上海市理数卷文档版有答案普通高等学校招生统一考试.docx

1、上海市理数卷文档版有答案普通高等学校招生统一考试20XX年普通高等学校招生全国统一考试上海 数学试卷（理工农医类）2一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分1设全集$rmU = rmR$若集合$rm A = left 1,2,3,4 right$，$rm B = left xleft| 2 le x le 3 right. right$，则2若复数$z$满足$3z + bar z = 1 + i$，其中$i$为虚数单位，则$z = $3若线性方程组的增广矩阵为left( beginarray*20c2&3&c_10&

2、1&c_2endarray right)、解为$left beginarraylx = 3y = 5endarray right.$，则$c_1 - c_2 = $4若正三棱柱的所有棱长均为$a$，且其体积为$16sqrt 3 $，则$a = $5抛物线$y2 = 2px$（$p 0$）上的动点$rmQ$到焦点的距离的最小值为$1$，则$p = $6若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为$2pi $，则其母线与轴的夹角的大小为7.方程$log _2left( 9x - 1 - 5 right) = log _2left( 3x - 1 - 2 right) + 2$的解为8.在报名的$3$名男教

3、师和$6$名女教师中，选取$5$人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）9.已知点$rm P$和$rmQ$的横坐标相同，$rm P$的纵坐标是$rmQ$的纵坐标的$2$倍，$rm P$和$rmQ$的轨迹分别为双曲线$rmC_1$和$rmC_2$若$rmC_1$的渐近线方程为$y = pm sqrt 3 x$，则$rmC_2$的渐近线方程为10.设$f - 1left( x right)$为$fleft( x right) = 2x - 2 + fracx2$，$x in left 0,2 right$的反函数，则$y = fleft( x right) +

4、 f - 1left( x right)$的最大值为11.在$left( 1 + x + frac1x2015 right)10$的展开式中，$x2$项的系数为（结果用数值表示）12.赌博有陷阱某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有$1$，$2$，$3$，$4$，$5$的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的$1.4$倍作为其奖金（单位：元）若随机变量$xi _1$和$xi _2$分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则$rm Exi _1 - rm Exi _2 = $（元）13.已知函数若存在$x_1$，$x

5、_2$，$ cdot cdot cdot $，$x_m$满足$0 le x_1 x_2 cdot cdot cdot x_m le 6pi $，且$left| fleft( x_1 right) - fleft( x_2 right) right| + left| fleft( x_2 right) - fleft( x_3 right) right| + cdot cdot cdot + left| fleft( x_n - 1 right) - fleft( x_n right) right| = 12$（$m ge 2$，$m in rm N * $），则$m$的最小值为14.在锐角三角

6、形$rm Arm BrmC$中，$tan rm A = frac12$，$rmD$为边$rm BrmC$上的点，$Delta rm Arm BrmD$与$Delta rm ArmCD$的面积分别为$2$和$4$过$rmD$作$rmDrm E bot rm Arm B$于$rm E$，$rmDF bot rm ArmC$于$rmF$，则$overrightarrow rmDrm E cdot overrightarrow rmDF = $1二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分15设$z_1

7、$，$z_2 in rmC$，则“$z_1$、$z_2$中至少有一个数是虚数”是“$z_1 - z_2$是虚数”的（ ）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件16已知点$rm A$的坐标为$left( 4sqrt 3 ,1 right)$，将$rm Orm A$绕坐标原点$rm O$逆时针旋转$fracpi 3$至$rm Orm B$，则点$rm B$的纵坐标为（ ）Afrac3sqrt 3 2Bfrac5sqrt 3 2Cfrac112Dfrac13217记方程：$x2 + a_1x + 1 = 0$，方程：$x2 + a_2x + 2 = 0$，方程：$x2 +

8、a_3x + 4 = 0$，其中$a_1$，$a_2$，$a_3$是正实数当$a_1$，$a_2$，$a_3$成等比数列时，下列选项中，能推出方程无实根的是（ ）A方程有实根，且有实根B方程有实根，且无实根C方程无实根，且有实根D方程无实根，且无实根18设$rm P_nleft( x_n,y_n right)$是直线$2x - y = fracnn + 1$（$n in rm N * $）与圆$x2 + y2 = 2$在第一象限的交点，则极限$mathop lim limits_n to infty fracy_n - 1x_n - 1 = $（ ）A - 1B - frac12C1D2上海数

9、学（理工农医类）参考答案A一、（第1题至第14题）1.left left. 1,4 right right.2.frac14 + frac12i3.164.4 5.2 6.fracpi 37.2 8.120 9. beginarraylyy = pm fracsqrt 3 2xendarray10.4 11.45 12.0.2 13.8 14. - frac161515.B16.D17.B18.A二、（第15至18题）题号15161718代号BDBA三、（第19至23题）19. 解：如图，以D为原点建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为A1(2，0，1)、C1(0，2，1)、E(2，1，0)、

10、F（1，2,0）、C（0、2、0）、D（0,0,1）.因为overrightarrow A_1C_1 = ( - 2,2,0)，overrightarrow EF = ( - 1,1,0)，所以overrightarrow EF /overrightarrow A_1C_1 ，因此直线A_1C与EF共面，即，、四点共面.设平面A_1C_1EF的法向量为overrightarrow n = (u,v,w)，则overrightarrow n overrightarrow EF ，overrightarrow n overrightarrow FC_1 ，又overrightarrow EF =

11、( - 1,1,0)，overrightarrow FC_1 =( - 1,0,1),故取u=1，则平面A_1C_1EF的一个法向量overrightarrow n =(1,1,1).又overrightarrow CD_1 = (0, - 2,1),故fracoverrightarrow CD_1 cdot overrightarrow n left| overrightarrow CD _1 right| cdot |overrightarrow n | = - fracsqrt 15 15因此直线与平面所成的角的大小arcsin fracsqrt 15 15.20. 解：（1）t_1 =

12、 frac38，设乙到C时甲所在地为D，则AD=frac158千米。在ACD中，CD2 = AC2 + AD2 - 2AC cdot ADcos A,所以f(t_1) = CD = frac38sqrt 41 （千米）。（2）甲到达B用时1小时；乙到达C用时frac38小时，从A到B总用时frac78小时。当t_1 = frac38 le t le frac78时，f(t)；当frac78 le t le 1时，f(t)=5-5t.所以因为f(t)在left frac38,frac78 right上的最大值是f(frac38) = frac38sqrt 41 ，f(t)在left frac78

13、,1 right上的最大值是f(frac78) = frac58，所以f(t)在left frac38,1 right上的最大值是frac38sqrt 41 ，不超过3.21.证：（1）直线l_1:y_1x - x_1y = 0，点C到的距离d = fracleft| y_1x_2 - x_1y_2 right|sqrt x_12 + y_12 、，所以.（2）设l_1:y = kx，则l_2:y = frac12kx，设A(x_1,y_1),C(x_2,y_2).由同理由（1），Srm = 2left| x_1y_2 - x_2y_1 right| = 2left| fracrmx_1rmx

14、_22rmk + x_2 cdot rmkrmx_1 right|rm = frac2rmk2 + 1left| rmk right| cdot left| rmx_1rmx_2 right| =整理得S = sqrt 2 .22.解（1）由于b_n + 1 - b_n = 3，得a_n + 1 - a_n = 6，所以left a_n right是首项为1，公差为6的等差数列，故left a_n right的通项公式为a_n = 6n - 5，n in N*.证（2），得a_n + 1 - 2b_n + 1 = a_n - 2b_n.所以left a_n - 2b_n right为常数列，a

15、_n - 2b_n = a_1 - 2b_1，即a_n = 2b_n + a_1 - 2b_1.因为a_n_0 ge a_n，n in N*，所以.故left rmb_n right是第rmn_0项是最大项。解：（3）因为rmb_n = lambda n,所以a_n + 1 - a_n = 2(lambda n + 1 - lambda n)当n ge 2时，a_n = (a_n - a_n - 1) + (a_n - 1 - a_n - 2) + cdots + (a_2 - a_1) + a_1 =2(lambda n - lambda n - 1) + 2(lambda n - 1 -

16、lambda n - 2) + cdots + 2(lambda 2 - lambda ) + lambda =2lambda n - lambda .当n=1时，a_1 = lambda ，符合上式.所以a_n = 2lambda n - lambda .因为lambda - lambda ,a_2n - 1 = - 2left| lambda right|2n - 1 - lambda - lambda .当lambda - 1时，由指数函数的单调性知，left a_n right不存在最大、最小值；当lambda = - 1时，left a_n right的最大值为3，最小值为-1，而f

17、rac3 - 1 notin ( - 2,2); - 1 lambda 0时，由指数函数的单调性知，left a_n right的最大值M = a_2 = 2lambda 2 - lambda ，最小值m = a_1 = lambda ，由.综上，lambda 的取值范围是( - frac12,0).23证明（1）易见h(x) = x + sin fracx3的定义域为R,对任意x in R,h(x + 6pi ) = x + 6pi + sin fracx + 6pi 3 = h(x) + 6pi ，所以cos h(x + 6pi ) = cos (h(x) + 6pi ) = cos h(

18、x)，即h(x)是以6pi 为余弦周期的余弦周期函数。（2）由于f(x)的值域为R，所以对任意c in left f(a),f(b) right，c都是一个函数值，即有x_0 in R，使得f(x_0) = c。 若x_0 a，则由f(x)单调递增得到c = f(x_0) f(a)，与c in left f(a),f(b) right矛盾，所以.x_0 ge a，同理可证x_0 le b.故存在x_0 in left a,b right使得f(x_0) = c.（3）若u_0为cos f(x) = 1在left 0,T right上的解，则, ,cos f(u_0 + T) = cos f(u

19、_0) = 1,即u_0 + T为方程cos f(x) = 1在left T,2T right上的解.同理，若u_0 + T为方程cos f(x) = 1在left T,2T right上的解.则u_0为该方程在left 0,T right上的解.以下证明最后一部分结论.由（2）所证知存在0 = x_0 x_1 x_2 x_3 x_4 = T,使得f(x_rmi)rm = ipi ，i=0,1,2,3,4.而left rmx_rmi,rmx_rmi + 1 right是函数cos f(x)的单调区间，i=0,1,2,3.与之前类似地可以证明：u_0是cos f(x) = - 1在left 0,

20、T right上的解当且仅当u_0 + T是cos f(x) = - 1在left T,2T right上的解.从而cos f(x) = pm 1在left 0,T right与left T,2T right上的解的个数相同.故f(x_i + T) = f(rmx_i) + 4pi ,i = 0,1,2,3,4.对于x in left 0,x_1 right,f(x) in left 0,pi right,f(x + T) in left 4pi ,5pi right.而类似地,当x in left rmx_i,x_i + 1 right，i=1,2,3时，有f(x + T) = f(x) + f(T)结论成立.