高考数学一轮复习第五章平面向量52平面向量基本定理及坐标表示学案理.docx

1、高考数学一轮复习第五章平面向量52平面向量基本定理及坐标表示学案理【2019最新】精选高考数学一轮复习第五章平面向量5-2平面向量基本定理及坐标表示学案理考纲展示考点1平面向量基本定理及其应用1.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个_向量，那么对于这一平面内的任意向量a，_一对实数1，2，使a1e12e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组_答案：不共线有且只有基底2平面向量的正交分解把一个向量分解为两个_的向量，叫做把向量正交分解答案：互相垂直向量相等的常见两种形式：用基底表示的向量相等；用坐标表示的向量相等(1)已知向量a，b不共线，若1aba1b，则

2、1_，1_.答案：11解析：根据平面向量基本定理，用一组基底表示一个向量，基底的系数是唯一的，则有11，11.(2)已知向量a(1,2)，b(2,3)，c(3,4)，若cab，则2 _.答案：0解析：由cab，得(3,4)(1,2)(2,3)(2，23)， 解得 故20.向量易忽略的两个问题：向量的夹角；单位向量(1)等边三角形ABC中，若a，b, 则a，b的夹角为_答案：120解析：求两向量的夹角要求两向量的起点是同一点，因此a，b的夹角为120.(2)已知A(1,3)，B(4，1)，则与向量共线的单位向量为_答案：或解析：由已知得(3，4)，所以|5，因此与共线的单位向量为或. 典题1(1

3、)如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是()Ae1与e1e2 Be12e2与e12e2Ce1e2与e1e2 De13e2与6e22e1答案D解析选项A中，设e1e2e1，则无解；选项B中，设e12e2(e12e2)，则无解；选项C中，设e1e2(e1e2)，则无解；选项D中，e13e2(6e22e1)，所以两向量是共线向量(2)2017山东济南调研如图，在ABC中，P是BN上的一点，若m，则实数m的值为_答案解析设k，kR.因为kk()k(1k)，且m，所以解得点石成金用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基

4、底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理考点2平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab_，ab_，a_，|a|_.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点的坐标即为向量的坐标设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则_，|_.答案：(1)(x1x2，y1y2)(x1x2，y1y2)(x1，y1)(2)(x2x1，y2y1) (1)教材习题改编已知A(1，1)，B(1,3)，C(2，)，若A，B，C三

5、点共线，则_.答案：5(2)教材习题改编设P是线段P1P2上的一点，若P1(2,3)，P2(4,7)且P是P1P2的一个四等分点，则P的坐标为_答案：或 典题2(1)在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若(2,4)，(1,3)，则()A(2，4) B(3，5)C(3,5) D(2,4)答案B解析由题意，得()2(1,3)2(2,4)(3，5)(2)2017广东六校联考已知A(3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在AOB内，|OC|2，且AOC，设 (R)，则的值为()A1 B. C. D.答案D解析过C作CEx轴于点E.由AOC知，|OE|CE|2，所以，即，所以(2,0)(3,0

6、)，故.点石成金平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标(2)解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程(组)来进行求解考点3平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab_.答案：x1y2x2y10 (1)教材习题改编已知a(3,4)，b(sin ，cos )，且ab，则tan _.答案：解析：由ab，得ba, sin 3，cos 4(0)，即tan .(2)教材习题改编已知e1，e2是平面向量的一组基底，且a1e12e2.若ae2

7、，则1_；a和e1共线的条件是_答案：020解析：若ae2，则设ae2(0)，于是e21e12e2，即(2)e21e1.又e1，e2不共线，所以20且10.同理a和e1共线有20.考情聚焦平面向量共线的坐标表示是高考的常考内容，多以选择题或填空题的形式出现，难度较小，属容易题主要有以下几个命题角度：角度一利用向量共线求参数或点的坐标典题3(1)已知向量a(2,3)，b(1,2)，若ma4b与a2b共线，则m_.答案2解析ma4b(2m4,3m8)，a2b(4，1)，由于ma4b与a2b共线，(2m4)4(3m8)，解得m2.(2)已知梯形ABCD，其中ABCD，且DC2AB，三个顶点A(1,2

8、)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为_答案(2,4)解析在梯形ABCD中，DC2AB，ABCD，2.设点D的坐标为(x，y)，则(4x,2y)，(1，1)，(4x,2y)2(1，1)，即(4x,2y)(2，2)，解得故点D的坐标为(2,4)点石成金1.利用两向量共线求参数如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y1”解题比较方便2利用两向量共线的条件求向量坐标一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为a(R)，然后结合其他条件列出关于的方程，求出的值后代入a即可得到所求的向量角度二利用向量共线解

9、决三点共线问题典题4已知向量(1，3)，(2，1)，(k1，k2)，若A，B，C三点不能构成三角形，则k_.答案1解析若A，B，C不能构成三角形，则向量，共线(2，1)(1，3)(1,2)，(k1，k2)(1，3)(k，k1)，1(k1)2k0，解得k1.点石成金向量共线的充要条件用坐标可表示为x1y2x2y10. 方法技巧1.两向量平行的充要条件若a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，则ab的充要条件是ab，这与x1y2x2y10在本质上是没有差异的，只是形式上不同2三点共线的判断方法判断三点是否共线，先求由三点组成的任两个向量，然后再按两向量共线进行判定3若a与b不共线且ab0，则

10、0.易错防范1.若a，b为非零向量，当ab时，a，b的夹角为0或180，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错2若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件不能表示成，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2x2y10. 真题演练集训 12016新课标全国卷已知向量a(1，m)，b(3，2)，且(ab)b，则m()A8 B6 C6 D8答案：D解析：由向量的坐标运算，得ab(4，m2)，由(ab) b，得(ab)b122(m2)0，解得m8，故选D.22015四川卷设向量a(2,4)与向量b(x,6)共线，则实数x()A2 B3 C4 D6答案：B解析： ab， 264x0，解

11、得x3.32014福建卷在下列向量组中，可以把向量a(3,2)表示出来的是()Ae1(0,0)，e2(1,2)Be1(1,2)，e2(5，2)Ce1(3,5)，e2(6,10)De1(2，3)，e2(2,3)答案：B解析：解法一：若e1(0,0)，e2(1,2)，则e1e2，而a不能由e1，e2表示，排除A；若e1(1,2)，e2(5，2)，因为，所以e1，e2不共线，根据共面向量的基本定理，可以把向量a(3,2)表示出来，故选B.解法二：因为a(3,2)，若e1(0,0)，e2(1,2)，不存在实数，使得ae1e2，排除A；若e1(1,2)，e2(5，2)，设存在实数，使得ae1e2，则(3

12、,2)(5，22)，所以解得所以a2e1e2，故选B.42015新课标全国卷设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数_.答案：解析： ab与a2b平行， abt(a2b)，即abta2tb， 解得52015北京卷在ABC中，点M，N满足2，.若xy，则x_，y_.答案：解析： 2， . ， ()， ().又xy， x，y. 课外拓展阅读 向量问题坐标化向量具有代数和几何的双重特征，比如向量运算的平行四边形法则、三角形法则、平面向量基本定理等都可以认为是从几何的角度来研究向量的特征而引入坐标后，就可以通过代数运算来研究向量，凸显出了向量的代数特征，为用代数的方法研究向量问题奠定了基础在处

13、理很多与向量有关的问题时，坐标化是一种常见的思路，利用坐标可以使许多问题的解决变得更加简捷典例1向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示若cab(，R)，则_.解析设i，j分别为水平方向和竖直方向上的正向单位向量，则aij，b6i2j，ci3j，所以i3j(ij)(6i2j)，根据平面向量基本定理得，2，所以4.答案4典例2给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动若xy，其中x，yR，求xy的最大值思路分析 解以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(1,0)，B，设AOC，则C(cos ，sin )，由xy，得所以xcos sin ，ysin ，所以xycos sin 2sin，又，所以当时，xy取得最大值2.方法探究典例2首先通过建立平面直角坐标系，引入向量的坐标运算，然后用三角函数的知识求出xy的最大值引入向量的坐标运算使得本题比较容易解决，体现了坐标法解决问题的优势