伽马函数在概率统计中的应用.docx
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伽马函数在概率统计中的应用
韩山师范学院
学生毕业论文
〔〕
题目〔中文〕伽马函数在概率统计中的应用
〔英文〕TheApplicationoftherFunctioninthe
Probability
系别：
专业：
数学与应用数学班级:
姓名：
学号：
指导教师：
韩山师范学院教务处制
诚信声明
我声明，所呈交的毕业论文是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，我承诺，论文中的所有内容均真实、可信。
毕业论文作者签名：
签名日期：
年月曰
摘要：
本文阐述了r函数的定义及其特殊性质，并就如何利用r函数的特定性质解决概率应用中的一些特定问题进行了探讨和分析.分析说明:
应用r函数收敛的性质，可间接求解概率积分值；利用r函数表示分布的密度;可表征F分布的密度函数.这些分析及其结论对于函数的具体应用,
对于求解概率论中的一些具体实用问题具有重要的参考价值.
关键词：
r函数；收敛性；概率积分；密度函数
Abstract:
Expoundsthedefinitionofrfunctionnditsspecialproperties,andhowtousethespecificnaturesolutionrfunctioninsomespecificqi
theprobabilityapplicationisdiscussedandanalyzed.rfunctionana
explanation:
applicationofnature,butindirectconvergentsolutionprobabilityintegralvalue;Usethedensityofrfunctionsaysdistribution;Fdistributioncanbecharacterizedthedensityfunctionanalysisandconclusions.Thesespecificapplicationforfunctionforsolvingsomeofthespecificpracticalproblemsprobabilityhasimportantrefereneevalue.
KeywordsGammafunction;ConvergeneeProbabilityintegral;Densityfunction
1.r函数的定义及主要性质
（1）
1.1r函数的定义
（1）
1.2r函数的主要性质
（2）
1.3r函数的递推公式
（2）
2.r函数在概率问题中的应用（3）
2.1利用r函数间接求出概率积分（3）
2.2利用r函数表示分布的密度（4）
2.3利用r函数求F分布的密度函数（5）
3结语（6）
参考文献（7）
致谢（8）
伽马函数在概率统计中的应用
在高等数学及概率统计中，经常会看到伽玛函数这个熟悉的名字，但是关于这个函数性质及详细的应用却很少提及，然而这个函数在积分运算中经常起到意想不到的简便效果.也有一些文献讨论它在积分运算和概率统计中的应用，但是篇幅太少，并没有详细
的介绍.本文将对这两个函数在概率统计中的应用给出详细的介绍并推导出一些有用的结论.
r函数是由世界著名数学家欧拉〔1729年〕最先用含参变量的广义积分定义的特殊函数.它作为一种超越函数具备了丰富和优美的特征，在数字的许多分支中都起着重要作用.
概率论及其应用中，计算连续型随机变量的数字特征是一个重要内容，而它最终往往归结为积分的计算..而积分特别是屡次分部积分对高等数学学时较少的学生来说是难点,也易产生计算错误..利用r函数的特殊性质有效简便地求解概率论中所涉及的具体且复杂的积分表征形式以及函数分布求解、数字特征求解等数学问题，可以防止屡次
分部积分,大大简化了此类问题的计算.
1r函数的定义及主要性质
本节主要讲述了r函数的推导以及其公式，还讲述了一些r函数的主要性质以及由r函数所推导出来的一些公式，为论文讲述r函数在概率统计中的运用打好根底.
1.1r函数的定义[1]
我们回想一下在微积分课程中的一个〔广义〕积分
logxdx二-1n!
（1）
〔通过分部积分〕，因而有欧拉表示式
1
在等式⑵中做变量代换t=log—x=e‘，那么就得到x
0e’tndt二n!
由此,我们定义r函数
-z二e_ttz^dt,z0⑷
0
我们把定义式〔4〕称为丨函数的勒让德表示式.
1.2r函数的主要性质[1]
显然r函数是因为求解一个特殊的常微分方程而引出的，但是人们发现它的意义远
不止于此，它有着更加重要的意义.
接着我们来考虑r函数的收敛问题：
如果把⑷中的z写成xiy，那么⑷中的
tz‘*2=tx」tiy=tx，||cosylogtisinylogt
另一方面，当x0时，广义积分
CO.d
0e」tx」dt
是收敛的:
当t〔0,1丨中时，011
o「x
111
00x
而当t充分大时,时*所以「e^dt是收敛的.
由此,我们可以得出定理：
当Rez0时，广义积分°e」tz'dt是收敛的•
1.3r函数的递推公式[2]
我们首先来建立r函数关于平移的函数方程
由r函数，对正实数x，用分部积分：
■xoe」tXdx
J-J.xL
=（—et）
oO.1
e_xtx_dt
00
那么我们可以得出定理：
当Rez0时,
■z1=zz.
下面我们来推导一个r函数非常重要的一个结论：
°°14dO0
】n1=e_xxn1dx=e舟xndx
fJ0S
我们用分部积分法来计算这个积分：
n-1
-x,
-dx
x
0e
1m-1
Bm,nx
0
-n1i；=nn.
由此,我们可以得出结论：
对于任何正整数n都有】nT二n!
2r函数在概率问题中的应用
本节主要讲述了我们在概率运用中所遇到的一些比拟复杂的问题，以及如何利用r
函数的特殊性质有效简便地求解概率论中所涉及的具体且复杂的积分表征形式以及函数分布求解、数字特征求解等数学问题，可以防止屡次分部积分，大大简化了此类问题的计算.
利用r函数间接求出概率积分
正态分布是概率统计中的重要分布之一.概率积分是标准正态分布概率密度函数的
广义积分⑵但它的计算或推导是在高等数学的微积分中完成的，r
函数可使推导简便有效.
〔1\
先求厂一的值，在卩函数
\、2〕
n-11
1-xdxm0,n0中，取m=n=,那么
又由r函数与［函数之间的关系，有
【们
:
:
x2
0edx中,令x二u那么
0
利用r函数表示分布的密度
设X~N0,1,又儿必,…xn设x为的一个样本,它们的平方和记作x2,即x2二X：
■x22丁…丁xn2，称为x2服从参数为n的分布，记为x~xn.
2
xn分布的概率密度可由r函数表示
「y
1加e2
y
fy=2界萝y
0
现推导此式•设z~N0,1,那么Y=x2〜x21概率密度为：
12』-；
-^ye
n
<2>
0
利用r函数求F分布的密度函数
设Xi,X2是两个独立的x2变量，其自由度分别是m,n,那么称的F二生巴联合密度是
X2n
mXm+Xim
1+一y—2，现推导方差比F=——的分布律.
、X^n
22
因为Xi,X2分别服从Xm和Xn的分布，其密度函数为
Pix和P2x，根据独立随
X-i
机变量商的分布的密度函数公式Z二一的密度函数为：
X2
应用变换u二西1二Z，可得
2
最后的定积分为伽马函数厂一一n，从而
z0
I2丿
r
12」
<2j
接着来算^-Z的密度函数，对y-0,有
m
即为自由度为F=—zm=n的分布律.m
3结语
从以上实例中可以看出，r函数简单易学.如能灵活掌握函数的定义和特有性质以有效求解概率论中的复杂分布求解、密度函数求解、求解概率积分和数字特征等数学问题,而且可使计算过程大大简化，是一种有效的求解概率论中具体问题的数学方法.可为相关问题提供求解的方法和参考.有关r函数在其他问题中的应用也正在继续探讨之中.
参考文献
[1]谭琳•r函数札记[M].杭州：
浙江大学出版社.1997.
[2]胡淑荣.r函数及应用[J].哈尔滨师范大学学报.2002,18⑷:
12-15.
[3]魏宗舒等.概率论与数理统计教程[M].北京：
高等教育出版社.2021.
[4]〔美斯皮格尔J.希勒R.A.斯里尼瓦桑.孙山泽，戴中维译.概率与统计[M].北京：
科学出版社.2002.
[5]赵树媛.微积分[M].北京：
中国人民大学出版社.2000.
⑹裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:
高等教育出版社.2002.
[7]赵兴杰.高等代数教学研究[M].西南师范大学出版社,2006:
23-35.
致谢
转眼间，到了大学即将毕业的时节，时光虽匆匆，但美好往事仍历历在目•作为一名******的学子，我感到特别的荣幸，老师们严谨的治学态度是我学习的好典范，我也学到了许多知识，感谢母校四年来的栽培.在这里我还要特别感谢***老师,本文从选题到完成开题报告，从中期质量检查报告到论文的顺利完成，都离不开老师您的帮助，您给我提出这些珍贵的意见，使我的论文得以顺利完成.值此论文完成之际，谨向***老师表示我崇高的敬意和衷心的感谢，同时我还要感谢在我学习期间给我极大关心和支持的各位老师以及关心我的同学和朋友，谢谢你们！
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2021
年3月31日
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