初中数学几何画图题目.docx

1、初中数学几何画图题目初中几何热点问题探究几何作图及操作探究问题这类问题是应用所学的知识对生活中可实施性、操作性问题进行讨论、归纳和动手设计的题型，它涉及日常生活中的方方面面，出现的类型有：寻找最佳点问题、测量问题、面积分配问题、 几何设计问题这类试题是让学生通过具体的操作或借助计算机技术来获得感性认识，构建数学知 识，以达到动手动脑的目的解决这类问题时，一般需要经历观察、操作、思考、想象、推理、交 流、反思等实践活动过程， 利用已有的感知与发现结论从而解决问题 关键是要学生学会自觉地运用数学知识去观察、分析、抽象、概括所给的实际问题，揭示其数学本质，并转化为我们所熟悉的数 学问题，适合现有的知

2、识水平和实践能力.（一）几何作图题1、尺规作图题例 （2007南京）已知直线I及直线I外一点A,分别按下列要求写出画法，并保留作图痕迹在图1-1中，只用尺规在直线 I上画出两点 B C,使得点A B、C是一个等腰三角形的三 个顶点；在图1-2中，只用圆规在在线I外画出一点P,使得点A、P所在直线与直线I平行 解析 画法一：以A点为圆心，大于 A点到直线I的距离为半径画弧，与直线 I交于B C两点，则点B C即为所求（如图1-3 ）画法二：在直线I上取一点B,以B为圆心，AB的长为半径画弧，与直线I交于点C,则点B、 C即为所求（如图1-4 ）图1-5图1-4评点 :本题利用尺规作图，作等腰三角

3、形和平行线，方法比较新颖，既考查了学生的作图能 力，更考查了学生对原理的分析理解能力 第问作等腰三角形要注意有两种情况，而第问过直线外一点作已知直线的平行线则是利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形的判定方法熟悉 一种基本作图，并能运用规范的语言对步骤进行描述是作图题的基本技能练习：（2006锦州）在一次研究性学习活动中，李平同学看到了工人师傅在木板 上画一个1直角三角形，方法是：画线段 AB分别以点A、B为圆心，以大于 一AB长为半径画弧，两弧相交于2点C,连接AC;再以点C为圆心，AC长为半径画弧，交 AC和延长线于点 D,连接BD,则厶ABD就是直角三角形30 （不写作法，保留作图痕迹

4、）请你说明其中的道理；请利用上述方法作一个三角形，使其中一个锐角为解析 在正方形网格中找到适当的格点，禾U用网格中有些线段的端点在格点上，可以计算线段的长度，从而利用三边相等证明两个三角形全等，再得到角相等 如图3-2在正方形网格中找到P, P2, P3这三个点，作射线 OP,射线OP即为所求评点 :本题利用格点作图，作一个角的角平分线，方法新颖，思路巧，考查了学生对角平线 原理的分析理解能力以及解题方法和技巧上的创新能力 正确利用格点作图要充分运用好网格中隐含的平行、垂直、特殊关系的角以及相等的线段和线段的长，处理好网格中计算例2如图，在一个“ 10X 10”的正方形 DEFG网格中有一个

5、ABC在网格中画出厶 ABC向下平移三个单位得到的 AiBiCi;在网格中画出厶ABC绕C点逆时针方向旋转 900得到的 A2B2C;若以EF所在的直线为x轴,ED所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，写出Ai,A2两点的坐标解析 图形平移时，图形上的每个点都平移相同的距离 ，如图4-2中所示 AiBC;图形旋转过程中,各部分都旋转相同的角度,如图4-2中所示 AB2C；平面直角坐标系如图 4-2 所示,易 知:Ai(8,2),A 2(4,9).评点：平移、旋转的简单作图多以网格和坐标系为背景，借点的坐标的变化引起图形的变化因此，画平移、转后的图形时，关键是确定图形的关键点，然后根据相应顶点的平

6、移方向、平 移距离、旋转方向、旋转角度都不变的性质作出关键点的对应点，这种“以局部代整体”的作图方 法是平移和旋转作图是最常用的方法.练习 1. （ 2007宁波）面积为1个平方单位的正三角形 ，称为单位正三角形.下面图中的每一个小三角形都是单位正三角形三角形的顶点称为格点在图 5-1，图5-2，图5-3中分别画出一个平行四边形、梯形和对边都不平行的凸四边形，要求这三个图形的顶点都在格点、面积都为1 2个平方单位.2.在如图6所示的平面直角坐标系中，已知 ABC . （1）将厶ABC向x轴负半轴方向平移 4个 单位得到厶AiBiCi，画出图形并写出点 Ai的坐标；以原点O为旋转中心，将 ABC

7、顺时针旋转90得到 A2B2C2,画出图形并写出点 A2的坐标； A2B2C2可以看作是由 先向右平移4个单位，然后以原点O为旋转中心，顺时针旋转90得到的.除此之外， A2B2C2还可以由厶AiBiCi怎样变换得到？请选择一种方法，写出图形 变换的步骤.（二）操作探究题例i （2006连云港）（i）图7-i是一块直角三角形纸片.将该纸片按如方法折叠，使点 A与点C重合，DE为折痕.试证明厶CBE是等腰三角形；（2） 再将图7-1中的 CBE沿对称轴EF折叠（如7-2图）.通过折叠，原三角形恰好折成两个重 合的矩形，其中一个是内接矩形，另一个是拼合（指无缝无重叠）所成的矩形，我们称这样的两个矩

8、形为“组合矩形”。你能将图7-3中的 ABC折叠成一个组合矩形吗？如果能折成， 请在图7-3中画出折痕；（3） 请你在图7-4中的方格纸中画出一个斜三角形 ，同时满足下列条件：折成的组合矩形为正方形；顶点都在格点上；（其中的内接矩形的四个顶点分（指除平行四边形、梯形外的四（4）有些特殊的四边形，如菱形，能过折叠也能折成组合矩形别在原四边形的四条边上 ）.请你进一步探究：一个非特殊的四边形边形）满足何条件时，一定能折成组合矩形?解析 由对称性可知/ A=Z ACE,所以/ ECBH B,所以 CEB为等腰三角形；（2）任意三 角形都能折成“组合矩形”，其具体做法可以参照图 7-3的折法，将其分成

9、两个直角三角形，有三种不同的折法；（3）首先要体现出一条边与该边上的高相等，这样折出来的矩形才是正方形，再者 要满足正方形的顶点都在格点上； （4）当一个四边形的两条对角线互相垂直时，可以折成一个“组合矩形”.评点：此题阅读量大，对学生研究问题、分析问题的能力提出了挑战，作为一道操作题学生 在可能的情况下可以动手操作，但更多的是要对操作认真的观察和分析，找出问题的实质所在，同 时要借助给出的操作示例运用类比的思想，启示 （2）问的解题思路，而第（3）、问学生可以先画图分析再得出结论.练习 1.图8-1是一个等腰三角形，把它分成两个全等的三角形，图8-2是个任意三角形，把 它分割成四个全等的三角

10、形 ，图8-3是个直角三角形，/ C=9C, AC=1,BC=2,把这个三角形分成五个全 等的三角形.例2 （2007福建宁德）已知：矩形纸片 ABCD中，AB=26cm，BC=18.5cm，点E在AD上，且AE=6cm， 点P是AB边上一动点.按如下操作： 步骤一：折叠纸片，使点P与点E重合，展开纸片得折痕 MN如图）; 步骤二：边P作PT丄AB,交MN所在的直线于点 Q,连接QE如图）.（1）无论点P在AB边上任何位置，都有PQ QE（填号 ）；（2） 如图所示，将纸片ABCD放在平面直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作 ：1当点P在A点时,PT与MN交于点QQ点的坐标是（一_） ；2当

11、PA=6cm时,PT与MN交于点 Q,Q2点的坐标是（,） ；3当PA=12cm时,在图中画出MN,PT不要求写画法）,并求出MN与PT的交点Q点的坐标；（3） 点P在运动过程中,PT与MN形成一系列的交点 Q,Q2,Q3,.观察、猜想：众多的交点形 成的图象是什么？并直接写出该图象的函数表达式.F,在 Rt APE 中，/ PE= AE2 AP2Q3 P PFPE EA=65 PF=- PE=3 J5 . v/Q 3PE+Z EPA=90, / AEP+/ ， 2EPA=90,./Q 3PE=/ AEP. Q sPFs PEA,Q 3(12,15).方法二 过点 E作 EGLQ 3P于 G,

12、则四边形 APGE是矩形. GP=6,EG=12 设Q 3G= x,则Q 3E=Q 3P=x+6.在 Rt3EG中,/ EQ2=eG+Q& 二（x+6） 2=122+x： / x=9, /.Q 3（12,15） .（3）1这些点形成的图象是一段抛物线. 函数关系式是： y x2+3 （0 x BE,故大树必位于欲修建的水池边上，应重新设计方案，又当 x= 2.4时，DE= 5, AD= 3.2，由圆的对称性知满足题设条件的另外设计方案 是如图（2）,此时，AC= 6, AD= 1.8 , BD= 8.2，此方案满足条件且能避开大树.点评： 解此类问题经常要通过计算线段长和面积来确定设计方案及其

13、是否最优，因此有关面（体）积公式要非常熟练，同时要熟悉解直角三角形的有关知识和技巧，并会将有关图形转化为 直角三角形再计算有关线段或面积；有时还要利用轴对称及其性质解题.练习 1.如图（1）所示是某立式家俱（角书橱）的横断面，请你设计一个方案（角书橱高 2米，房间高2.6米，所以不必从高度方面考虑方案的设计） ，按此方案，可使该家俱通过图（ 2）中的长廊搬入房间，在图（2）中把你设计的方案画成草图，并说明按此方案可把家俱搬入房间的 理由.（注：搬运过程中不准拆卸家俱，不准损坏墙壁） .（2002，济南市）1长廊皆 房间; 3 2.小明家有一块三角形菜地，要种植面积相等的四种蔬菜，请你设计四种不

14、同的分割方案（分 成三角形或四边形不限）。（三）综合类几何应用例 如图1，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且/ QPN=3（o，点A处有一所中学，AP=160米。假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响， 那么拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时, 学校是否会受到噪声影响？请说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度为 18千米/时，那么学校受影响的时间为多少秒？解析：过点 A作AB丄MN垂足为 B,在 Rt ABP中：/ APB=Z QPN=30 , AP=160米1则AB=AP=80米，所以学校会受到噪声影响。2以A为圆心，100米为半径作。A,交MN于C D两点，在 Rt ABC中

15、：AC=100米，AB=80米，贝U：BC=.、AC2 - AB2 h；1002 - 802 =60 （米），CD=2BC=12（0 米）；/ 18 千米 / 小时=5 米 / 秒.受影响时间为：120米十5米/秒=24 （秒）点评：解几何应用问题要求我们必须具备扎实的几何基础知识，较强的阅读理解能力，以及 对数学思想方法的掌握本题是一道关于解直角三角形和圆的几何综合应用问题，要判断是否受到 噪声的影响，只需求出 A点到直线MN的距离AB,当此AB 100米时就要受到噪声影响；第二个问 题只需要噪声影响路段的长度，就能求出受影响的时间.练习 如图所示，一艘轮船以 20里/时的速度由西向东航行，

16、途中接到台风警报，台风中心正以40里/时的速度由南向北移动，距台风中心 20 - 10里的圆形区域（包括边界）都属台风区，当轮船到A处时，测得台风中心移到位于点 A正南方向B处，且AB = 100里（1） 若这艘轮船自 A处按原速继续航行，在途中会不会遇到台风？若会，试求船最初遇到台风 的时间；若不会，请说明理由；（2） 现轮船自A处立即提高船速，向位于东偏北 30方向，相距60里的D港驶去，为使台风到来之前到达D港，问船速至少要提高多少（提高的船速取整数， 13 - 3.6 ）?三动态几何探究问题动态几何就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的 “变”与不变”性；就其

17、运动对象而言有点动、线动、面动；就其运动形式而言有平动、旋转、翻折、滚 动等动态几何问题常常集几何、代数知识于一体，数形结合，有较强的综合性，题目灵活、多变， 动中有静，动静结合，能够在运动变化中发展学生空间想象能力，全面考查学生的综合分析和解决 问题的能力，是近几年中考命题的热点，常常在中考中起到甄选的作用.解决动态几何问题需要树立联系发展的动态观，用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程. 一方面要注意将运动过程中的各个时刻的图形分类画图， 由“动”变“静”;另一方面还要善于抓住在运动过程中某一特殊位置的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变量 和不变关系或特殊关系以

18、及特定的限制条件在求有关图形的变量之间关系时，通常建立函数模型 或不等式模型来求解；求图形之间的特殊数量关系和一些特殊值时，通常建立方程模型求解.(一)单动点问题例(2007连云港)如图19-1,在平面直角坐标系中，矩形 OABC的顶点O与坐标原点重合，顶 点A,C在坐标轴上，OA=60cm,OC=80cm动点P从点O出发,以5cm/s的速度沿x轴匀速向点 C运动, 到达C点即停止.设点 P运动的时间为ts.(1)过P作对角线OB的垂线,垂足为点T.求PT的长y与时间t之间的函数关系式，并写出自 变量t的取值范围；(2)在点P运动过程中，当点O关于直线AP的对称点O恰好落在对角线 OB上时，求

19、此时直线 AP的函数解析式；三点为顶点的 APT的面积能否达到矩形 OABC勺面积的丄？请说明理由.为 0Wt 16. 当点O关于直线AP的对称点O恰好在对角线 OB上时,A,T,P三点应在一条直线上(如图OP AO19-2). API OB,Z 仁/2二 Rt AO陽 Rt OCB/. , OP=45,.点 P 的坐标为(45,0).设CB CO直线AP的函数关系式为 y=kx+b .将A(0,60) , P(45,0)两点代入解析式要求直线 AP的解析式为4y= x 60.345(3)由 知，当t= =9时,A,T,P三点在一条直线上，此时，点A,T,P构不成三角形.故分两5种情况：图19-3,当0 v t V 9时，T点位于 AOP的内部，此时 APT和面积达不到矩形 OABC面积的1图19-4,当9 V t 解析 (1)A(0,6) , B(6,0) , D(-6,0) . (2)当 0 x 3 时,位置如图 23-3 所示,作 GH丄 DB 于 H,可 知:0E=2x,EH=x,0D=6-2x,DH=6-x, / y=2S 梯形 i0hg=2(S ghSq0d)=-3x +12x.当 3 x 6 时,位置如图 23-2 所示，可知:DB=12-2x. / y=S dg=x-12x+36.(3) 在图中作 GH丄 0E 于 H,当 x=4时,0