初中数学几何画图题目.docx
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初中数学几何画图题目
初中几何热点问题探究
几何作图及操作探究问题
这类问题是应用所学的知识对生活中可实施性、操作性问题进行讨论、归纳和动手设计的题
型，它涉及日常生活中的方方面面，出现的类型有：
寻找最佳点问题、测量问题、面积分配问题、几何设计问题•这类试题是让学生通过具体的操作或借助计算机技术来获得感性认识，构建数学知识，以达到动手动脑的目的•解决这类问题时，一般需要经历观察、操作、思考、想象、推理、交流、反思等实践活动过程，利用已有的感知与发现结论从而解决问题•关键是要学生学会自觉地运用
数学知识去观察、分析、抽象、概括所给的实际问题，揭示其数学本质，并转化为我们所熟悉的数学问题，适合现有的知识水平和实践能力.
（一）几何作图题
1、尺规作图题
例（2007南京）已知直线I及直线I外一点A,分别按下列要求写出画法，并保留作图痕
迹•
⑴在图1-1中，只用尺规在直线I上画出两点BC,使得点AB、C是一个等腰三角形的三个顶点；
⑵在图1-2中，只用圆规在在线I外画出一点P,使得点A、P所在直线与直线I平行•解析⑴画法一：
以A点为圆心，大于A点到直线I的距离为半径画弧，与直线I交于BC两点，则点BC即为所求•（如图1-3）
画法二：
在直线I上取一点B,以B为圆心，AB的长为半径画弧，与直线I交于点C,则点B、C即为所求•（如图1-4）
图1-5
图1-4
评‘点:
本题利用尺规作图，作等腰三角形和平行线，方法比较新颖，既考查了学生的作图能力，更考查了学生对原理的分析理解能力•第⑴问作等腰三角形要注意有两种情况，而第⑵问过直
线外一点作已知直线的平行线则是利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形的判定方法•熟悉一种基本作图，并能运用规范的语言对步骤进行描述是作图题的基本技能
练习：
（2006锦州）在一次研究性学习活动中，李平同学看到了工人师傅在木板上画一个
1
直角三角形，方法是：
画线段AB分别以点A、B为圆心，以大于一AB长为半径画弧，两弧相交于
2
点C,连接AC;再以点C为圆心，AC长为半径画弧，交AC和延长线于点D,连接BD,则厶ABD就
是直角三角形•
30°（不写作法，保留作图痕迹）
⑴请你说明其中的道理；
⑵请利用上述方法作一个三角形，使其中一个锐角为
解析在正方形网格中找到适当的格点，禾U用网格中有些线段的端点在格点上，可以计
算线段的长度，从而利用三边相等证明两个三角形全等，再得到角相等•如图3-2在正方形网格中
找到P,P2,P3这三个点，作射线OP,射线OP即为所求•
评‘点:
本题利用格点作图，作一个角的角平分线，方法新颖，思路巧，考查了学生对角平线原理的分析理解能力以及解题方法和技巧上的创新能力•正确利用格点作图要充分运用好网格中隐
含的平行、垂直、特殊关系的角以及相等的线段和线段的长，处理好网格中计算
例2如图，在一个“10X10”的正方形DEFG网格中有一个△ABC
⑴在网格中画出厶ABC向下平移三个单位得到的△AiBiCi;
⑵在网格中画出厶ABC绕C点逆时针方向旋转900得到的△A2B2C;
⑶若以EF所在的直线为x轴,ED所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，写出Ai,A2两点的坐标•
解析⑴图形平移时，图形上的每个点都平移相同的距离，如图4-2中所示△AiBC;⑵图形
旋转过程中,各部分都旋转相同的角度,如图4-2中所示△AB2C；⑶平面直角坐标系如图4-2所示,易知:
Ai（8,2）,A2（4,9）.
评点：
平移、旋转的简单作图多以网格和坐标系为背景，借点的坐标的变化引起图形的变
化•因此，画平移、转后的图形时，关键是确定图形的关键点，然后根据相应顶点的平移方向、平移距离、旋转方向、旋转角度都不变的性质作出关键点的对应点，这种“以局部代整体”的作图方法是平移和旋转作图是最常用的方法.
练习1.（2007宁波）面积为1个平方单位的正三角形，称为单位正三角形.下面图中的每
一个小三角形都是单位正三角形•三角形的顶点称为格点•在图5-1，图5-2，图5-3中分别画出
一个平行四边形、梯形和对边都不平行的凸四边形，要求这三个图形的顶点都在格点、面积都为12个平方单位.
2.在如图6所示的平面直角坐标系中，已知△ABC.
（1）将厶ABC向x轴负半轴方向平移4个单位得到厶AiBiCi，画出图形并写出点Ai的坐标；
⑵以原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°得到△A2B2C2,画出图形并写出点A2的坐标；⑶△A2B2C2可以看作是由△先向右平移4个单位，然后以原点O为旋转中心，顺时针旋转
90°得到的.除此之外，△A2B2C2还可以由厶AiBiCi怎样变换得到？
请选择一种方法，写出图形变换的步骤.
（二）操作探究题
例i（2006连云港）（i）图7-i是一块直角三角形纸片.将该纸片按如方法折叠，使点A
与点C重合，DE为折痕.试证明厶CBE是等腰三角形；
（2）再将图7-1中的△CBE沿对称轴EF折叠（如7-2图）.通过折叠，原三角形恰好折成两个重合的矩形，其中一个是内接矩形，另一个是拼合（指无缝无重叠）所成的矩形，我们称这样的两个
矩形为“组合矩形”。
你能将图7-3中的△ABC折叠成一个组合矩形吗？
如果能折成，请在图7-3中
画出折痕；
（3）请你在图7-4中的方格纸中画出一个斜三角形，同时满足下列条件：
①折成的组合矩形为
正方形；②顶点都在格点上；
（其中的内接矩形的四个顶点分
（指除平行四边形、梯形外的四
（4）有些特殊的四边形，如菱形，能过折叠也能折成组合矩形
别在原四边形的四条边上）.请你进一步探究：
一个非特殊的四边形
边形）满足何条件时，一定能折成组合矩形?
解析⑴由对称性可知/A=ZACE,所以/ECBHB,所以△CEB为等腰三角形；
（2）任意三角形都能折成“组合矩形”，其具体做法可以参照图7-3的折法，将其分成两个直角三角形，有三
种不同的折法；（3）首先要体现出一条边与该边上的高相等，这样折出来的矩形才是正方形，再者要满足正方形的顶点都在格点上；（4）当一个四边形的两条对角线互相垂直时，可以折成一个“组
合矩形”.
评‘点：
此题阅读量大，对学生研究问题、分析问题的能力提出了挑战，作为一道操作题学生在可能的情况下可以动手操作，但更多的是要对操作认真的观察和分析，找出问题的实质所在，同时要借助给出的操作示例运用类比的思想，启示
（2）问的解题思路，而第（3）、⑷问学生可以先画
图分析再得出结论.
练习1.图8-1是一个等腰三角形，把它分成两个全等的三角形，图8-2是个任意三角形，把它分割成四个全等的三角形，图8-3是个直角三角形，/C=9C°,AC=1,BC=2,把这个三角形分成五个全等的三角形.
例2（2007福建宁德）已知：
矩形纸片ABCD中，AB=26cm，BC=18.5cm，点E在AD上，且AE=6cm，点P是AB边上一动点.
按如下操作：
步骤一：
折叠纸片，使点P与点E重合，展开纸片得折痕MN如图）;步骤二：
边P作PT丄AB,交MN所在的直线于点Q,连接QE如图）.
（1）无论点P在AB边上任何位置，都有PQQE（填号）；
（2）如图所示，将纸片ABCD放在平面直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作：
1当点P在A点时,PT与MN交于点QQ点的坐标是（一_）；
2当PA=6cm时,PT与MN交于点Q,Q2点的坐标是（,）；
3当PA=12cm时,在图中画出MN,PT不要求写画法）,并求出MN与PT的交点Q点的坐标；
（3）点P在运动过程中,PT与MN形成一系列的交点Q,Q2,Q3,…….观察、猜想：
众多的交点形成的图象是什么？
并直接写出该图象的函数表达式.
F,在Rt△APE中，•/PE=AE2AP2
Q3PPF
PEEA
=6^5•••PF=-PE=3J5.v/Q3PE+ZEPA=90,/AEP+/，2
EPA=90,「./Q3PE=/AEP.•△QsPFs^PEA,
•Q3（12,15）.方法二过点E作EGLQ3P于G,则四边形APGE是矩形.•GP=6,EG=12设Q3G=x,
则Q3E=Q3P=x+6.在Rt3EG中,•/EQ2=eG+Q&二（x+6）2=122+x：
/•x=9,/.Q3（12,15）.（3）
1
这些点形成的图象是一段抛物线.函数关系式是：
y—x2+3（012
评点：
此题作为一道动手题目要能看懂题意并能按要求规范操作，只有明确了所得Q点
的真正特点，才能正确求出点Q的坐标，另外第（3）问判断Q,Q2,Q3,……形成的图象则考察了学生
的发散思维以及观察推断能力.
练习（2007桂林）已知：
如图，△ABC关于y轴对称，点BP关于y轴的对称点分别是点C、Q.BP=AP=2,P点的坐标为（-1,0）.
⑴分别写出Q点和C点的坐标，并指出与厶ABP关于y轴对称的三角形；
（2）M为线段CQ上的点，若以x轴为旋转轴，旋转△PAM—周形成的旋转体的全面积为5._3二,
求线段AM的长；
⑶N为线段AM上一动点（与点AM不重合）,过点N分别作NHLx轴于H,NG丄y轴于G.求当矩形OHNG勺面积最大时N点的坐标.
几何应用问题
几何应用问题是近几年来中考的一大考点，它是把几何知识与实际问题相结合的一类题型，
几何应用问题的命题内容和形式趋向多样化，但其主要内容仍以全等的应用、相似的应用、解直角三角考查有关几何知识之外，更注重考查学生抽象、转化的思维能力•解决这类问题时，应形的应用为主•题目材料新颖，有很强的实用价值•此类问题的表现形式是：
由几何图形的性质通过计算、推理来说明某种几何设计是否最优，或是设计出符合要求的几何方案，除能有效地结合实际问题的背景，抽象出几何模型，禾U用几何知识加以解决，然后再回到实际问题，进行检验、解释、反思，解题时应特别注意数形结合、分类讨论等数学思想.
一般有这样几类：
（一）三角形在实际问题中的应用；
（二）几何设计问题；（三）几何综合应用问题.
（一）三角形在实际问题中的应用
例一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5米，面积为1.5平方米，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，甲乙两位同学的加工方法分别如图11-1，图11-2所示，请你用学过
的知识说明哪位同学的加工方法符合要求。
（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）。
解析由AB=1.5米，Smbc=1.5平方米，得BC=2米.设甲加工的桌面边长为x米，tDE//AB,
Rt△CD0Rt△CBA，•/CD二匹，即口X，解得x=~。
如图11-3，过点B作Rt△ABC斜边
CBAB21.57
AC的高BH交DE于P,并AC于Ho由AB=1.5米，BC=2米，Saabc=1.5平方米，C=2.5米，BH
=1.2米。
设乙加工的桌面边长为y米，•••DE//AC,Rt△BDE^Rt△BAG：
竺即1.2一『-y,
BHAC1.22.5
解得y^30。
因为630，即xy,x2.y2，所以甲同学的加工方法符合要求。
37737
点评：
本题是一道利用相似三角形性质来解决的几何应用问题。
解决这类问题主要是灵活运
用好相似找出线段间的相等关系，正确列方程求解，在计算过程中要注意计算的准确性各技巧性.此
题可先设出正方形边长，利用对应边成比例，列方程求解边长，边长大则面积大.
练习如图；某人在公路上由A到B向东行走，在A处测得公路旁的建筑物C在北偏东60°方向。
到达B处后，又测得建筑物C在北偏东45°方向。
继续前进，若此人在行走过程中离建筑物C的最近距离是（25..3+25）米，求AB之间的距离。
（二）有关方案设计问题应用
例1（2007福建龙岩）拼图与设计：
（1）如图13-1,四边形ABCD是一位师傅用地板砖铺设地板尚未完工的地板图形为了节省材料，
他准备在剩余的六块砖中（如图13-2所示）挑选若干块进行铺设，请你在图13-3所示的网格纸上帮他设计3种不同的示意图.
（2）师傅想用
（1）中的④号砖四块铺设一个中心对称图形，请你把设计的图形画在图13-4所示
的10X10的方格中.（要求以O点为对称中心）
解析
（1）首先要确定六块砖的图形特点，然后根据地板的图形特点进行铺设.也可以逆向操
作，将地板图形进行适当的分割，正确作图如图所示.
（2）根据中心对称的特征,绕中心0作适当的旋转.此题答案不唯一.
点评：
图形的拼剪问题，目的是通过对图形剪拼的操作，考察学生的动手实践能力、画能力以及计算能力，培养学生思维的慎密性•解这类问题的要领是：
针对给出的实际问题，结合数学中的分类讨论思想，画出符合要求的图形.
例2在直径为AB的半圆内，划出一块三角形区域，使三角形的一边为AB,顶点C在半圆上,
其它两边分别为6和8,现要建造一个内接于△ABC的矩形水池DEFN，其中，DE在AB上，如图的设计方案是使AC=8,BC=6•
（1）求厶ABC中AB边上的高h
（2）设DN=x，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？
（3）实际施工时，发现在AB上距B点1.85的M处有一棵大树，问：
这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？
如果在，为保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建
的最大矩形水池能避开大树.（1999，云南）
值最大.（3）当SDEFN最大时x=2.4，此时F为BC中点.在Rt△FEB中，EF=2.4,BF=3,
BE='BF2-EF2=:
.3?
~2.4=1.8，又BM-1.85>BE,故大树必位于欲修建的水池边上，应重新
设计方案，又•••当x=2.4时，DE=5,•••AD=3.2，由圆的对称性知满足题设条件的另外设计方案是如图
（2）,此时，AC=6,AD=1.8,BD=8.2，此方案满足条件且能避开大树.
点评：
解此类问题经常要通过计算线段长和面积来确定设计方案及其是否最优，因此有关
面（体）积公式要非常熟练，同时要熟悉解直角三角形的有关知识和技巧，并会将有关图形转化为直角三角形再计算有关线段或面积；有时还要利用轴对称及其性质解题.
练习1.如图
（1）所示是某立式家俱（角书橱）的横断面，请你设计一个方案（角书橱高2米，房间高2.6米，所以不必从高度方面考虑方案的设计），按此方案，可使该家俱通过图
（2）
中的长廊搬入房间，在图
（2）中把你设计的方案画成草图，并说明按此方案可把家俱搬入房间的理由.（注：
搬运过程中不准拆卸家俱，不准损坏墙壁）.（2002，济南市）
1
长廊皆
房间
;3・
2.小明家有一块三角形菜地，要种植面积相等的四种蔬菜，请你设计四种不同的分割方案（分成三角形或四边形不限）。
（三）综合类几何应用
例如图1，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且/QPN=3（o，点A处有一所中学，AP=160米。
假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到噪声影响？
请说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度为18千米/时，那么学校
受影响的时间为多少秒？
解析：
过点A作AB丄MN垂足为B,在Rt△ABP中：
/APB=ZQPN=30,AP=160米
1
则AB=—AP=80米，所以学校会受到噪声影响。
2
以A为圆心，100米为半径作。
A,交MN于CD两点，在Rt△ABC中：
AC=100米，AB=80米，贝U：
BC=.、AC2-AB2h；；1002-802=60（米），CD=2BC=12（0米）；•/18千米/小时=5米/秒.
受影响时间为：
120米十5米/秒=24（秒）
点评：
解几何应用问题要求我们必须具备扎实的几何基础知识，较强的阅读理解能力，以及对数学思想方法的掌握•本题是一道关于解直角三角形和圆的几何综合应用问题，要判断是否受到噪声的影响，只需求出A点到直线MN的距离AB,当此AB<100米时就要受到噪声影响；第二个问题只需要噪声影响路段的长度，就能求出受影响的时间.
练习如图所示，一艘轮船以20里/时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以
40里/时的速度由南向北移动，距台风中心20-10里的圆形区域（包括边界）都属台风区，当轮
船到A处时，测得台风中心移到位于点A正南方向B处，且AB=100里
（1）若这艘轮船自A处按原速继续航行，在途中会不会遇到台风？
若会，试求船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由；
（2）现轮船自A处立即提高船速，向位于东偏北30°方向，相距60里的D港驶去，为使台风到
来之前到达D港，问船速至少要提高多少（提高的船速取整数，13-3.6）?
三动态几何探究问题
动态几何就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与
"不变”性；就其运动对象而言有点动、线动、面动；就其运动形式而言有平动、旋转、翻折、滚动等•动态几何问题常常集几何、代数知识于一体，数形结合，有较强的综合性，题目灵活、多变，动中有静，动静结合，能够在运动变化中发展学生空间想象能力，全面考查学生的综合分析和解决问题的能力，是近几年中考命题的热点，常常在中考中起到甄选的作用.
解决动态几何问题需要树立联系发展的动态观，用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握
图形运动与变化的全过程.一方面要注意将运动过程中的各个时刻的图形分类画图，由“动”变“静”;
另一方面还要善于抓住在运动过程中某一特殊位置的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变量和不变关系或特殊关系以及特定的限制条件•在求有关图形的变量之间关系时，通常建立函数模型或不等式模型来求解；求图形之间的特殊数量关系和一些特殊值时，通常建立方程模型求解.
（一）单动点问题
例（2007连云港）如图19-1,在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A,C在坐标轴上，OA=60cm,OC=80cm动点P从点O出发,以5cm/s的速度沿x轴匀速向点C运动,到达C点即停止.设点P运动的时间为ts.
（1）过P作对角线OB的垂线,垂足为点T.求PT的长y与时间t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（2）
在点P运动过程中，当点O关于直线AP的对称点O恰好落在对角线OB上时，求此时直线AP的函数解析式；
三点为顶点的△APT的面积能否达到矩形OABC勺面积的丄？
请说明理由.
为0Wt<16.
⑵当点O关于直线AP的对称点O恰好在对角线OB上时,A,T,P三点应在一条直线上（如图
OPAO
19-2）.•APIOB,Z仁/2二Rt△AO陽Rt△OCB/.,•OP=45,「.点P的坐标为（45,0）.设
CBCO
直线AP的函数关系式为y=kx+b.将A（0,60）,P（45,0）两点代入解析式要求直线AP的解析式为
4
y=x60.
3
45
（3）由⑵知，当t==9时,A,T,P三点在一条直线上，此时，点A,T,P构不成三角形.故分两
5
种情况：
图19-3,当0vtV9时，T点位于△AOP的内部，此时△APT和面积达不到矩形OABC面积的
1
图19-4,当9Vt<16时，点T位于△AOP的外部，此时△APT和面积也达不到矩形OABC面积的
4
1
4
点评：
第⑴问的关键是能利用相似知识得到对应线段成比例；第⑵问需要明白点O关于直
线AP的对称点O恰好落在对角线OB上的实质是告诉AP与OB垂直的关系；第（3）问探索以A,P,T
三点为顶点的△APT的面积是否能到矩形OABC面积的1,则要分两种情况进行讨论分析.
4
练习（湖北天门）如图所示，在平面直角坐标系内，点A和点C的坐标分别为（4,8）、（0,
5）,过点A作AB丄x轴于点B,过OB上的动点D作直线y=kx+b平行于AC,与AB相交于点E,连结CD，过点E作EF//CD交AC于点F。
（1）求经过A、C两点的直线的解析式；
（2）当点D在OB上移动时，能否使四边形CDEF成为矩形？
若能，求出此时k、b的值；若不
能，请说明理由；
（3）如果将直线AC作上下平移，交y轴于C'交AB于A'连结DC'过点E作EF'/DC'交A'C'于F'那么能否使四边形C'DEF'为正方形？
若能，请求出正方形的面积；若不能，请说明理由。
图20
（二）双点运动问题
2
y（cm），求y与时间x的函数关
例（2007温州）如图21-1,在厶ABC中，/C=9C°,AC=4cm,BC=5cm点D在BC上,且CD=3cm现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm/s的速度沿AC向终点C运动；点Q以1.25cm/s的速度沿BC向终点C运动.过P作PE//BC交AD于E,连接EQ设动点运动的时间为xs.
（1）用含x的代数式表示AEDE的长度.
（2）当点Q在BD（不包括点B、D）上移动时，设△EDQ的面积为系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）
当x为何值时，△EDQ为直角三角形？
第⑶问的解答关键在于要分两种情况来分析•
练习如图，在直角坐标系中，0是原点，A、B、C三点的坐标分别为A（18,0）,B
（18，6），C（8，6），四边形OABC是梯形，点P、Q同时从原点出发，分别坐匀速运动，其中点P沿0A向终点A运动，速度为每秒1个单位，点Q沿OC、CB向终点B运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动。
⑴求出直线0C的解析式及经过0、A、C三点的抛物线的解析式。
⑵试在⑴中的抛物线上找一点D，使得以0、A、D为顶点的三角形与△A0C全等，请直接
写出点D的坐标。
0ABC的周长的一半,t的值；如不可能，请
设从出发起，运动了t秒。
如果点Q的速度为每秒2个单位，试写出点Q的坐标，并写出此时t的取值范围。
⑷设从出发起，运动了t秒。
当P、Q两点运动的路程之和恰好等于梯形这时，直线PQ能否把梯形的面积也分成相等的两部分，如有可能，请求出说明理由。
8>
解析
（1）A（0,6）,B（6,0）,D（-6,0）.
（2）当00E=2x,EH=x,0D=6-2x,DH=6-x,/•y=2S梯形i0hg=2（S△gh^Sq0d）=-3x+12x.当3DB=12-2x./•y=S△dg=x-12x+36.（3）在图中作GH丄0E于H,当x=4
时,0
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