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1、高等数学同济第七版课后答案解析高等数学(同济大学数学系第七版)上册第一章：函数与极限课后习题答案映射与函数5求下师数的自然定乂域:(5) y = sin、以；(7 ) y = arcsin( x - 3 );(9)y = ln( x + I )；(6) y = tan(x + I )；(8 ) y = /3 - x + arctan ； x(10) *(1) 3L0=?e -号,即定义域为-，m),1 -/尹。=.t# it 即定义域为(- 8,-i)u(-l,i)u(l,+x)(2)(3)人乂()且】-/五0 =4 = o且|*| w】，即定义域为-1,0)U(0,1.(4)4-x2 0 n

2、lrd 0 =x -1，即定义域为(-1 , + 8 ).(10)TO,即定义域为(-8,0)U(0, + 8).注本题是求術数的I然定义域，一般方法是先写出构成所求函数的各个简単 函数的定义域，再求出这约定义域的交案.即很所求定义域.卜列简单函数及K定义 域是经常用到的：尸銘EC =y = .-】 ;(4)f(x) = 1 x) = sec2 X - tan2 x. 钢(1)不同肉为定义域不同.(2)不同，因为对应法贝J不同g=7? = .：(3)相同、因为定义域、对应法则均相同.(4)不同、因为定义域不同.际3.设求。(寻)“仔)9(-骨)顽-2) .并作出函数L)的囲形.sin -4TT

3、S,T i1(、)的,形如图丨1所示.円I -IS4.试让F列陥数在指定区间内的单Wi性:第一章函故与扱限（2） j = x + In n（0, * 8 ）. 证（I） y=/（）=rL-=-丨+宀（-8）.I -x 1 -X设叫 x2 ，I - 2 I - Xl （I - Xj ） （ I - X2） 所以/（）?）/（七），即/U）在（-x ,1）内单调増加.（2） y =/（x） = x + In r.（0. +8 ）.设0 0,xi所以/（存）/（%）,即/（W在（0, + ao ）内单调增加.公5设/U）为定义在（-/./）内的荷函数.若/（X）在（01）内单调増加，证明/（#）在

4、（-L0）内也单凋増加.证 设-/X, X2 0,则 0 “2 -A, 0.从而 /（旳）/（旳），即/（X在0）内也単调增加.洎6. &卜血所考虑的函救都是定义在区间U）上的.i止明：（1） 两个偶函数的和是偶函数.两个奇函数的和是奇函数；（2） 两个偶函数的乘枳是偶函数，两个奇函数的乘枳是偶函数，偶函数与奇丽 数的乗积是奇函数.证（1）设 J|（X）./2（X）均为偶函数，则乂（ -X）”（），（ -X）=6（x）. 今/=/|（） +/i（x）,于是F（ -T）=/|（ -X）+/2（ F =/|（对+人（x） =F（x）,枚，（大）为偶函数.设幻（T）,&2（愛）均为奇函数.则幻（-工

5、）=-们（*）,幻（-X）= -g2（ *）令 。（）=g （） +&）,于是G（ -X）=X| （ -X）+评2（ -X）= 幻（x） -&2（1）= f）,故c（x）为奇函数.（2）设代3余3均为偶隣数，则4（ F =/,（x）/2（ -X）=/；（%）.令尸（人）= fl（x） f2（x）. f 是戶（-X）=/,（ -X）（-）=./|也）外（*）=/也）.故一（欠）为偶函数.设们（1）,幻也）均为奇函数，则幻（-X）= -g,（）.g2（ -X）= -幻（1）令 G（x） =g| 3） ,，）.于是C（-欠）=旳（-2 &2（-大）=-x） -d2（x）；:(z-x) “d ( I)

6、血必汩卩群源用晚曲丄河Z够阿者乔的巾獄因常區丄埔密帆伽.（）/二廿3=（宀）/%町二73= （D/I（9）麻狒用非X麻卵曲非却（*）/ K1列 （*）/- （、- ）/日（x）/HE）/4 I + r soa 1 uis _ = +（、_） soa - （x - ） uis = （r - ）/维闻+ * soo - r uts = （*）/=，（s）腐困果（*）/“坷(x)7- = (l-x)(| + r)x-=1 * (*-)【-()(-)=(x- )/%(I +、)( I - (x)/=x (t)(、-)/收吊44=（*）/=*（） zA 1璃密舟W X湯坝骼圳（*）/*掴,（*）/-尹（

7、x-）/日U）W）J= （s）-我算-）= （s）/即、- 产=（）/= （Z）琦也測，（*）/列（*,）/= （ J【）/二z（J）t】Q-）= 5）/sr（-T）二（，）/=（I）（9）+ x sou 一 x ins = A()-I)tX=Ct(I + x)(l-x)x = -)/= (、- )/KT磁函嫌(%)力琨樊剧*()/5!（*）=（*）功（）#=稗亏聲ClftfT（卵斗定）為導皇舉、一也 凿d ly X g)/*N岁7V-楮“顶常丁身丁YiH%VilaX3X 3,(*)/-X 北 4/f|（x）/| fit 讷0 V AW 却 dfl褚駐 TY36K ）/? 纏晋材为遥妤&翌仞贵

8、导1 *3（、）/勇困：强对X/.9丁 X海海*（）/梏淀里.0I可； 甥。11实瀛电石血，二1湖=X幫糊三m 二 .1 I卩（9） 乙-S二X%韓更刃僞乙-二X带揃（乙+X） U|+ | = XH1 （g）uis：jk-?- = X 算* I 冷麻函四備尊 呻皿+二*也:通）冬啲=，甲（卩） 一X。 ， v - /G p + xj.二宀华瀛嵬互帕在砂北都掷X甲X+ I + I X+ |厂3 二 %孫堕召0兀彳二*云趙二人印（4）I - *=4 （塚发浏用【-，=，創糊【十/兰甲（I）搏輝更丞理殳火T庭團绦布耳W療堕邰小（9）、（）（$）（I）協母择市耳阮N曾麝困阳帯彩蛔屮蹤幸检市晋（/）戶-

9、0项成料法帮卯例涂野计部#/凍* 染g(9)mC（、*、_ 卜呻，=4尚”!(c+ r) UI+ 1 =(g)P + Z：(0.p)_= A ()= 7T TT-8= 1 + X2 ,X| = 1 ,X2 = 2； y = cM tu = ,X| = 0,电=1;r =以2 ,h = ex，入z = - (1 ) y = in x,| =!，2 =j(2) y = sin 2r.)j =马,无=1.(3) y =/1 +。| 二二占.(4)y = eA = I ,y2 二e.(5)y = e2y)=ey,二 e J% 12,设/( )的定义域/ = 0.1,求卜列各函敎的定义域：(1)/(/)

10、； (2)/(sinx)；(3) /(x + a)(r? 0)； (4) /(a + ) +/(.v-G)(t/ 0).解(I) 0w/| n 顼(2 ) 0 W sin x W 1 n、住! 2tt . (2 + I) ” (3)0Wi + “Wl x e I - . I - / OWx+oWl. , c 1n当0 时OG-rxWl .1 -知；当时.定义域为。1. Ixl It求/I*)!/(*).并作出这两个爾数的图形I . X 0./（X）=/Tg(x)l =/(eA)=If. lx I 1.，g*)与的图形依次如图1 -2.图1-3所示.图I -2 图1314.已知水渠的横断面为等腰

11、梯形,斜角步=40。(图1-4).当过水断面應CO的面 积为定值&时，求湿周L(L=A8 +RC +CD)与水深h之间的函数关系式，并指明其 定义域.解 M 二彼二乂sin 4050 = /* HC + ( HC + 2col 40 /e),得BC =単 _ col 40。力，n所以為 2-cos 40L =+ n .h sin 40 而h0 H-cot 40 A0,此湿周函数的定义域为(0 40。).由 15.设 x()y 平面上冇正方形 /) = (x,y) IOWjc W 1,0 Wy W I 及 f线 2：x + y = ( N(). 若S(表示正方形位于宜线，左下方部分的面积，试求S

12、J)与/之间的函数 关系.解 当0i 时.s（t）二!F.当 I V，w2 时，s（!）= I - y（2 -/）2 = 一 f2 + 2/ -1 ,当 /2 HhS（f） =1.放5（。一 +2/ - I , I c y 2,/ 2.Q 16.求联系华氏温度(用F表示)和扱氏温度(用C表示)的转换公式.并求(1)90叩的等价摄氏温度和-5 C的等价华氏温度：(2)是否存在一个温度值.使华氏温度汁和摄氏温度汁的读数是 样的？如果 存在，那么该温度值是多少？解 设尸.其中叽/，均为常数.因为 =32。相当于。=。/ = 212。相当于C= 100.所以7 *=槌故=1.80+32 或 C =扌（

13、F-32）.(1)F=90. C =刑90-32)52.2。.C =-5。， F = 1. X x ( -5) +32 = 23.(2)设温度値，符合题意.则有/ = 1.8/ +32, I = -40.即华氏-40。恰好也是摄氏-40.G17.已知RS4BC中，直角边AC.RC的长度分别为20、15.动点P成C出发.沿三魚 形边界按CtHtA方向移动3动点Q从C出发,沿三角形边界按C 方向移 动，移动到两动点相遇时为止，且点Q移动的速度是点p移动的速度的2倍.设动点 移动的距漑为xqg 的而积为y.试求)与，之幻的函数关系.解 因为 AC = 20= 15,所以,Ali = /后IF = 2

14、5.Ih 20 2 - 15 2025可知，点P、Q在斜边AH上相讷.令a + 2% = 15 +20 + 25 J!；x = 20.即当x = 2()时点七。相遇.因此所求函數的 定义域为(0.20).(I )当Ov vIO时，点P在CR上点Q在CA上(图1-5).lIllCPI =xJC(M =2x Jlf(2)当1()W*WI5时，点在(/上.点。在汕 上(图1 -6).ICPI =x. 14()1 =2x -20.设点()到。的距髙为奴则h 丨 I = 45 - 2x20 = 25 = 25 ，W A =y(45 -2x).故y7 4 二如(45 -2、)= - 厅十 + I8x.(3

15、)当!5x20时，点户、。都在网上(图1 -7).图15K 1-6PQ = 6() - 3;1时1 =*-15, A(J =2x-20.设点C fl| AH的距离为/，则Lj =IPyi h = - 18x *360.0 x 10,yx2 + 18.x. 】0x15.18x f 360, 15 x 。，存在，、 g N ,当为时，有无穷多项七.使不等式 1七-Ql 0,存在；VeN,.n/V时.不等式lxn-al 成立, 其中c为某个正涕数；对于任意给定的叭N,存在鴨N.,当 5时不等式总50(设NC1),存在.N二当 nN 时，(-I) 4-1M V&,但-1尸，二网极景不存在.II(2)错

16、误.如对如列刀，“二 2火 - 1,keN. u=IIN任给的，。(设丨)，存在海=+，当11斤旦为偶数时，1% -nl=! 0,取0,按假设，存在A住N,.当/时.不C等式I - I 0 .取，“任N + .使丄 .按假设，存在、E N ,当 m时，不等式丄成立. ni色 4设数列|为的一般项上=cns三冋lim = ?求岀M使当N时宀与其 n Z极限之差的绝对值小于正数当=0.001时，求出敎A.解lim x=0.证明如下：因为I I nlT 1I 七-()1 = cos ” n 2 n要使K -。1 、只要丄0(不妨设 ) 9取N二丨! ,则 n c I J当n 时，就冇I叫-01 1(

17、剛，就有0, -01 、时.就有取N(2)因为3” 4 I 327713“ * 1 3赤一I 2八只要即4/1(3) lim妃土M = 1 : (4) limO. 9999 = I.A证(I)因为要使 4-0 =，只要丄，所以Vq0(不妨设 0 (不妨设土).取N =.3h + 丨 3，即 lun厂一3 = V2w + 1 2本题中所釆用的证明方法是：先将1% -al等价变形，然后适当放大，使,容易耍使1 ，.只要=0（不妨设&2/r 在 取,则当 Al时，就有即 lini/zzn（4）因为0. 蟬二9-1 |二一；要使10. 9999 - 1 | ，只妥亡 0（不妨没 N时.就右10.竺二9

18、-ll0,3丹当n .V时，有- al e,从而有II - I 11 W I ”刀-fl I .=o.If 证 因牧列xnUi界做m材 0.使得对一切有I七I W W V 0.由于lim yn =，故对勺=宕，3位当“.、时,就有句二系从而有*-1所以Hrn xnyn =0.匂*对于彼列JxJ .若札LUi 证因为x2；. _ ,W为尤隽）,无“（ J8 ） .证明 f ）.f 8 ）,所以 V，0, ,当 * 知时，有 I如. - al 0,3奶，当“奶时，有lxn-al& =2& - 1 .则ic! K = maxiA, tZ2|，取 N = 2K,则当N 时，若k K kl=lxn =

19、l*2SI -l公,若二2。则k lxn I = lx2X “ I & 从而只要M就冇I七-a I ,即lim xn = a.函数的极限习题1 -3。1.对图1-8所示的函数/(X).求下列极限，如极限*存在.说明理由.(1)(2)i-i(3)X /(/(3)不存在，因为/(O)Q2.对图19所示的函数/().下列陈述中那些是对的.哪些是错的?(1)Hm/(x)不存在:1(6)对每个 xoe ( -1,1), lirn/Cx)存在.解(I)错，lim解尤)存在与否，与/(O)的偵无关.实Jim/(x) =0.(2)对，因为/() =/(0-) =0.(3)lim/(x)的值与/(0)的值无关.

20、I X)(4)错,/(L ) =0,但/(I ) = -1,故不存在.1(5)对，因为/(I) 54/(1*).(6)对.际3.对图I -10所示的函数,下列陈述中哪些是对的，哪些進错的?国 I -10(1)Hb. /(x) =1;, -1 *(2)lim /(x)不存在；(3)=0：i-0(4)lim/(z) =1;-0(5)lim/(x) =1;T(6)lim/(x) =0；I *(7)Iim/(z) =0：1-2-(8)limf(x) =0.-2解(1)对.(2)对，因为当x2时，/(对无定义,/(2*)不存在.阪4.求/(.t) 一：*(*)二 W 当。时的左右扱限，井说明它们在，“时的极限是 否存在.解