伽马函数在概率统计中的应用.docx

1、伽马函数在概率统计中的应用韩山师范学院学生毕业论文 题目中文 伽马函数在概率统计中的应用英文 The Application of the r Function in theProbability系别： 专业： 数学与应用数学 班级: 姓名： 学号： 指导教师： 韩山师范学院教务处制诚信声明我声明，所呈交的毕业论文是本人在老师指导下进行的研究工作及 取得的研究成果。据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，我承诺，论文中的 所有内容均真实、可信。毕业论文作者签名： 签名日期： 年 月曰摘要：本文阐述了 r函数的定义及其特殊性质，并就如何利用r

2、函数 的特定性质解决概率应用中的一些特定问题进行了探讨和分析 .分析说明:应用r函数收敛的性质，可间接求解概率积分值；利用r函数表示分布的 密度;可表征F分布的密度函数.这些分析及其结论对于函数的具体应用 ,对于求解概率论中的一些具体实用问题具有重要的参考价值 .关键词：r函数；收敛性；概率积分；密度函数Abstract: Expounds the definition of r function nd its special properties, and how to use the specific nature solution r function in some specific

3、qithe probability application is discussed and analyzed. r function anaexpla natio n: applicati on of n ature, but in direct conv erge nt soluti on probability integral value; Use the density of r function says distribution; F distribution can be characterized the den sity fun cti on an alysis and c

4、on clusi ons. These specific applicatio n for fun cti on for sol ving some of the specific practical problems probability has importa nt refere nee value.Keywords Gamma function; Convergenee Probability integral; Density fun cti on1.r函数的定义及主要性质 ( 1)1.1r函数的定义 ( 1)1.2r函数的主要性质 ( 2)1.3r函数的递推公式 ( 2)2.r函数

5、在概率问题中的应用 ( 3)2.1利用r函数间接求出概率积分 ( 3)2.2利用r函数表示分布的密度 ( 4)2.3利用r函数求F分布的密度函数 ( 5)3结语 ( 6)参考文献 ( 7)致谢 ( 8)伽马函数在概率统计中的应用在高等数学及概率统计中，经常会看到伽玛函数这个熟悉的名字，但是关于这个函 数性质及详细的应用却很少提及，然而这个函数在积分运算中经常起到意想不到的简便 效果.也有一些文献讨论它在积分运算和概率统计中的应用 ，但是篇幅太少，并没有详细的介绍.本文将对这两个函数在概率统计中的应用给出详细的介绍并推导出一些有用的 结论.r函数是由世界著名数学家欧拉1729年最先用含参变量的广

6、义积分定义的特殊 函数.它作为一种超越函数具备了丰富和优美的特征，在数字的许多分支中都起着重要 作用.概率论及其应用中，计算连续型随机变量的数字特征是一个重要内容，而它最终往 往归结为积分的计算.而积分特别是屡次分部积分对高等数学学时较少的学生来说是 难点,也易产生计算错误.利用r函数的特殊性质有效简便地求解概率论中所涉及的具 体且复杂的积分表征形式以及函数分布求解、数字特征求解等数学问题 ，可以防止屡次分部积分,大大简化了此类问题的计算.1 r函数的定义及主要性质本节主要讲述了 r函数的推导以及其公式，还讲述了一些r函数的主要性质以及由 r函数所推导出来的一些公式，为论文讲述r函数在概率统计

7、中的运用打好根底.1.1 r函数的定义1我们回想一下在微积分课程中的一个广义积分log x dx 二-1 n!(1)通过分部积分，因而有欧拉表示式1在等式中做变量代换t = log x = e，那么就得到 x0 etndt 二 n!由此,我们定义r函数-z 二 e_ttzdt,z 0 0我们把定义式4称为丨函数的勒让德表示式.1.2 r函数的主要性质1显然r函数是因为求解一个特殊的常微分方程而引出的 ，但是人们发现它的意义远不止于此，它有着更加重要的意义.接着我们来考虑r函数的收敛问题： 如果把中的z写成 x iy，那么中的tz* 2 =txtiy =tx，|cos ylogt i sin y

8、logt另一方面，当x 0时，广义积分CO . d0 etxdt是收敛的:当 t 0,1丨中时，0etx tx,所以1 1ox1 1 10 edt E txJd -t0 x而当t充分大时,时 *所以edt是收敛的.由此,我们可以得出定理：当Re z 0时，广义积分 etzdt是收敛的1.3 r函数的递推公式2我们首先来建立r函数关于平移的函数方程由r函数，对正实数x，用分部积分： x o etXdxJ -J.x L=(e t )oO . 1e_ xtx_ dt0 0那么我们可以得出定理：当Re z 0时, z 1 = z z .下面我们来推导一个r函数非常重要的一个结论： 14 d O0】n

9、1 = e_xxn1 dx= e舟xndxf J0 S我们用分部积分法来计算这个积分：n -1-x ,-dxx0 e1 m -1B m,n x0-n 1 i； = n n .由此,我们可以得出结论：对于任何正整数n都有】n T二n!2 r函数在概率问题中的应用本节主要讲述了我们在概率运用中所遇到的一些比拟复杂的问题 ，以及如何利用r函数的特殊性质有效简便地求解概率论中所涉及的具体且复杂的积分表征形式以及函 数分布求解、数字特征求解等数学问题，可以防止屡次分部积分，大大简化了此类问题的 计算.利用r函数间接求出概率积分正态分布是概率统计中的重要分布之一. 概率积分是标准正态分布概率密度函数的广义

10、积分但它的计算或推导是在高等数学的微积分中完成的 ，r函数可使推导简便有效.1 先求厂一的值，在卩函数、2n -1 11 - x dx m 0, n 0 中，取 m = n = ,那么又由r函数与函数之间的关系，有【们: x20 e dx中,令x二u那么0利用r函数表示分布的密度设X N 0,1 ,又儿必,xn设x为的一个样本,它们的平方和记作x2,即 x2二X： x22 丁丁 xn2，称为x2服从参数为n的分布，记为x x n .2x n分布的概率密度可由r函数表示 y1 加e2 yf y = 2界萝y0现推导此式设z N 0,1 ,那么Y = x2x2 1概率密度为：1 2-；-y en0

11、利用r函数求F分布的密度函数设Xi,X2是两个独立的x2变量，其自由度分别是m,n,那么称的F二生巴 联合密度是X2 nm X m + Xi m1 + 一 y 2，现推导方差比F =的分布律.、 Xn2 2因为Xi,X2分别服从X m和X n的分布，其密度函数为Pi x和P2 x，根据独立随X-i机变量商的分布的密度函数公式 Z二一的密度函数为：X2应用变换u二西1二Z，可得2最后的定积分为伽马函数厂一一n，从而,z 0I 2丿r122j接着来算 -Z的密度函数，对y -0,有m即为自由度为F = z m = n的分布律. m3结语从以上实例中可以看出，r函数简单易学.如能灵活掌握函数的定义和

12、特有性质 以有效求解概率论中的复杂分布求解、密度函数求解、求解概率积分和数字特征等数学 问题,而且可使计算过程大大简化，是一种有效的求解概率论中具体问题的数学方法. 可为相关问题提供求解的方法和参考.有关r函数在其他问题中的应用也正在继续探讨 之中.参考文献1谭琳 r函数札记M.杭州：浙江大学出版社.1997.2胡淑荣.r函数及应用J.哈尔滨师范大学学报.2002,18:12-15.3魏宗舒等.概率论与数理统计教程M.北京：高等教育出版社.2021.4美斯皮格尔J.希勒R.A.斯里尼瓦桑.孙山泽，戴中维译.概率与统计M. 北京：科学出版社.2002.5赵树媛.微积分M.北京：中国人民大学出版社

13、.2000. 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法M.北京:高等教育出版社.2002.7赵兴杰.高等代数教学研究M.西南师范大学出版社,2006 : 23-35.致谢转眼间，到了大学即将毕业的时节，时光虽匆匆，但美好往事仍历历在目作为一名 *的学子，我感到特别的荣幸，老师们严谨的治学态度是我学习的好典范，我也学到 了许多知识，感谢母校四年来的栽培.在这里我还要特别感谢*老师,本文从选题到完 成开题报告，从中期质量检查报告到论文的顺利完成，都离不开老师您的帮助，您给我提 出这些珍贵的意见，使我的论文得以顺利完成.值此论文完成之际，谨向*老师表示我 崇高的敬意和衷心的感谢，同时我还要感谢在我学习期间给我极大关心和支持的各位老 师以及关心我的同学和朋友，谢谢你们！*2021年3月31日