高等数学下考试题库附答案.docx
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高等数学下考试题库附答案
《高等数学》试卷1（下）
一.选择题（3分10）
1.点M12,3,1到点M22,7,4的距离M1M2（）.
A.3B.4C.5D.6
2.向量ai2jk,b2ij，则有（）.
A.a∥bB.a⊥bC.
a,bD.
3
a,b
4
3.函数
1
22
y2xy的定义域是（）.
22
xy1
2y2y
22
A.x,y1x2B.x,y1x2
2y2y
22
C.x,y1x2Dx,y1x2
4.两个向量a与b垂直的充要条件是（）.
A.ab0B.ab0C.ab0D.ab0
33
5.函数zxy3xy
的极小值是（）.
A.2B.2C.1D.1
6.设zxsiny，则
z
y
1,
4
＝（）.
A.
2
2
B.
2
2
C.2D.2
7.若p级数
n1
1
p
n
收敛，则（）.
A.p1B.p1C.p1D.p1
8.幂级数
n1
n
x
n
的收敛域为（）.
A.1,1B1,1C.1,1D.1,1
9.幂级数
n
x
02
n
在收敛域内的和函数是（）.
1221
A.B.C.D.
1x2x1x2
x
10.微分方程xyylny0的通解为（）.
A.
x
yceB.
x
yeC.
x
ycxeD.
y
cx
e
二.填空题（4分5）
1.一平面过点A0,0,3且垂直于直线AB，其中点B2,1,1，则此平面方程为______________________.
2.函数zsinxy的全微分是______________________________.
3yxy3xy
2
3.设zx31，则
2
z
xy
_____________________________.
1
的麦克劳林级数是___________________________.4.
2x
三.计算题（5分6）
zz
usin，而uxy,vxy，求,.1.设zev
xy
zz
2yzxz
22
2.已知隐函数zzx,y由方程x24250确定，求,.
xy
22
3.计算sinxyd，其中
24
222
D:
xy.
D
4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R为半径）.
四.应用题（10分2）
1.要用铁板做一个体积为2
3
m的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？
.
试卷1参考答案
一.选择题CBCADACCBD
二.填空题
1.2xy2z60.
2.cosxyydxxdy.
2yy
2
3.6x91.
4.
n0
n
1
n1
2
n
x
.
11.
y
2x
CCxe
1.
2
三.计算题
zxyzxy
4.eysinxycosxy，exsinxycosxy.
xy
5.
z
x
2
z
x
1
z
y
2
z
y
1
.
6.
2
0
2
dsind
2
6.
7.
16
3
3
R.
8.
y
3
xe2
e
x
.
四.应用题
5.长、宽、高均为m
32时，用料最省.
12
6.yx.
3
《高数》试卷2（下）
一.选择题（3分10）
2.点M14,3,1，M27,1,2的距离M1M2（）.
A.12B.13C.14D.15
3.设两平面方程分别为x2y2z10和xy50，则两平面的夹角为（）.
A.B.C.D.
6432
4.函数
22
zarcsinxy的定义域为（）.
2y2y
22
A.x,y0x1B.x,y0x1
C.
2y
2
x,y0xD.
2
x,y0x
2y2
2
5.点P1,2,1到平面x2y2z50的距离为（）.
A.3B.4C.5D.6
6.函数
222
z2xy3xy的极大值为（）.
A.0B.1C.1D.
1
2
12.设
z
23xyy2
zx，则1,2
x
（）.
A.6B.7C.8D.9
13.若几何级数
n
ar是收敛的，则（）.
n0
A.r1B.r1C.r1D.r1
14.幂级数
n
n
1x的收敛域为（）.
n0
A.1,1B.1,1C.1,1D.1,1
15.级数
sin
nn
1
na
4
是（）.
A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.不能确定
二.填空题（4分5）
x3t
9.直线l过点A2,2,1且与直线yt
平行，则直线l的方程为__________________________.
z12t
10.函数
xy
ze的全微分为___________________________.
11.曲面
242
z2xy在点2,1,4处的切平面方程为_____________________________________.
三.计算题（5分6）
7.设ai2jk,b2j3k，求ab.
8.设
zz
2
zu，而uxcosy,vxsiny，求,.
2vuv
xy
zz
3xyz
9.已知隐函数zzx,y由x32确定，求,.
xy
10.如图，求球面
2y2z24a22
2
x与圆柱面xy2ax
（a0）所围的几何体的体积.
四.应用题（10分2）
16.试用二重积分计算由yx,y2x和x4所围图形的面积.
试卷2参考答案
一.选择题CBABACCDBA.
二.填空题
12.
x
2y2z
112
1
.
xy
13.eydxxdy
.
14.8x8yz4.
15.
1
n0
nx2n.
16.
3
yx.
三.计算题
11.8i3j2k.
z2z3333
12.3xsinycosycosysiny,2xsinycosysinycosyxsinycosy.
xy
zyzzxz
13.2,2
xxyzyxyz
.
14.
3232
a.
323
15.
2x
xCe
yCe2
1.
四.应用题
17.
16
3
.
1
2
xgtvtx.2.00
2
《高等数学》试卷3（下）
一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分）
2、设a=i+2j-k,b=2j+3k，则a与b的向量积为（）
A、i-j+2kB、8i-j+2kC、8i-3j+2kD、8i-3i+k
3、点P（-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距离为（）
A、2B、3C、4D、5
4、函数z=xsiny在点（1，
）处的两个偏导数分别为（）
4
2
A、,
2
2
2
2
B、,
2
2
2
C、
2
2
2
2
D、
2
2
2
2
5、设x2+y2+z2=2Rx，则
2+y2+z2=2Rx，则
z
x
z
分别为（）
y
A、
xR
z
yx
B、
z
z
R
yxRy
C、,D、
zzz
x
z
R
y
z
6、设圆心在原点，半径为R，面密度为
2y2
x的薄板的质量为（）（面积A=
2
R）
1
A、R
2AB、2R2AC、3R2AD、RA
2
2
n
xn
7、级数
（1）
的收敛半径为（）
nn1
A、2B、
1
2
C、1D、3
8、cosx的麦克劳林级数为（）
A、
（
n0
n
1）
（
2n
x
2n）!
B、
（1）
n1
n
2n
x
（2n）!
C、
n
0
（
1）
n
2n
x
（2n）!
D、
n
0
（
1）
n
（
2n
x
2n
1
1）!
二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分）
x1y3
1、直线L1：
x=y=z与直线L2：
z的夹角为
21
___________。
x1y2z
直线L3：
与平面3x2y6z0之间的夹角为
212
____________。
2.03的近似值为________,sin100的近似值为___________。
2、（0.98）
3、二重积分
22
d,D:
xy1的值为
___________。
D
n
4、幂级数的收敛半径为
n!
x__________，
n0
n
n
x
0n!
的收敛半径为__________。
三、计算题（本题共6小题，每小题5分，共30分）
2、求曲线x=t,y=t
2,z=t3在点（1，1，1）处的切线及法平面方程.
xyd，其中D由直线y1,x2及yx围成.3、计算
D
4、问级数
（1）
n1
1
n？
，？
sin收敛吗若收敛则是条件收敛还是绝对收敛
n
5、将函数f（x）=e
3x展成麦克劳林级数
四、应用题（本题共2小题，每题10分，共20分）
2而体积最大的长方体体积。
1、求表面积为a
参考答案
一、选择题
1、D2、C3、C4、A5、B6、D7、C8、A9、B
10,A
二、填空题
1、
28
arcos,arcsin2、0.96，0.17365
21
18
3、л4、0，+
5、
yce
2
x1
2,cx
1
y
三、计算题
2、解：
因为x=t,y=t
2,z=t3,
所以xt=1,yt=2t,zt=3t
2
，
所以xt|t=1=1,yt|t=1=2,zt|t=1=3
故切线方程为：
x
1y1z
123
1
法平面方程为：
（x-1）+2（y-1）+3（z-1）=0
即x+2y+3z=6
3、解：
因为D由直线y=1,x=2,y=x围成，
所以
D：
1≤y≤2
y≤x≤2
故：
D
xyd
3
y
222
[xydx]dy（2y）dy
1y1
2
1
8
1
4、解：
这是交错级数，因为
Vnsin
1
n
0，
所以
，Vn1Vn,limsin
且
1
n
，所以该级数为莱布尼兹型级数
0
，故收敛。
又
n1
sin
1
n
当x趋于0时，sinx
~
x，所以
，
lim
n
sin
1
n
1
n
1，又级数
n1
1
n
发散，从而
n1
sin
1
n
发散。
5
，。
所以原级数条件收敛
、解：
因为
w
e
1x
1
2!
x
2
1
3!
3
x
1
n!
x
n
x（,）
用2x代x，得：
2
e
x
1（2x）
1
2!
（
2x）
2
1
3!
（2x）
3
1
n!
（2
x）
n
12x
2
2
2!
2
x
3
2
3!
x
3
n
2
n!
x
n
x（,）
四、应用题
1、解：
设长方体的三棱长分别为x，y，z
2
则2（xy+yz+zx）=a
构造辅助函数
2
F（x,y,z）=xyz+（2xy2yz2zxa）
求其对x,y,z的偏导，并使之为0，得：
yz+2（y+z）=0
xz+2（x+z）=0
xy+2（x+y）=0
与2（xy+yz+zx）-a
2=0联立，由于x,y,z均不等于零
可得x=y=z
代入2（xy+yz+zx）-a
2=0得x=y=z=
6a
6
所以，表面积为a2而体积最大的长方体的体积为
2而体积最大的长方体的体积为
Vxyz
3
6a
36
2、解：
据题意
dM
dt
M
其中0为常数
初始条件MM
t00
对于
dM
dt
M
式
dM
M
dt
两端积分得lnMtlnC
t
所以ce
，M
又因为MM
t00
所以，MC
0
t
所以，MMe
0
由此可知，铀的衰变规律为：
铀的含量随时间的增加而按指数规律衰减。
《高数》试卷4（下）
一．选择题：
31030
１．下列平面中过点（１,１,1）的平面是．
（Ａ）ｘ＋ｙ＋ｚ＝０（Ｂ）ｘ＋ｙ＋ｚ＝１（Ｃ）ｘ＝１（Ｄ）ｘ＝３
２．在空间直角坐标系中，方程x2y22表示．
（Ａ）圆（Ｂ）圆域（Ｃ）球面（Ｄ）圆柱面
３．二元函数z（1x）2（1y）2的驻点是．
（Ａ）（０,０）（Ｂ）（０,１）（Ｃ）（１,０）（Ｄ）（１,１）
４．二重积分的积分区域Ｄ是1x2y24，则
dxdy．
D
（Ａ）（Ｂ）4（Ｃ）3（Ｄ）15
５．交换积分次序后
1x
0dx（x,）dy．
fy
0
（Ａ）
1
0
dy
1
y
f（x,y）dx
（Ｂ）
1
dy
0
1
0
f（x,y）dx
（Ｃ）
1
dy
0
y
0
f
（x,
y）dx
（Ｄ）
x
dy
0
1
0
f
（x,y）dx
６．ｎ阶行列式中所有元素都是１，其值是．
（Ａ）ｎ（Ｂ）０（Ｃ）ｎ！
（Ｄ）１
８．下列级数收敛的是．
（Ａ）
n
（
1
n
1）
1
n
n1
（Ｂ）
n
n
3
n
12
（Ｃ）
n
1
（
n
1）
n
1
（Ｄ）
1
nn
1
９．正项级数
n
u和
n
1
n
v满足关系式unvn，则．
n
1
（Ａ）若
u收敛，则
n
v收敛（Ｂ）若
n
v收敛，则
n
u收敛
n
n1n1n1n1
（Ｃ）若
v发散，则
n
u发散（Ｄ）若
n
u收敛，则
n
v发散
n
n1n1n1n1
1
１０．已知：
1xx2
1x
，则
1
1
2
x
的幂级数展开式为．
（Ａ）1x2x4（Ｂ）1x2x4（Ｃ）1x2x4（Ｄ）1x2x4
二．填空题：
4520
１．数zx2y21ln（2x2y2）的定义域为．
y
２．若f（x,y）xy，则f（,1）．
x
３．已知（x0,y0）是f（x,y）的驻点，若fxx（x0,,y0）3,fyy（x0,y0）12,fxy（x0,y0）a则
当时，（x0,y0）一定是极小点．
５．级数
n
u收敛的必要条件是．
n
1
三．计算题
（一）：
6530
１．已知：
zxy，求：
z，
x
z．
y
２．计算二重积分xd
42，其中D{（x,y）|0y4x2,0x2}．
D
1
2
2
0
1
1
，Ｂ＝
1
0
0
2
1
0
3
2
1
３．已知：
ＸＢ＝Ａ，其中Ａ＝，求未知矩阵Ｘ．
n
x
n1
４．求幂级数
（1）的收敛区间．
nn1
５．求f（x）ex的麦克劳林展开式（需指出收敛区间）．
四．计算题
（二）：
10220
１．求平面ｘ－２ｙ＋ｚ＝２和２ｘ＋ｙ－ｚ＝４的交线的标准方程．
参考答案
一．１．Ｃ；２．Ｄ；３．Ｄ；４．Ｄ；５．Ａ；６．Ｂ；７．Ｂ；８．Ｃ；９．Ｂ；１０．Ｄ．
二．１．（x,y）|1x2y22２．
y
x
３．6a6４．２７５．limun0
n
zyy
z
四．1．解：
xy
1
yxln
xy
2．解：
D
4
x
2
d
2
dx
0
0
4
2x
3
x2
4xdy（4x）dx4x
22
0
3
2
0
16
3
3．解：
127
102
1AB
1
B012,.
2415
001
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