃U1、（人、I，曰，、/t

00.618；

H1

0.618.

因为未知，所以检验统计量为

+X0

X0.618

5（X

0.618）

t厂

S/.n

S/.25

~t（24）,

S

关于H°的拒绝域为

111t/2（n1）t0.025（24）206-

现在x0.646,s0.093，所以统计量t的观测值为

t5（°.646°.618）1.505.

0.093

因为|t|1.5052.06t0.025（24），即t的观测值不在拒绝域内，从而接受..原假设，即可以认为这批产品是合格品.

20、已知某种口服药存在使服用者收缩压（高压）增高的副作用.临床统计表明，在服用此药的人群中

收缩压的增高值服从均值为022（单位：

mmHg，毫米汞柱）的正态分布.现在研制了一种新的替代药

品，并对一批志愿者进行了临床试验.现从该批志愿者中随机抽取16人测量收缩压增高值，计算得到样本

均值X19.5（mmHg），样本标准差s5.2（mmHg）.试问这组临床试验的样本数据能否支持“新的替代药品比原药品副作用小”这一结论（取显著性水平0.05）.

【解】由题意，待检验的假设为

H。

：

022；H1:

22.

因为未知，所以取统计量

tJ4^^2）~t（15）,

S/.nS

且关于H0的拒绝域为

tt（n1）匕05（15）1.753.

现在X19.5,s5.2，所以统计量t的观测值为

丄4（19.522）

t1.923.

5.2

因为t1.9231.753俎05（15），即t的观测值在拒绝域内，从而拒绝..原假设，即认为这次试验支持“新的替代药品比原药品副作用小”这一结论