上海市理数卷文档版有答案普通高等学校招生统一考试.docx
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上海市理数卷文档版有答案普通高等学校招生统一考试
20XX年普通高等学校招生全国统一考试
上海数学试卷（理工农医类）
╠2一、填空题（本大题共有14题，满分56分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．
1．设全集${\rm{U}}={\rm{R}}$．若集合${\rmA}=\left\{{1,2,3,4}\right\}$，${\rmB}=\left\{{x\left|{2\lex\le3}\right.}\right\}$，则
．
2．若复数$z$满足$3z+\barz=1+i$，其中$i$为虚数单位，则$z=$．
3．若线性方程组的增广矩阵为\[\left（{\begin{array}{*{20}{c}}
2&3&{{c_1}}\\
0&1&{{c_2}}
\end{array}}\right）\]、解为$\left\{\begin{array}{l}
x=3\\
y=5
\end{array}\right.$，则${c_1}-{c_2}=$．
4．若正三棱柱的所有棱长均为$a$，且其体积为$16\sqrt3$，则$a=$．
5．抛物线${y^2}=2px$（$p>0$）上的动点${\rm{Q}}$到焦点的距离的最小值为$1$，则$p=$．
6．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为$2\pi$，则其母线与轴的夹角的大小为．
7.方程${\log_2}\left（{{9^{x-1}}-5}\right）={\log_2}\left（{{3^{x-1}}-2}\right）+2$的解为．
8.在报名的$3$名男教师和$6$名女教师中，选取$5$人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．
9.已知点${\rmP}$和${\rm{Q}}$的横坐标相同，${\rmP}$的纵坐标是${\rm{Q}}$的纵坐标的$2$倍，${\rmP}$和${\rm{Q}}$的轨迹分别为双曲线${{\rm{C}}_1}$和${{\rm{C}}_2}$．若${{\rm{C}}_1}$的渐近线方程为$y=\pm\sqrt3x$，则${{\rm{C}}_2}$的渐近线方程为．
10.设${f^{-1}}\left（x\right）$为$f\left（x\right）={2^{x-2}}+\frac{x}{2}$，$x\in\left[{0,2}\right]$的反函数，则$y=f\left（x\right）+{f^{-1}}\left（x\right）$的最大值为．
11.在${\left（{1+x+\frac{1}{{{x^{2015}}}}}\right）^{10}}$的展开式中，${x^2}$项的系数为（结果用数值表示）．
12.赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：
赌客先在标记有$1$，$2$，$3$，$4$，$5$的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：
元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的$1.4$倍作为其奖金（单位：
元）．若随机变量${\xi_1}$和${\xi_2}$分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则${\rmE}{\xi_1}-{\rmE}{\xi_2}=$（元）．
13.已知函数
．若存在${x_1}$，${x_2}$，$\cdot\cdot\cdot$，${x_m}$满足$0\le{x_1}<{x_2}<\cdot\cdot\cdot<{x_m}\le6\pi$，且
$\left|{f\left（{{x_1}}\right）-f\left（{{x_2}}\right）}\right|+\left|{f\left（{{x_2}}\right）-f\left（{{x_3}}\right）}\right|+\cdot\cdot\cdot+\left|{f\left（{{x_{n-1}}}\right）-f\left（{{x_n}}\right）}\right|=12$（$m\ge2$，$m\in{{\rmN}^*}$），则$m$的最小值
为．
14.在锐角三角形${\rmA}{\rmB}{\rm{C}}$中，$\tan{\rmA}=\frac{1}{2}$，${\rm{D}}$为边${\rmB}{\rm{C}}$上的点，$\Delta{\rmA}{\rmB}{\rm{D}}$与$\Delta{\rmA}{\rm{CD}}$的面积分别为$2$和$4$．过${\rm{D}}$作${\rm{D}}{\rmE}\bot{\rmA}{\rmB}$于${\rmE}$，${\rm{DF}}\bot{\rmA}{\rm{C}}$于${\rm{F}}$，则$\overrightarrow{{\rm{D}}{\rmE}}\cdot\overrightarrow{{\rm{DF}}}=$．
╣╠1二、选择题（本大题共有4题，满分20分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．设${z_1}$，${z_2}\in{\rm{C}}$，则“${z_1}$、${z_2}$中至少有一个数是虚数”是“${z_1}-{z_2}$是虚数”的（）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
16．已知点${\rmA}$的坐标为$\left（{4\sqrt3,1}\right）$，将${\rmO}{\rmA}$绕坐标原点${\rmO}$逆时针旋转$\frac{\pi}{3}$至${\rmO}{\rmB}$，则点${\rmB}$的纵坐标为（）
A．\[\frac{{3\sqrt3}}{2}\]B．\[\frac{{5\sqrt3}}{2}\]C．\[\frac{{11}}{2}\]D．\[\frac{{13}}{2}\]
17．记方程
：
${x^2}+{a_1}x+1=0$，方程
：
${x^2}+{a_2}x+2=0$，方程
：
${x^2}+{a_3}x+4=0$，其中${a_1}$，${a_2}$，${a_3}$是正实数．当${a_1}$，${a_2}$，${a_3}$成等比数列时，下列选项中，能推出方程
无实根的是（）
A．方程
有实根，且
有实根B．方程
有实根，且
无实根
C．方程
无实根，且
有实根D．方程
无实根，且
无实根
18．设${{\rmP}_n}\left（{{x_n},{y_n}}\right）$是直线$2x-y=\frac{n}{{n+1}}$（$n\in{{\rmN}^*}$）与圆${x^2}+{y^2}=2$在第一象限的交点，则极限$\mathop{\lim}\limits_{n\to\infty}\frac{{{y_n}-1}}{{{x_n}-1}}=$（）
A．\[-1\]B．\[-\frac{1}{2}\]C．\[1\]D．\[2\]
╣
上海数学（理工农医类）参考答案
╠A一、（第1题至第14题）
1.\[\left\{{\left.{1,4}\right\}}\right.\]
2.\[\frac{1}{4}+\frac{1}{2}i\]
3.16
4.4
5.2
6.\[\frac{\pi}{3}\]
7.2
8.120
9.\[\begin{array}{l}
y\\
y=\pm\frac{{\sqrt3}}{2}x
\end{array}\]
10.4
11.45
12.0.2
13.8
14.\[-\frac{{16}}{{15}}\]
15.B
16.D
17.B
18.A
╣
二、（第15至18题）
题号
15
16
17
18
代号
B
D
B
A
三、（第19至23题）
19.解：
如图，以D为原点建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为A1（2，0，1）、C1（0，2，1）、E（2，1，0）、F（1，2,0）、C（0、2、0）、D（0,0,1）.
因为\[\overrightarrow{{A_1}{C_1}}=（-2,2,0）\]，\[\overrightarrow{EF}=（-1,1,0）\]，
所以\[\overrightarrow{EF}//\overrightarrow{{A_1}{C_1}}\]，因此直线\[{A_1}C\]与\[EF\]共面，
即，
、
、
、
四点共面.
设平面\[{A_1}{C_1}EF\]的法向量为\[\overrightarrown=（u,v,w）\]，
则\[\overrightarrown\]⊥\[\overrightarrow{EF}\]，\[\overrightarrown\]⊥\[\overrightarrow{F{C_1}}\]，
又\[\overrightarrow{EF}=（-1,1,0）\]，\[\overrightarrow{F{C_1}}\]=\[（-1,0,1）\],
故
取u=1，则平面\[{A_1}{C_1}EF\]的一个法向量\[\overrightarrown\]=\[（1,1,1）\].又\[\overrightarrow{C{D_1}}=（0,-2,1）\],
故\[\frac{{\overrightarrow{C{D_1}}\cdot\overrightarrown}}{{\left|{{{\overrightarrow{CD}}_1}}\right|\cdot|\overrightarrown|}}=-\frac{{\sqrt{15}}}{{15}}\]
因此直线
与平面
所成的角的大小\[\arcsin\frac{{\sqrt{15}}}{{15}}\].
20.解：
（1）\[{t_1}=\frac{3}{8}\]，
设乙到C时甲所在地为D，则AD=\[\frac{{15}}{8}\]千米。
在△ACD中，\[C{D^2}=A{C^2}+A{D^2}-2AC\cdotAD\cosA\],
所以\[f（{t_1}）=CD=\frac{3}{8}\sqrt{41}\]（千米）。
（2）甲到达B用时1小时；乙到达C用时\[\frac{3}{8}\]小时，从A到B总用时\[\frac{7}{8}\]小时。
当\[{t_1}=\frac{3}{8}\let\le\frac{7}{8}\]时，
\[f（t）\]
；
当\[\frac{7}{8}\let\le1\]时，\[f（t）\]=5-5t.
所以
因为\[f（t）\]在\[\left[{\frac{3}{8},\frac{7}{8}}\right]\]上的最大值是\[f（\frac{3}{8}）=\frac{3}{8}\sqrt{41}\]，\[f（t）\]在\[\left[{\frac{7}{8},1}\right]\]上的最大值是\[f（\frac{7}{8}）=\frac{5}{8}\]，所以\[f（t）\]在\[\left[{\frac{3}{8},1}\right]\]上的最大值是\[\frac{3}{8}\sqrt{41}\]，不超过3.
21.证：
（1）直线\[{l_1}:
{y_1}x-{x_1}y=0\]，点C到
的距离\[d=\frac{{\left|{{y_1}{x_2}-{x_1}{y_2}}\right|}}{{\sqrt{{x_1}^2+{y_1}^2}}}\]、
，
所以
.
（2）设\[{l_1}:
y=kx\]，则\[{l_2}:
y=\frac{1}{{2k}}x\]，设\[A（{x_1},{y_1}）,C（{x_2},{y_2}）\].
由
同理
由
（1），
\[S{\rm{=}}2\left|{{x_1}{y_2}-{x_2}{y_1}}\right|=2\left|{\frac{{{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2}}}{{2{\rm{k}}}}+{x_2}\cdot{\rm{k}}{{\rm{x}}_1}}\right|{\rm{=}}\frac{{2{{\rm{k}}^2}+1}}{{\left|{\rm{k}}\right|}}\cdot\left|{{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2}}\right|\]
=
整理得\[S=\sqrt2\].
22.解
（1）由于\[{b_{n+1}}-{b_n}=3\]，得\[{a_{n+1}}-{a_n}=6\]，
所以\[\left\{{{a_n}}\right\}\]是首项为1，公差为6的等差数列，
故\[\left\{{{a_n}}\right\}\]的通项公式为\[{a_n}=6n-5\]，\[n\in{N^*}\].
证
（2）
，得\[{a_{n+1}}-2{b_{n+1}}={a_n}-2{b_n}\].
所以\[\left\{{{a_n}-2{b_n}}\right\}\]为常数列，\[{a_n}-2{b_n}={a_1}-2{b_1}\]，即\[{a_n}=2{b_n}+{a_1}-2{b_1}.\]
因为\[{a_{{n_0}}}\ge{a_n}\]，\[n\in{N^*}\]，所以
.
故\[\left\{{{{\rm{b}}_n}}\right\}\]是第\[{{\rm{n}}_0}\]项是最大项。
解：
（3）因为\[{{\rm{b}}_n}={\lambda^n},\]所以\[{a_{n+1}}-{a_n}=2（{\lambda^{n+1}}-{\lambda^n}）\]
当\[n\ge2\]时，\[{a_n}=（{a_n}-{a_{n-1}}）+（{a_{n-1}}-{a_{n-2}}）+\cdots+（{a_2}-{a_1}）+{a_1}\]
=\[2（{\lambda^n}-{\lambda^{n-1}}）+2（{\lambda^{n-1}}-{\lambda^{n-2}}）+\cdots+2（{\lambda^2}-\lambda）+\lambda\]
=\[2{\lambda^n}-\lambda\].
当n=1时，\[{a_1}=\lambda\]，符合上式.
所以\[{a_n}=2{\lambda^n}-\lambda\].
因为\[\lambda<0\]，所以\[{a_{2n}}=2{\left|\lambda\right|^{2n}}-\lambda>-\lambda,{a_{2n-1}}=-2{\left|\lambda\right|^{2n-1}}-\lambda<-\lambda.\]
①当\[\lambda<-1\]时，由指数函数的单调性知，\[\left\{{{a_n}}\right\}\]不存在最大、最小值；
②当\[\lambda=-1\]时，\[\left\{{{a_n}}\right\}\]的最大值为3，最小值为-1，而\[\frac{3}{{-1}}\notin（-2,2）;\]
③\[-1<\lambda<0\]时，由指数函数的单调性知，\[\left\{{{a_n}}\right\}\]的最大值\[M={a_2}=2{\lambda^2}-\lambda\]，最小值\[m={a_1}=\lambda\]，由
.
综上，\[\lambda\]的取值范围是\[（-\frac{1}{2},0）\].
23证明
（1）易见\[h（x）=x+\sin\frac{x}{3}\]的定义域为R,
对任意\[x\inR,h（x+6\pi）=x+6\pi+\sin\frac{{x+6\pi}}{3}=h（x）+6\pi\]，
所以\[\cosh（x+6\pi）=\cos（h（x）+6\pi）=\cosh（x）\]，
即\[h（x）\]是以\[6\pi\]为余弦周期的余弦周期函数。
（2）由于\[f（x）\]的值域为R，所以对任意\[c\in\left[{f（a）,f（b）}\right]\]，c都是一个函数值，即有
\[{x_0}\inR\]，使得\[f（{x_0}）=c\]。
若\[{x_0}以.\[{x_0}\gea\]，同理可证\[{x_0}\leb\].故存在\[{x_0}\in\left[{a,b}\right]\]使得\[f（{x_0}）=c\].
（3）若\[{u_0}\]为\[\cosf（x）=1\]在\[\left[{0,T}\right]\]上的解，则,
\[\cosf（{u_0}+T）=\cosf（{u_0}）=1\],即\[{u_0}+T\]为方程\[\cosf（x）=1\]在\[\left[{T,2T}\right]\]上的解.
同理，若\[{u_0}+T\]为方程\[\cosf（x）=1\]在\[\left[{T,2T}\right]\]上的解.则\[{u_0}\]为该方程在\[\left[{0,T}\right]\]上的解.
以下证明最后一部分结论.
由
（2）所证知存在\[0={x_0}<{x_1}<{x_2}<{x_3}<{x_4}=T,\]使得\[f（{x_{\rm{i}}}）{\rm{=i}}\pi\]，i=0,1,2,3,4.
而\[\left[{{{\rm{x}}_{\rm{i}}},{{\rm{x}}_{{\rm{i+1}}}}}\right]\]是函数\[\cosf（x）\]的单调区间，i=0,1,2,3.
与之前类似地可以证明：
\[{u_0}\]是\[\cosf（x）=-1\]在\[\left[{0,T}\right]\]上的解当且仅当\[{u_0}+T\]是\[\cosf（x）=-1\]在\[\left[{T,2T}\right]\]上的解.从而\[\cosf（x）=\pm1\]在\[\left[{0,T}\right]\]与\[\left[{T,2T}\right]\]上的解的个数相同.
故\[f（{x_i}+T）=f（{{\rm{x}}_i}）+4\pi,i=0,1,2,3,4\].
对于\[x\in\left[{0,{x_1}}\right],f（x）\in\left[{0,\pi}\right],f（x+T）\in\left[{4\pi,5\pi}\right]\].
而
类似地,当\[x\in\left[{{{\rm{x}}_i},{x_{i+1}}}\right]\]，i=1,2,3时，有\[f（x+T）=f（x）+f（T）\]
结论成立.
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