即直线与圆没有公共点．
直线与圆位置关系判断的三种方法
（1）几何法：
由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．
（2）代数法：
根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．
（3）直线系法：
若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．
[跟进训练]
1．已知直线l：
（2m＋1）x＋（m＋1）y＝7m＋4，圆C：
（x－1）2＋（y－2）2＝25，则直线l与圆C的位置关系为________．
相交 [由直线方程得（2x＋y－7）m＋x＋y－4＝0，令
得
故直线l过定点A（3,1）．
由|AC|＝
＝
＜5得A点在圆内，因此直线l与圆C相交．]
直线与圆相切问题
[探究问题]
1．怎样解决直线与圆相切问题？
[提示] 一般采用几何法，即圆心到直线的距离等于半径．
2．当点（x0，y0）在圆外时，过该点的直线与圆相切有几条？
当设点斜式只求出一个解时怎么办？
[提示] 有两条．虽设点斜式但要分斜率存在与不存在两种情况，当只求出一个解时，另一条一定是x＝x0.
【例2】
（1）已知直线l：
ax＋by－3＝0与圆M：
x2＋y2＋4x－1＝0相切于点P（－1,2），则直线l的方程为________．
（2）过点A（4，－3）作圆（x－3）2＋（y－1）2＝1的切线，求此切线方程．
[思路探究]
（1）利用MP⊥l，同时点P在直线l上．
（2）先确定点A在圆外，利用d＝r求切线方程．
（1）x＋2y－3＝0 [根据题意，圆M：
x2＋y2＋4x－1＝0，
即（x＋2）2＋y2＝5，其圆心M（－2,0），
直线l：
ax＋by－3＝0与圆M：
x2＋y2＋4x－1＝0相切于点P（－1,2），
则P在直线l上且MP与直线l垂直．
kMP＝
＝2，则有－
＝－
，则有b＝2a，
又由P在直线l上，则有－a＋2b－3＝0，可解得a＝1，b＝2，
则直线l的方程为x＋2y－3＝0.]
（2）[解] 因为（4－3）2＋（－3－1）2＝17>1，
所以点A在圆外，故切线有两条．
①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，
则切线方程为y＋3＝k（x－4），即kx－y－4k－3＝0.
设圆心为C，
因为圆心C（3,1）到切线的距离等于半径1，
所以
＝1，即|k＋4|＝
，
所以k2＋8k＋16＝k2＋1，解得k＝－
.
所以切线方程为－
x－y＋
－3＝0，
即15x＋8y－36＝0.
②若直线斜率不存在，
圆心C（3,1）到直线x＝4的距离为1，
这时直线x＝4与圆相切，所以另一条切线方程为x＝4.
综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.
圆的切线方程的求法
（1）点在圆上时
求过圆上一点（x0，y0）的圆的切线方程：
先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－
，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.
（2）点在圆外时
①几何法：
设切线方程为y－y0＝k（x－x0）．由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就得切线方程．
②代数法：
设切线方程为y－y0＝k（x－x0），与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切线方程．
提醒：
切线的斜率不存在的情况，不要漏解．
[跟进训练]
2．若圆C：
x2＋y2＋2x－4y＋3＝0，关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点（a，b）向圆C所作的切线长的最小值为________．
4 [因为圆C：
x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，所以圆心C（－1,2）在直线2ax＋by＋6＝0上，所以－2a＋2b＋6＝0，即a－b＝3.又圆的半径为
，
当点（a，b）与圆心的距离最小时，切线长取得最小值，又点（a，b）与圆心的距离为
＝
≥3
，所以切线长的最小值为
＝4.]
直线与圆相交问题
【例3】
（1）求直线l：
3x＋y－6＝0被圆C：
x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长|AB|.
（2）过点（－4,0）作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两点，如果|AB|＝8，求直线l的方程．
[思路探究]
（1）利用交点坐标直接求解．
（2）直线l要分斜率存在和不存在两种情况，建立方程，通过解方程得解．
[解]
（1）联立直线l与圆C的方程，得
解得
所以交点为A（1,3），B（2,0）．故直线l：
3x＋y－6＝0被圆C：
x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长|AB|＝
＝
.
（2）将圆的方程配方得（x＋1）2＋（y－2）2＝25，
由圆的性质可得，圆心到直线l的距离d＝
＝3.
①当直线l的斜率不存在时，x＝－4满足题意；
②当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝k（x＋4），即kx－y＋4k＝0.
由点到直线的距离公式，得3＝
，
解得k＝－
，所以直线l的方程为5x＋12y＋20＝0.
综上所述，直线l的方程为x＋4＝0或5x＋12y＋20＝0.
求弦长常用的三种方法
（1）利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系
＋d2＝r2解题．
（2）利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长．
（3）利用弦长公式，设直线l：
y＝kx＋b，与圆的两交点（x1，y1），（x2，y2），将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l＝
|x1－x2|＝
.
[跟进训练]
3．直线m：
x＋y－1＝0被圆M：
x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为（ ）
A．4 B．2
C．
D．
B [∵x2＋y2－2x－4y＝0，∴（x－1）2＋（y－2）2＝5，
∴圆M的圆心坐标为（1,2），半径为
，又点（1,2）到直线x＋y－1＝0的距离d＝
＝
，直线m被圆M截得的弦长等于2
＝2
.故选B.]
直线与圆位置关系的综合
【例4】 一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台预报，台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径为30km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
[思路探究] 先以台风中心为原点建立适当的直角坐标系，把有关的几何元素用坐标和方程表示出来，然后把此实际问题转化为代数问题来解决．
[解] 以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立平面直角坐标系（如图所示），其中取10km为单位长度，则受台风影响的圆形区域为圆x2＋y2＝9及其内部，港口所对应的点的坐标为（0,4），轮船的初始位置所对应的点的坐标为（7,0），则轮船航线所在直线l的方程为
＋
＝1，即4x＋7y－28＝0.圆心（0,0）到直线4x＋7y－28＝0的距离d＝
＝
，而半径r＝3，
因为d＞r，所以直线与圆相离，所以轮船不会受到台风的影响．
直线与圆的方程的实际应用问题的解题步骤
（1）审题：
认真审题，明确题意，从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知；
（2）建系：
建立平面直角坐标系，求出相关各点的坐标，用方程表示曲线，从而在实际问题中建立直线与圆的方程；
（3）求解：
利用直线与圆的方程的有关知识求解问题；
（4）还原：
将运算结果还原到实际问题中去．
[跟进训练]
4．如图所示，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，则水面下降1米后，水面宽度为（ ）
A．14米B．15米
C．
米D．2
米
D [以圆弧形拱桥的顶点为原点，以过圆弧形拱桥的顶点的水平切线为x轴，以过圆弧形拱桥的顶点的竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示．
设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知可得A（6，－2），
设圆的半径长为r，则C（0，－r），
则圆的方程为x2＋（y＋r）2＝r2.
将点A的坐标代入上述方程，可得r＝10，所以圆的方程为x2＋（y＋10）2＝100，
当水面下降1米后，水面所在弦的端点为A′，B′，
可设A′（x0，－3）（x0＞0），代入x2＋（y＋10）2＝100，解得x0＝
，
∴水面宽度|A′B′|＝2
米．]
1．直线与圆的位置关系反映在三个方面：
一是点到直线的距离与半径大小的关系；二是直线与圆的公共点的个数；三是两方程组成的方程组解的个数．因此，若给出图形，可根据公共点的个数判断；若给出直线与圆的方程，可选择用几何法或代数法，几何法计算量小，代数法可一同求出交点．解题时可根据条件作出恰当的选择．
2．与圆有关的弦长、切线问题常利用几何法求解，体现了直观想象的数学素养，但注意验证所求直线的斜率不存在的情形，避免漏解．
3．坐标法解决问题的一般步骤
（1）建立适当的平面直角坐标系；
（2）设出已知点的坐标，求出未知点的坐标及曲线的方程；
（3）利用所学公式列出方程（组），通过计算得出代数结论；
（4）反演回去，得到几何问题的结论．
1．直线3x＋4y＋12＝0与圆（x－1）2＋（y＋1）2＝9的位置关系是（ ）
A．过圆心 B．相切
C．相离D．相交但不过圆心
D [圆心坐标为（1，－1），圆心到直线3x＋4y＋12＝0的距离为d＝
＝
＜r＝3.又点（1，－1）不在直线3x＋4y＋12＝0上，所以直线与圆相交且不过圆心．选D.]
2．过点P（0,1）的直线l与圆（x－1）2＋（y－1）2＝1相交于A，B两点，若|AB|＝
，则该直线的斜率为（ ）
A．±1B．±
C．±
D．±2
A [由题意设直线l的方程为y＝kx＋1，因为圆（x－1）2＋（y－1）2＝1的圆心为（1,1），半径为r＝1，又弦长|AB|＝
，所以圆心到直线的距离为d＝
＝
＝
，所以有
＝
，解得k＝±1.]
3．若直线
x－2y＝0与圆（x－4）2＋y2＝r2（r＞0）相切，则r＝（ ）
A．
B．5
C．
D．25
C [设圆心到直线的距离为d，则d＝
＝
.由直线与圆相切可得r＝
.故选C.]
4．过点A（－1,4）作圆C：
（x－2）2＋（y－3）2＝1的切线l，则切线l的方程为________．
y＝4或3x＋4y－13＝0 [设方程为y－4＝k（x＋1），即kx－y＋k＋4＝0.∴d＝
＝1，∴4k2＋3k＝0，
解得k＝0或k＝－
.故切线l的方程为y＝4或3x＋4y－13＝0.]
5．已知圆C经过点A（2,0），B（1，－
），且圆心C在直线y＝x上．
（1）求圆C的方程；
（2）过点
的直线l截圆所得弦长为2
，求直线l的方程．
[解]
（1）AB的中点坐标
，AB的斜率为
.可得AB垂直平分线方程为2
x＋6y＝0，与x―y＝0的交点为（0,0），圆心坐标（0,0），半径为2，
所以圆C的方程为x2＋y2＝4.
（2）直线的斜率存在时，设直线的斜率为k，又直线l过
，
∴直线l的方程为y－
＝k（x－1），
即y＝kx＋
－k，
则圆心（0,0）到直线的距离d＝
，又圆的半径r＝2，截得的弦长为2
，
则有
＋（
）2＝4，解得：
k＝－
，
则直线l的方程为y＝－
x＋
.
当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝1，满足题意．
∴直线l的方程为x＝1或y＝－
x＋
.
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