高等数学同济第七版课后答案解析.docx
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高等数学同济第七版课后答案解析
高等数学（同济大学数学系第七版）上册
第一章：
函数与极限课后习题答案
映射与函数
5求下师数的自然定乂域:
（5）y=sin、以；
（7）y=arcsin（x-3）;
（9）
y=ln（x+I）；
（6）y=tan（x+I）；
（8）y=/3-x+arctan——；x
（10）**・
（1）3L0=?
e-号,即定义域为[-§，m）,
1-/尹。
=>.t#±it即定义域为（-8,-i）u（-l,i）u（l,+x）
（2）
（3）人乂（）且】-/五0=4=o且|*|w】，即定义域为〔-1,0）U（0,1].
（4）4-x2>0nlrd<2,即定义域为（-2,2）.
（5）腭0,即定义域凯0,+8）.
（6）4+】尹如+-y（AeZ），即定义域为"xeR0.x尹卩+~jir-I.iezj.
（7）I—3IW1=2GW4,即定义域为[2.4].
（X）3-x^（）Jlx#0,即定义域为（-8,0）U（0,3].
（9）z+1>0=>x>-1，即定义域为（-1,+8）.
（10）TO,即定义域为（-8,0）U（0,+8）.
注本题是求術数的《I然定义域，一般方法是先写出构成所求函数的各个简単函数的定义域，再求出这约定义域的交案.即很所求定义域.卜列简单函数及K定义域是经常用到的：
尸銘EC
>=
y=•<>«
y=cotZ；
y=arcfiinlxIC1；
G2.卜列各题中，函数/（x）和g（x）是否相同？
为什么”⑴/U）=lg/,g⑴=21gx；
（2），（X）=X.g（X）=y/x^：
（3）/V）=v^4-x\g（g）=1>.「-】;
（4）f（x）=1x）=sec2X-tan2x.钢
（1）不同•肉为定义域不同.
（2）不同，因为对应法贝J不同・g⑴=7?
={.：
（3）相同、因为定义域、对应法则均相同.
（4）不同、因为定义域不同.
际3.设
求。
（寻）“仔）・9（-骨）顽-2）.并作出函数L）的囲形.
sin—-
4
TT
S,,,Ti
1（、）的,形如图丨・1所示.
円I-I
S4.试让F列陥数在指定区间内的单Wi性:
第一章函故与扱限
（2）j=x+Inn（0,*8）.证（I）y=/（^）=rL-=-丨+宀（-8』）.
I-x1-X
设叫A-»2）-/E）=—^―-=—_^-TT—r>°，
I-^2I-Xl（I-Xj）（I-X2）所以/（）?
）>/（七），即/U）在（-x,1）内单调増加.
（2）y=/（x）=x+Inr.（0.+8）.
设0<%5.因为
/（x3）-/（xI）=x?
+Inx?
-X]-hiX,=x2-Tj+In=>0,
xi
所以/（存）>/（%）,即/（W在（0,+ao）内单调增加.
公5・设/U）为定义在（-/./）内的荷函数.若/（X）在（01）内单调増加，证明/（#）在（-L0）内也单凋増加.
证设-/）-/（-x2）>0.从而/（旳）>/（旳），即/（X〉在《・"0）内也単调增加.
洎6.&卜血所考虑的函救都是定义在区间U）上的.i止明：
（1）两个偶函数的和是偶函数.两个奇函数的和是奇函数；
（2）两个偶函数的乘枳是偶函数，两个奇函数的乘枳是偶函数，偶函数与奇丽数的乗积是奇函数.
证
（1）设J|（X）./2（X）均为偶函数，则乂（-X）”（'），（-X）=6（x）.今/⑴=/|（^）+/i（x）,于是
F（-T）=/|（-X）+/2（F=/|（对+人（x）=F（x）,
枚，（大）为偶函数.
设幻（T）,&2（愛）均为奇函数.则幻（-工）=-们（*）,幻（-X）=-g2（■*）•令。
（]）=g]（））+&《]）,于是
G（-X）=X|（-X）+评2（-X）=■•幻（x）-&2
（1）=f）,
故c（x）为奇函数.
（2）设代3余3均为偶隣数，则4（F=/,（x）/2（-X）=/；（%）.令尸（人）=fl（x）'f2（x）.f是
戶（-X）=/,（-X）・£（-》）=./|也）外（*）=/也）.
故一（欠）为偶函数.
设们
（1）,幻也）均为奇函数，则幻（-X）=-g,（^）.g2（-X）=-幻
（1）・令G（x）=g|3）,"，）.于是
C（-欠）=旳（-2・&2（-大）=[-^^x）][-d2（x）；
:
（z-x）“d（I）
血必汩卩群•源用晚曲丄河Z■■够阿者乔的巾獄因常區丄
埔密帆伽.（》）/二廿3=（宀）/%町二7^3=（D/I（9）
•麻狒用非X麻卵曲非却（*）/K1列・（*）/-■（、-）/日（x）/HE・）/
4I+rsoa■1uis_=[+（、_）soa-（x-）uis=（r-）/
维闻・[+*soo-ruts=（*）/=，（s）
•腐困果¥（*）/“坷
・（x）7-=（l-x）（|+r）x-=
1*•（*-）][【-（」）〕（》-）=（x-）/
%[¥「（I+、）（I-（x）/=x（t）
（、-）/
收吊’4^4=（*）/=*（£）zA~1
•璃密舟WX湯坝骼圳％（*）/*掴
（*）/-尹（x-）/日'U）W「）J
」£=£（s）-我算-）£=（s）/
¥即£、-产£=（》）/=]（Z）
•琦也測，（*）/《列
•（*,）/=（J・【）/二〔z（J）t】Q-）=5・）/
（9）
+xsou一xins=A
（£）
『-I
\）tX=C
t（I+x）（l-x）x=-<
/£=（
s•薜困辱非K瑙咚剧布花折伽'璀也學者麻協‘瑶困部咨所飾由噩坦财-•匕唱
'（X）〃-=・（*）/-=
（x）^-1（^）/=（J）»・（*-）/=（I-）H
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（c+r）UI+1=』（g）
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麻地四印澹困脸4*・g
他=7Bf='曝里面图書（£）
•驟函曲留者文（r）
Z=7府風'涂尝皓圍晋（£）
W二EiBT牖围附剧晋（乙）
冊留.藤吏I®烟舀（I）繩
*邱=4（$）
谢备乌整更專一定
収V=rnax|IK1IJK2I|,则有
1/（*）IW虬xg
即/（*）在X上有界・
QU.在卜列各题中，求由所给两数构成的复合函数，并求这函数分别对应于给定白变最值％和勺的函数值：
TTIT
"2>
7TTT
-8
=1+X2,X|=1,X2=2；y=cMtu=,X|=0,电=1;
r=以2,h=e'x
，入z=->•
（1）y=»in~x,>|=!
，，2=j・
（2）y=sin2r.）j=马,无=1.
（3）y=\/1+>。
|二二占.
（4）y=eA=I,y2二e.
（5）y=e2\y）=e\y,二eJ
%12,设/（«）的定义域/>=[0.1],求卜•列各函敎的定义域：
（1）/（/）；
（2）/（sinx）；
（3）/（x+a）（r?
>0）；（4）/（a+«）+/（.v-G）（t/>0）.
解（I）0w/<|n顼
（2）0WsinxW1n、住!
2〃tt.（2〃+I）”]
（3）0Wi+“WlxeI-«.I-«/•
{OWx+oWl.■,c1
n当0时
OG-rxWl・
".1-知；当时.定义域为。
1.Ixl<1.
（）,Ixl=1,青（x）*■，
-I,Ixl>It
求/I"*）]«!
<[/（*）].并作出这两个爾数的图形•
I.X<0.
/（X）=
/Tg（x）l=/（eA）=
I
f.lxI<1t1,1x1=1,
e-'.Irl>1.
，g*）]与的图形依次如图1-2.图1-3所示.
图I-2图1・3
^14.已知水渠的横断面为等腰梯形,斜角步=40。
（图1-4）.当过水断面應CO的面积为定值&时，求湿周L（L=A8+RC+CD）与水深h之间的函数关系式，并指明其定义域.
解M二彼二—乂
sin40
50=—/*[HC+（HC+2col40°•/e）],
得
BC=単_col40。
・力，
n
所以
為2-cos40°
L=——+n.
hsin40°'
而h>0H^-cot40°•A>0,«此湿周函数的定义域为（040。
）.
由15.设x（）y平面上冇正方形/）={（x,y）IOWjcW1,0WyWI}及f[线2：
x+y=£（£N（））.若S（〃表示正方形〃位于宜线，左下方部分的面积，试求SJ）与/之间的函数关系.
解当0i时.s（t）二!
F.
当IV，w2时，s（!
）=I-y（2-/）2=一£f2+2/-1,
当/>2HhS（f）=1.
放
5（。
一+2/-I,Icy2,
/>2.
Q16.求联系华氏温度（用F表示）和扱氏温度（用C表示）的转换公式.并求
（1）90叩的等价摄氏温度和-5°C的等价华氏温度：
（2）是否存在一个温度值.使华氏温度汁和摄氏温度汁的读数是样的？
如果存在，那么该温度值是多少？
解设尸.其中叽/，均为常数.
因为〃=32。
相当于。
=。
。
/=212。
相当于C=100°.所以
7"*=槌
故〃=1.80+32或C=扌（F-32）.
（1）F=90°.C=刑90-32）52.2。
.
C=-5。
，F=1.Xx（-5）+32=23°.
（2）设温度値，符合题意.则有
/=1.8/+32,I=-40.
即华氏-40。
恰好也是摄氏-40°.
G17.已知RS4BC中，直角边AC.RC的长度分别为20、15.动点P成C出发.沿三魚形边界按CtHtA方向移动3动点Q从C出发,沿三角形边界按C方向移动，移动到两动点相遇时为止，且点Q移动的速度是点p移动的速度的2倍.设动点〃移动的距漑为xqg的而积为y.试求）与，之幻的函数关系.
解因为AC=20=15,所以,Ali=/^后IF=25.
Ih20<2-15<20・25可知，点P、Q在斜边AH上相讷.
令a+2%=15+20+25J!
；x=20.即当x=2（）时•点七。
相遇.因此•所求函數的定义域为（0.20）.
（I）当Ov—vIO时，点P在CR上•点Q在CA上（图1-5）.
lIllCPI=xJC（M=2xJlf
（2）当1（）W*WI5时，点〃在（/上.点。
在汕上（图1-6）.
ICPI=x.14（）1=2x-20.
设点（）到。
。
的距髙为奴则
h丨I=45-2x
20=25=25，
WA=y（45-2x）.故
y
74■
二如（45-2、）=-厅十+I8x.
（3）当!
5都在网上（图1-7）.
图1・5
K1-6
\PQ\=6（）-3;
1时1=*-15,\A（J\=2x-20.
设点Cfl|AH的距离为/，则
L・
j=~IPyi•h'=-18x*360.
0yx2+18.x.】0〈x<15.
18xf360,15%IX
利用以卜美国人II普•在局提供的世：
界人口■据①以及指数模郴来推測I2020年的世界人口.
Iii県世界人界散懈是指何年」中的人口人.
年份
人口数（百万）
年増长率（凭）
2008
..-
6708.2
――-
1.166
2009
6786.4
1.140
2010
6863.8
1121
2011
6940.7
1.107
2012
7017.5
1.107
2013
7095.2
解由表中第3列，猜想2008年后世界人口的年增长率是1.1%.于是，在2008年后的第？
年，tft界人口将是
P（/）=6708.2x（l.Oll）^百万）.
2020年对应£=12,于是
p（12）=6708.2x（1.011）”。
7649.3（百万）=76（亿）.
即推测2020年的世界人口约为76亿.
数列的极限
习题］_2
收敛，命（-l）n—
—n
（3）
收敛,削（2+.）=2.
际1.下列任題中，哪些数列收敛.哪些数列发散？
对收敛数列.通过观察的变化趋势•写出它们的极限：
⑴偵卜
⑵｛（f卜
（3）{2+甘；
⑷｛;:
二卜
（5）{〃（-1）”};
⑹&卜
⑺｛「+｝;
（8）卩（T）”+U甲}•
解⑴收敛好。
・
0.
收敘，1而土4
（5）
n+1
|«（-1）"|发散.
（6）
-｝发散.
收敛/mb丁=0.
（7）｛/1-
（8）｛[（U]辛）发散.
&2.（I）数列的有界性是数列收敛的什么条件？
（2）无界数列是否一定发散？
（3）有羿数列是否一定收敛?
解（I）必要条件.
（2）一定发散.
（3）未必一定收敛，如数列t（-Dn!
有界，但它是发散的.
S3.卜•列关于数列M“的极限是"的定义，哪些是对的，哪些是错的？
如果是对的，试说明理由；如果是错的，试给岀一个反例.
（1）对于任意给定的£〉0,存在NeN.,当〃〉A时，不等式％-a”成立；
（2）于任意给定的£>。
，存在，、‘gN,,当〃〉为时，有无穷多项七.使不等式1七-Ql<£成立；
（3）对于任恵给定的£>0,存在；VeN,.^n>/V时.不等式lxn-al成立,其中c为某个正涕数；
⑴对于任意给定的叭N,,存在鴨N.,当〃5时•不等式总5<
成立.
解（I）错误.如对数列｛（-1）”+：
｝,“二1.対任给的£>0（设NC1）,存在.N二
当n>N时，（-I）"4
〃-1M'V&,但-1尸，二网极景不存在.
II
（2）错误.如对如列
刀，
“二2火-1,
keN..u=
II
N任给的，>。
（设£<丨），存在海=[+]，当11〉斤旦〃为偶数时，1%-nl=!
<£成立,（H|xn；的极限不存在.
（3〉正确.对任给的£>0,取>0,按假设，存在A住N,.当">/¥时.不
C
等式I-"I（4）正确.对任给的£>0.取，“任N+.使丄<£.按假设，存在、EN■,当〃〉\m
时，不等式《
丄成立.ni
色•4・设数列|为」的一般项上=—cns三冋lim=?
求岀M使当〃〉N时宀与其nZ
极限之差的绝对值小于正数当£=0.001时，求出敎A'.
解limx„=0.证明如下：
因为
I…InlT1
I七-（）1=—cos———•
”n2n
要使K-。
1<£、只要丄<£,即〃A丄所以V>0（不妨设£<\）9取N二丨!
[,则ncI£J
当n时，就冇I叫-01当6=0.ooi时，取n=|v]=1°°°-即若£=0-0。
1，只要〃>1（剛，就有
0,-01<0.001.
Q-5.根据数列极限的定义证明:
⑴略斗
（2）lim；"*—；
.则当〃>、时.就有
取N
（2）因为
3”4I3
2771
3“*13
赤一］I2
<八只要即
4/1
（3）lim妃土M=1:
（4）limO.999^9=I.
■••■A
证（I）因为要•使4-0=』<，・只要〃〉丄，所以Vq0（不妨设^V&,即lim—=0.
一〃・
3〃+1
27+1
注
由放大后的量小于8的不等式中求出.这在按定义证明做限的间放大是经常采用的.
（3）当«=0时.所给数列为常数列，显然有此结论.以下设。
*0.因为
[招，则当〃〉A时.就有
所以戏>0（不妨设£<土）.取N=
......3h+丨3
<£，即lun厂一3=V
•・"2w+12
本题中所釆用的证明方法是：
先将1%-al等价变形，然后适当放大，使',容易
耍使
1<，.只要=<£.1!
卩〃所以V，>0（不妨设&<
2/r在[
取
则当〃Al时，就有
即lini/z±z
■n
（4）因为0.蟬二9-1|二一；；•要使10.999^9-1|<，，只妥亡<八即
10；t10
c，所以臨>0（不妨没£N时.就右10.竺二9-ll<
&.即1血0.999-9=1.
洛飞.若lim"=a.i（E明limI,"=lai.并举例i兑明：
如果数列i1叫1｝右极限，但数列|七丨未必有极限.
证因为limy=",所以仆>0,3丹•当n>.V时，有-alII"-I"11WI”刀-flI但由limIunI=IaI.并不能推得limun=a.例如.考虑数列，（-1）"；,虽
-1）"=I.但1（・I）”｝没冇极限.
ST7.设数列*」有界，又limy.xOjiE明：
1而七>.=o.
•If・■—■
证因牧列]xnUi界做m材>0.使得对一切〃有I七IWWV£>0.由于limyn=
°，故对勺=宕>°，3位当“〉.、时,就有"〈句二系从而有
*-°1
所以
Hrnxnyn=0.
匂*对于彼列JxJ.若札・L〃Ui证因为x2；._,
W为尤隽
）,无“—♦（J8）.证明f）.
f8）,所以V，>0,,当*>知时，有I如.]-alJ8），所以对上述w>0,3奶，当“奶时，有lxn-al〈&
〃=2&-1.则
ic!
K=maxiA,tZ2|，取N=2K,则当〃〉N时，若
k>K^—>kl=^lxn=l*2SI-〃l《公,
若〃二2。
•则
k>lxn■"I=lx2X■“I<&从而只要〃〉M就冇I七-aI<£,即limxn=a.
函数的极限
习题1-3
。
1.对图1-8所示的函数/（X）.求下列极限，如极限*存在.说明理由.
（1）
（2）
i-i
（3）
X/（
/（
（3）不存在，因为/（O'）
Q2.对图1・9所示的函数/（«）.下列陈述中那些是对的.哪些是错的?
（1）Hm/（x）不存在:
<-0
（2）lim/（x）=0；
0
（3）Hm/（x）=1：
（4）lim/（x）=0；
!
*•!
（5）lim/（x）不存在：
•>1
（6）对每个xoe（-1,1）,lirn/Cx）存在.
解（I）错，lim解尤）存在与否，与/（O）的偵无关.■实±Jim/（x）=0.
（2）对，因为/（（）'）=/（0-）=0.
（3）lim/（x）的值与/（0）的值无关.
IX）
（4）错,/（L）=0,但/（I）=-1,故不存在.
・—1
（5）对，因为/（I"）54/（1*）.
（6）对.
际3.对图I-10所示的函数,下列陈述中哪些是对的，哪些進错的?
国I-10
（1）Hb./（x）=1;
—-1*
（2）lim/（x）不存在；
（3）=0：
i-0
（4）lim/（z）=1;
<-•0
（5）lim/（x）=1;
■T
（6）lim/（x）=0；
«—I*
（7）Iim/（z）=0：
1-2-
（8）limf（x）=0.
»-2
解
（1）对.
（2）对，因为当x<-I时,/S）无定义.
（3）对，因为/（（）-）=/（0_）=0
（4）错』im/（x）的值4/（0）的值无关.
l・
（5）对.
（6）对.
（7）对.
（8）错,用为当x>2时，/（对无定义,/（2*）不存在.
阪4.求/（.t）一：
*（*）二W当—。
时的左'右扱限，井说明它们在，“时的极限是否存在.
解
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