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1、高等数学下考试题库附答案高等数学试卷 1（下）一.选择题（ 3 分 10）1.点 M 1 2,3,1 到点 M 2 2, 7,4 的距离 M1M 2 （ ）.A.3 B.4 C.5 D.62.向量 a i 2 j k,b 2i j ，则有（ ）.A. ab B. a b C.a,b D.3a,b43.函数12 2y 2 x y 的定义域是（ ）.2 2x y 12 y 2 y2 2A. x, y 1 x 2 B. x, y1 x 22 y 2 y2 2C. x, y 1 x 2 D x, y 1 x 24.两个向量 a与b 垂直的充要条件是（ ）.A. a b 0 B. a b 0 C. a

2、b 0 D. a b 03 35.函数 z x y 3xy的极小值是（ ）.A.2 B. 2 C.1 D. 16.设 z x sin y ，则zy1,4（ ） .A.22B.22C. 2 D. 27.若 p 级数n 11pn收敛，则（ ）.A. p 1 B. p 1 C. p 1 D. p 18.幂级数n 1nxn的收敛域为（ ）.A. 1,1 B 1,1 C. 1,1 D. 1,19.幂级数nx0 2n在收敛域内的和函数是（ ）.1 2 2 1A. B. C. D.1 x 2 x 1 x 2x10.微分方程 xy yln y 0 的通解为（ ）.A.xy ce B.xy e C.xy cxe

3、 D.ycxe二.填空题（ 4 分 5）1.一平面过点 A 0,0,3 且垂直于直线 AB，其中点 B 2, 1,1 ，则此平面方程为 _.2.函数 z sin xy 的全微分是 _.3 y xy3 xy23.设 z x 3 1，则2zx y_.1的麦克劳林级数是 _. 4.2 x三.计算题（ 5 分 6）z zu sin ，而 u xy, v x y ，求 , . 1.设 z e vx yz z2 y z x z2 22.已知隐函数 z z x, y 由方程 x 2 4 2 5 0 确定，求 , .x y2 23.计算 sin x y d ，其中2 42 2 2D : x y .D4.求两个

4、半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（ R为半径） .四.应用题（ 10 分 2）1.要用铁板做一个体积为 23m 的有盖长方体水箱， 问长、 宽、高各取怎样的尺寸时， 才能使用料最省？.试卷 1 参考答案一.选择题 CBCAD ACCBD二.填空题1. 2x y 2z 6 0.2.cos xy ydx xdy .2 y y23.6x 9 1 .4.n 0n1n 12nx.11.y2xC C x e1 .2三.计算题z xy z xy4. e y sin x y cos x y ， e x sin x y cos x y .x y5.zx2zx1,zy2zy1.6.202d sin d26

5、.7.1633R .8.y3x e2ex.四.应用题5.长、宽、高均为 m3 2 时，用料最省 .1 26. y x .3高数试卷 2（下）一.选择题（ 3 分 10）2.点 M 1 4, 3,1 ，M 2 7 ,1,2 的距离 M 1M 2 （ ） .A. 12 B. 13 C. 14 D. 153.设两平面方程分别为 x 2y 2z 1 0和 x y 5 0 ，则两平面的夹角为（ ）.A. B. C. D.6 4 3 24.函数2 2z arcsin x y 的定义域为（ ）.2 y 2 y2 2A. x, y 0 x 1 B. x, y 0 x 1C.2 y2x, y 0 x D.2x,

6、 y 0 x2 y225.点 P 1, 2,1 到平面 x 2y 2z 5 0的距离为（ ）.A.3 B.4 C.5 D.66.函数2 2 2z 2xy 3x y 的极大值为（ ）.A.0 B.1 C. 1 D.1212.设z2 3xy y 2z x ，则 1,2x（ ） .A.6 B.7 C.8 D.913.若几何级数nar 是收敛的，则（ ）.n 0A. r 1 B. r 1 C. r 1 D. r 114.幂级数nn1x 的收敛域为（ ）.n 0A. 1,1 B. 1,1 C. 1,1 D. 1,115.级数sinn n1na4是（ ）.A. 条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D.不能确

7、定二.填空题（ 4 分 5）x 3 t9.直线 l 过点 A 2,2, 1 且与直线 y t平行，则直线 l 的方程为 _.z 1 2t10.函数xyz e 的全微分为 _.11.曲面2 4 2z 2x y 在点 2 ,1,4 处的切平面方程为 _.三.计算题（ 5 分 6）7.设 a i 2 j k,b 2 j 3k ，求 a b.8.设z z2z u ，而 u x cos y,v x sin y ，求 , .2 v uvx yz z3 xyz9.已知隐函数 z z x, y 由 x 3 2确定，求 , .x y10.如图，求球面2 y2 z2 4a 2 22x 与圆柱面 x y 2ax（

8、a 0）所围的几何体的体积 .四.应用题（ 10 分 2）16.试用二重积分计算由 y x, y 2 x 和 x 4所围图形的面积 .试卷 2 参考答案一.选择题 CBABA CCDBA.二.填空题12.x2 y 2 z1 1 21.xy13.e ydx xdy.14.8x 8y z 4.15.1n 0n x2n .16.3y x .三.计算题11.8i 3 j 2k .z 2 z 3 3 3 312. 3x sin y cosy cos y sin y , 2x sin y cosy sin y cos y x sin y cos y .x yz yz z xz13. 2 , 2x xy z

9、 y xy z.14.32 3 2 a .3 2 315.2 xx C ey C e 21 .四.应用题17.163.12x gt v t x . 2. 0 02高等数学试卷 3（下）一、选择题（本题共 10 小题，每题 3 分，共 30 分）2、设 a=i+2j-k,b=2j+3k ，则 a 与 b 的向量积为（ ）A 、i-j+2k B、8i-j+2k C、8i-3j+2k D、8i-3i+k3、点 P（-1、-2、1）到平面 x+2y-2z-5=0 的距离为（ ）A 、2 B、3 C、4 D、54、函数 z=xsiny 在点（ 1，）处的两个偏导数分别为（ ）42A 、 ,222,2B、

10、 ,222C、2222D、2222,5、设 x 2+y2+z2=2Rx，则2+y2+z2=2Rx，则zxz, 分别为（ ）yA 、x R zy x, B、zzRy x R y, C、 , D、z z zxzR,yz6、设圆心在原点，半径为 R，面密度为2 y2x 的薄板的质量为（ ）（面积 A=2R ）1A 、R2A B、2R2A C、3R2A D、 R A22nx n7、级数( 1)的收敛半径为（ ）n n 1A 、2 B、12C、1 D、38、cosx 的麦克劳林级数为（ ）A 、(n 0n1)(2nx2n)!B、( 1)n 1n2nx(2 n)!C、n0(1)n2nx(2 n)!D、n0

11、(1)n(2nx2n11)!二、填空题（本题共 5 小题，每题 4 分，共 20 分）x 1 y 31、直线 L1：x=y=z 与直线 L 2： z的夹角为2 1_。x 1 y 2 z直线 L3： 与平面3x 2y 6z 0之间的夹角为 2 1 2_。 2.03 的近似值为 _,sin100 的近似值为 _。2、（0.98）3、二重积分2 2d ,D : x y 1的值为_。Dn4、幂级数 的收敛半径为n!x _，n 0nnx0 n!的收敛半径为 _。三、计算题（本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）2、求曲线 x=t,y=t2,z=t3 在点（ 1，1，1）处的切线及法平面方程 .

12、xyd ，其中D由直线y 1,x 2及y x围成. 3、计算D4、问级数( 1)n 11n ？ ， ？ sin 收敛吗 若收敛 则是条件收敛还是绝对 收敛n5、将函数 f(x)=e3x 展成麦克劳林级数四、应用题（本题共 2 小题，每题 10 分，共 20 分）2 而体积最大的长方体体积。 1、求表面积为 a参考答案一、选择题1、D 2、C 3、C 4、A 5、B 6、D 7、C 8、A 9、B10,A二、填空题1、2 8ar cos , arcsin 2、0.96，0.1736521183、 4 、0，+5、y ce2x 12 ,cx1y三、计算题2、解：因为 x=t,y=t2,z=t 3,

13、所以 xt =1,y t =2t,z t =3t2，所以 xt | t=1 =1, y t | t=1 =2, z t | t=1 =3故切线方程为：x1 y 1 z1 2 31法平面方程为： （x-1 ）+2(y-1)+3(z-1)=0即 x+2y+3z=63、解：因为 D由直线 y=1,x=2,y=x 围成，所以D： 1 y 2y x 2故：Dxyd3y2 2 2 xydx dy (2y )dy1 y 121814、解：这是交错级数，因为Vn sin1n0，所以， Vn 1 Vn, lim sin且1n，所以该级数为莱布尼兹型级数0，故收敛。又n 1sin1n当x趋于0时，sin xx，所

14、以，limnsin1n1n1，又级数n 11n发散，从而n 1sin1n发散。5， 。 所以 原级数条件收敛、解：因为we1 x12!x213!3x1n!xnx ( , )用 2x 代 x，得：2ex1 (2x)12!(2x)213!(2x)31n!(2x)n1 2x222!2x323!x3n2n!xnx ( , )四、应用题1、解：设长方体的三棱长分别为 x，y，z2则2（xy+yz+zx ）=a构造辅助函数2F（x,y,z）=xyz+ ( 2xy 2yz 2zx a )求其对 x,y,z 的偏导，并使之为 0，得：yz+2 (y+z)=0xz+2 (x+z)=0xy+2 (x+y)=0与

15、2(xy+yz+zx)-a2=0 联立，由于 x,y,z 均不等于零可得 x=y=z代入 2(xy+yz+zx)-a2=0 得 x=y=z=6a6所以，表面积为 a 2 而体积最大的长方体的体积为2 而体积最大的长方体的体积为V xyz36a362、解：据题意dMdtM其中 0为常数初始条件 M Mt 0 0对于dMdtM式dMMdt两端积分得 ln M t ln Ct所以 ce，M又因为 M Mt 0 0所以，M C0t所以，M M e0由此可知 ，铀的衰变规律为 ：铀的含量随时间的增加 而按指数规律衰减 。高数试卷 4（下）一选择题： 3 10 30下列平面中过点（ ,1）的平面是 （）

16、（） （） （） 在空间直角坐标系中，方程 x2 y2 2 表示 （）圆 （）圆域 （）球面 （）圆柱面二元函数 z (1 x)2 (1 y)2 的驻点是 （）（ ,） （）（,） （）（,） （）（,）二重积分的积分区域 是1 x2 y2 4 ，则 dxdy D（） （） 4 （） 3 （） 15交换积分次序后1 x0 dx ( x, )dy f y0（） 10dy1yf (x, y)dx（）1dy010f (x, y)dx（）1dy0y0f(x,y)dx（）xdy010f(x, y)dx 阶行列式中所有元素都是，其值是 （） （） （）！ （）下列级数收敛的是 （）n(1n1)1nn 1（

17、）nn3n1 2（）n1(n1)n1（）1n n1正项级数nu 和n1nv 满足关系式 un vn ，则 n1（）若u 收敛，则nv 收敛 （）若nv 收敛，则nu 收敛nn 1 n 1 n 1 n 1（）若v 发散，则nu 发散 （）若nu 收敛，则nv 发散nn 1 n 1 n 1 n 11已知： 1 x x21 x，则112x的幂级数展开式为 （） 1 x2 x4 （） 1 x2 x4 （） 1 x2 x4 （） 1 x2 x4二填空题： 4 5 20 数 z x2 y2 1 ln( 2 x2 y2 ) 的定义域为 y若 f (x, y) xy ，则 f ( ,1) x已知 (x0, y

18、0) 是 f (x, y) 的驻点，若 f xx (x0, y0 ) 3, f yy( x0, y0) 12, f xy (x0, y0) a 则当 时， (x0, y0 )一定是极小点级数nu 收敛的必要条件是 n1三计算题 ( 一)： 6 5 30 已知： z xy ，求：z ，xz y 计算二重积分 x d4 2 ，其中 D ( x, y) | 0 y 4 x2 ,0 x 2 D122011，100210321已知： ，其中 ，求未知矩阵 nxn 1求幂级数 ( 1) 的收敛区间n n 1求 f (x) e x 的麦克劳林展开式（需指出收敛区间） 四计算题 ( 二)： 10 2 20求平面 和 的交线的标准方程参考答案一；二 ( x, y) |1 x2 y2 2 yx 6 a 6 lim un 0nz y yz四 1解： x y1yx lnx y2解：D4x2d2dx0042 x3x 24 x dy (4 x ) dx 4x2 203201633解：1 2 7 1 0 21 AB1B 0 1 2 , .2 4 150 0 1