第2章 25 251 直线与圆的位置关系.docx

1、第2章 25 251 直线与圆的位置关系2.5直线与圆、圆与圆的位置关系2.5.1直线与圆的位置关系学 习 目 标核 心 素 养1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离(重点)2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系(难点)3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题(难点)通过研究直线与圆的位置关系，提升逻辑推理、数学运算、直观想象的数学素养.“大漠孤烟直，长河落日圆”，这是唐代诗人王维的诗句它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，观察下面三幅太阳落山的图片 图片中，地平线与太阳的位置关系怎样？结合初中知识总结，直线与圆有几种位置关系？

2、1直线与圆的三种位置关系位置关系交点个数相交有两个公共点相切只有一个公共点相离没有公共点2.直线AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系及判断位置关系相交相切相离公共点个数两个一个零个判定方法几何法：设圆心到直线的距离ddrdrdr代数法：由消元得到一元二次方程的判别式000思考：用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系各有什么特点？提示“几何法”与“代数法”判断直线与圆的位置关系，是从不同的方面，不同的思路来判断的“几何法”更多地侧重于“形”，更多地结合了图形的几何性质；“代数法”则侧重于“数”，它倾向于“坐标”与“方程”3用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”第一步：建立适当

3、的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，如点、直线、圆，把平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)直线与圆的位置关系可以用代数法或几何法判断 ()(2)过圆外一点作圆的切线有两条 ()(3)当直线与圆相离时，可求圆上点到直线的最大距离和最小距离 ()(4)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交或相切 ()提示(1)(2)(3)(4)2直线3x4y50与圆x2y21的位置关系是()A相交 B相切C相离 D无法判断B圆心(0,0)到直线3x4y50的距离d1. dr，直线与圆相切

4、故选B.3设A，B为直线yx与圆x2y21的两个交点，则|AB|()A1 BC D2D直线yx过圆x2y21的圆心C(0,0)，则|AB|2.4若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为_x2y50由题意，得kOP2，则该圆在点P处的切线的斜率为，所以所求切线方程为y2(x1)，即x2y50.直线与圆的位置关系【例1】已知直线方程mxym10，圆的方程x2y24x2y10.当m为何值时，圆与直线：(1)有两个公共点；(2)只有一个公共点；(3)没有公共点解法一：将直线mxym10代入圆的方程化简整理得，(1m2)x22(m22m2)xm24m40.4m(3m4)，(1

5、)当0时，即m0或m时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；(2)当0时，即m0或m时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；(3)当0时，即m0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点法二：已知圆的方程可化为(x2)2(y1)24，即圆心为C(2,1)，半径r2.圆心C(2,1)到直线mxym10的距离d.(1)当d0或m2时，即m1，所以点A在圆外，故切线有两条若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y3k(x4)，即kxy4k30.设圆心为C，因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1，所以1，即|k4|，所以k28k16k21，解得k.所以切线方程为xy30，即15x8y3

6、60.若直线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线x4的距离为1，这时直线x4与圆相切，所以另一条切线方程为x4.综上，所求切线方程为15x8y360或x4.圆的切线方程的求法(1)点在圆上时求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为，由点斜式可得切线方程如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程yy0或xx0.(2)点在圆外时几何法：设切线方程为yy0k(xx0)由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就得切线方程代数法：设切线方程为yy0k(xx0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由0求出k，可得切线方程提醒：切线的

7、斜率不存在的情况，不要漏解跟进训练2若圆C：x2y22x4y30，关于直线2axby60对称，则由点(a，b)向圆C所作的切线长的最小值为_4因为圆C：x2y22x4y30关于直线2axby60对称，所以圆心C(1,2)在直线2axby60上，所以2a2b60，即ab3.又圆的半径为，当点(a，b)与圆心的距离最小时，切线长取得最小值，又点(a，b)与圆心的距离为3，所以切线长的最小值为4.直线与圆相交问题【例3】(1)求直线l：3xy60被圆C：x2y22y40截得的弦长|AB|.(2)过点(4,0)作直线l与圆x2y22x4y200交于A，B两点，如果|AB|8，求直线l的方程思路探究(1

8、)利用交点坐标直接求解(2)直线l要分斜率存在和不存在两种情况，建立方程，通过解方程得解解(1)联立直线l与圆C的方程，得解得所以交点为A(1,3)，B(2,0)故直线l：3xy60被圆C：x2y22y40截得的弦长|AB|.(2)将圆的方程配方得(x1)2(y2)225，由圆的性质可得，圆心到直线l的距离d3.当直线l的斜率不存在时，x4满足题意；当直线l的斜率存在时，设l的方程为yk(x4)，即kxy4k0.由点到直线的距离公式，得3，解得k，所以直线l的方程为5x12y200.综上所述，直线l的方程为x40或5x12y200.求弦长常用的三种方法(1)利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，

9、弦长l之间的关系d2r2解题(2)利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长(3)利用弦长公式，设直线l：ykxb，与圆的两交点(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l|x1x2|.跟进训练3直线m：xy10被圆M：x2y22x4y0截得的弦长为()A4B2CDBx2y22x4y0，(x1)2(y2)25，圆M的圆心坐标为(1,2)，半径为，又点(1,2)到直线xy10的距离d，直线m被圆M截得的弦长等于22.故选B.直线与圆位置关系的综合【例4】一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台预报，台风中心位

10、于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？思路探究先以台风中心为原点建立适当的直角坐标系，把有关的几何元素用坐标和方程表示出来，然后把此实际问题转化为代数问题来解决解以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立平面直角坐标系(如图所示)，其中取10 km为单位长度，则受台风影响的圆形区域为圆x2y29及其内部，港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，则轮船航线所在直线l的方程为1，即4x7y280.圆心(0,0)到直线4x7y280的距离d，而半

11、径r3，因为dr，所以直线与圆相离，所以轮船不会受到台风的影响直线与圆的方程的实际应用问题的解题步骤(1)审题：认真审题，明确题意，从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知；(2)建系：建立平面直角坐标系，求出相关各点的坐标，用方程表示曲线，从而在实际问题中建立直线与圆的方程；(3)求解：利用直线与圆的方程的有关知识求解问题；(4)还原：将运算结果还原到实际问题中去跟进训练4如图所示，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，则水面下降1米后，水面宽度为()A14米 B15米C米 D2米D以圆弧形拱桥的顶点为原点，以过圆弧形拱桥的顶点的水平切线为x轴，以过圆弧形拱桥

12、的顶点的竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知可得A(6，2)，设圆的半径长为r，则C(0，r)，则圆的方程为x2(yr)2r2.将点A的坐标代入上述方程，可得r10，所以圆的方程为x2(y10)2100，当水面下降1米后，水面所在弦的端点为A，B，可设A(x0，3)(x00)，代入x2(y10)2100，解得x0，水面宽度|AB|2米1直线与圆的位置关系反映在三个方面：一是点到直线的距离与半径大小的关系；二是直线与圆的公共点的个数；三是两方程组成的方程组解的个数因此，若给出图形，可根据公共点的个数判断；若给出直线与圆的方程，可选择用几何法或

13、代数法，几何法计算量小，代数法可一同求出交点解题时可根据条件作出恰当的选择2与圆有关的弦长、切线问题常利用几何法求解，体现了直观想象的数学素养，但注意验证所求直线的斜率不存在的情形，避免漏解3坐标法解决问题的一般步骤(1)建立适当的平面直角坐标系；(2)设出已知点的坐标，求出未知点的坐标及曲线的方程；(3)利用所学公式列出方程(组)，通过计算得出代数结论；(4)反演回去，得到几何问题的结论1直线3x4y120与圆(x1)2(y1)29的位置关系是()A过圆心 B相切C相离 D相交但不过圆心D圆心坐标为(1，1)，圆心到直线3x4y120的距离为dr3.又点(1，1)不在直线3x4y120上，所

14、以直线与圆相交且不过圆心选D.2过点P(0,1)的直线l与圆(x1)2(y1)21相交于A，B两点，若|AB|，则该直线的斜率为()A1 BC D2A由题意设直线l的方程为ykx1，因为圆(x1)2(y1)21的圆心为(1,1)，半径为r1，又弦长|AB|，所以圆心到直线的距离为d，所以有，解得k1.3若直线x2y0与圆(x4)2y2r2(r0)相切，则r()A B5C D25C设圆心到直线的距离为d，则d.由直线与圆相切可得r.故选C.4过点A(1,4)作圆C：(x2)2(y3)21的切线l，则切线l的方程为_y4或3x4y130设方程为y4k(x1)，即kxyk40.d1，4k23k0，解

15、得k0或k.故切线l的方程为y4或3x4y130.5已知圆C经过点A(2,0)，B(1，)，且圆心C在直线yx上(1)求圆C的方程；(2)过点的直线l截圆所得弦长为2，求直线l的方程解(1)AB的中点坐标，AB的斜率为.可得AB垂直平分线方程为2x6y0，与xy0的交点为(0,0)，圆心坐标(0,0)，半径为2，所以圆C的方程为x2y24.(2)直线的斜率存在时，设直线的斜率为k，又直线l过，直线l的方程为yk(x1)，即ykxk，则圆心(0,0)到直线的距离d，又圆的半径r2，截得的弦长为2，则有()24，解得：k，则直线l的方程为yx.当直线的斜率不存在时，直线方程为x1，满足题意直线l的方程为x1或yx.