高考数学一轮复习第五章平面向量52平面向量基本定理及坐标表示学案理.docx

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高考数学一轮复习第五章平面向量52平面向量基本定理及坐标表示学案理

【2019最新】精选高考数学一轮复习第五章平面向量5-2平面向量基本定理及坐标表示学案理

考纲展示►　

考点1　平面向量基本定理及其应用

1.平面向量基本定理

如果e1，e2是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的任意向量a，________一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组________．

答案：

不共线　有且只有　基底

2．平面向量的正交分解

把一个向量分解为两个________的向量，叫做把向量正交分解．

答案：

互相垂直

向量相等的常见两种形式：

用基底表示的向量相等；用坐标表示的向量相等．

（1）已知向量a，b不共线，若λ1a＋b＝－a＋μ1b，则λ1＝__________，μ1＝__________.

答案：

－1　1

解析：

根据平面向量基本定理，用一组基底表示一个向量，基底的系数是唯一的，则有λ1＝－1，μ1＝1.

（2）已知向量a＝（1,2），b＝（2,3），c＝（3,4），若c＝λa＋μb，则2λ＋μ＝__________.

答案：

0

解析：

由c＝λa＋μb，得

（3,4）＝λ（1,2）＋μ（2,3）＝（λ＋2μ，2λ＋3μ），

∴解得

故2λ＋μ＝0.

向量易忽略的两个问题：

向量的夹角；单位向量．

（1）等边三角形ABC中，若＝a，＝b,则a，b的夹角为__________．

答案：

120°

解析：

求两向量的夹角要求两向量的起点是同一点，因此a，b的夹角为120°.

（2）已知A（1,3），B（4，－1），则与向量共线的单位向量为__________．

答案：

或

解析：

由已知得＝（3，－4），所以||＝5，因此与共线的单位向量为＝或－＝.

[典题1]　

（1）如果e1，e2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（　　）

A．e1与e1＋e2B．e1－2e2与e1＋2e2

C．e1＋e2与e1－e2D．e1＋3e2与6e2＋2e1

[答案]　D

[解析]　选项A中，设e1＋e2＝λe1，

则无解；

选项B中，设e1－2e2＝λ（e1＋2e2），

则无解；

选项C中，设e1＋e2＝λ（e1－e2），

则无解；

选项D中，e1＋3e2＝（6e2＋2e1），所以两向量是共线向量．

（2）[2017·山东济南调研]如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________．

[答案]　

[解析]　设＝k，k∈R.

因为＝＋＝＋k

＝＋k（－）

＝＋k

＝（1－k）＋，

且＝m＋，

所以解得

[点石成金]　用平面向量基本定理解决问题的一般思路

（1）先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．

（2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．

考点2　平面向量的坐标运算

平面向量的坐标运算

（1）向量加法、减法、数乘向量及向量的模

设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a＋b＝________，a－b＝________，λa＝________，|a|＝________.

（2）向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点的坐标即为向量的坐标．

②设A（x1，y1），B（x2，y2），则＝________，

||＝________.

答案：

（1）（x1＋x2，y1＋y2）　（x1－x2，y1－y2）　（λx1，λy1）　

（2）②（x2－x1，y2－y1）　

（1）[教材习题改编]已知A（－1，－1），B（1,3），C（2，λ），若A，B，C三点共线，则λ＝________.

答案：

5

（2）[教材习题改编]设P是线段P1P2上的一点，若P1（2,3），P2（4,7）且P是P1P2的一个四等分点，则P的坐标为________．

答案：

或

[典题2]　

（1）在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝（2,4），＝（1,3），则＝（　　）

A．（－2，－4）B．（－3，－5）

C．（3,5）D．（2,4）

[答案]　B

[解析]　由题意，得＝－

＝－＝（－）－＝－2

＝（1,3）－2（2,4）＝（－3，－5）．

（2）[2017·广东六校联考]已知A（－3,0），B（0,2），O为坐标原点，点C在∠AOB内，|OC|＝2，且∠AOC＝，设＝λ＋（λ∈R），则λ的值为（　　）

A．1B.

C.D.

[答案]　D

[解析]　过C作CE⊥x轴于点E.

由∠AOC＝知，|OE|＝|CE|＝2，

所以＝＋＝λ＋，

即＝λ，

所以（－2,0）＝λ（－3,0），故λ＝.

[点石成金]　平面向量坐标运算的技巧

（1）向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．

（2）解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程（组）来进行求解．

考点3　平面向量共线的坐标表示

平面向量共线的坐标表示

设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a∥b⇔________.

答案：

x1y2－x2y1＝0

（1）[教材习题改编]已知a＝（3,4），b＝（sinβ，cosβ），且a∥b，则tanβ＝__________.

答案：

解析：

由a∥b，得b＝λa,

∴sinβ＝3λ，cosβ＝4λ（λ≠0），

∴＝，即tanβ＝.

（2）[教材习题改编]已知e1，e2是平面向量的一组基底，且a＝λ1e1＋λ2e2.若a∥e2，则λ1＝________；a和e1共线的条件是________．

答案：

0　λ2＝0

解析：

若a∥e2，则设a＝λe2（λ≠0），于是λe2＝λ1e1＋λ2e2，即（λ－λ2）e2＝λ1e1.又e1，e2不共线，所以λ－λ2＝0且λ1＝0.同理a和e1共线有λ2＝0.

[考情聚焦]　平面向量共线的坐标表示是高考的常考内容，多以选择题或填空题的形式出现，难度较小，属容易题．

主要有以下几个命题角度：

角度一

利用向量共线求参数或点的坐标

[典题3]　

（1）已知向量a＝（2,3），b＝（－1,2），若ma＋4b与a－2b共线，则m＝________.

[答案]　－2

[解析]　ma＋4b＝（2m－4,3m＋8），a－2b＝（4，－1），由于ma＋4b与a－2b共线，

∴－（2m－4）＝4（3m＋8），解得m＝－2.

（2）已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A（1,2），B（2,1），C（4,2），则点D的坐标为________．

[答案]　（2,4）

[解析]　∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，AB∥CD，∴＝2.

设点D的坐标为（x，y），

则＝（4－x,2－y），＝（1，－1），

∴（4－x,2－y）＝2（1，－1），

即（4－x,2－y）＝（2，－2），

∴解得

故点D的坐标为（2,4）．

[点石成金]　1.利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．

2．利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa（λ∈R），然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．

角度二

利用向量共线解决三点共线问题

[典题4]　已知向量＝（1，－3），＝（2，－1），＝（k＋1，k－2），若A，B，C三点不能构成三角形，则k＝________.

[答案]　1

[解析]　若A，B，C不能构成三角形，则向量，共线．

∵＝－＝（2，－1）－（1，－3）＝（1,2），

＝－＝（k＋1，k－2）－（1，－3）＝（k，k＋1），

∴1×（k＋1）－2k＝0，解得k＝1.

[点石成金]　向量共线的充要条件用坐标可表示为x1y2－x2y1＝0.

[方法技巧]　1.两向量平行的充要条件

若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），其中b≠0，则a∥b的充要条件是a＝λb，这与x1y2－x2y1＝0在本质上是没有差异的，只是形式上不同．

2．三点共线的判断方法

判断三点是否共线，先求由三点组成的任两个向量，然后再按两向量共线进行判定．

3．若a与b不共线且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.

[易错防范]　1.若a，b为非零向量，当a∥b时，a，b的夹角为0°或180°，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错．

2．若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.

真题演练集训

1．[2016·新课标全国卷Ⅱ]已知向量a＝（1，m），b＝（3，－2），且（a＋b）⊥b，则m＝（　　）

A．－8B．－6

C．6D．8

答案：

D

解析：

由向量的坐标运算，得a＋b＝（4，m－2），由（a＋b）⊥b，得（a＋b）·b＝12－2（m－2）＝0，解得m＝8，故选D.

2．[2015·四川卷]设向量a＝（2,4）与向量b＝（x,6）共线，则实数x＝（　　）

A．2B．3

C．4D．6

答案：

B

解析：

∵a∥b，∴2×6－4x＝0，解得x＝3.

3．[2014·福建卷]在下列向量组中，可以把向量a＝（3,2）表示出来的是（　　）

A．e1＝（0,0），e2＝（1,2）

B．e1＝（－1,2），e2＝（5，－2）

C．e1＝（3,5），e2＝（6,10）

D．e1＝（2，－3），e2＝（－2,3）

答案：

B

解析：

解法一：

若e1＝（0,0），e2＝（1,2），则e1∥e2，而a不能由e1，e2表示，排除A；若e1＝（－1,2），e2＝（5，－2），因为≠，所以e1，e2不共线，根据共面向量的基本定理，可以把向量a＝（3,2）表示出来，故选B.

解法二：

因为a＝（3,2），若e1＝（0,0），e2＝（1,2），不存在实数λ，μ，使得a＝λe1＋μe2，排除A；若e1＝（－1,2），e2＝（5，－2），设存在实数λ，μ，使得a＝λe1＋μe2，则（3,2）＝（－λ＋5μ，2λ－2μ），所以解得所以a＝2e1＋e2，故选B.

4．[2015·新课标全国卷Ⅱ]设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________.

答案：

解析：

∵λa＋b与a＋2b平行，∴λa＋b＝t（a＋2b），

即λa＋b＝ta＋2tb，∴解得

5．[2015·北京卷]在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝________，y＝________.

答案：

　－

解析：

∵＝2，∴＝.

∵＝，∴＝（＋），

∴＝－＝（＋）－

＝－.

又＝x＋y，

∴x＝，y＝－.

课外拓展阅读

向量问题坐标化

向量具有代数和几何的双重特征，比如向量运算的平行四边形法则、三角形法则、平面向量基本定理等都可以认为是从几何的角度来研究向量的特征．而引入坐标后，就可以通过代数运算来研究向量，凸显出了向量的代数特征，为用代数的方法研究向量问题奠定了基础．在处理很多与向量有关的问题时，坐标化是一种常见的思路，利用坐标可以使许多问题的解决变得更加简捷．

[典例1]　向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若c＝λa＋μb（λ，μ∈R），则＝________.

[解析]　设i，j分别为水平方向和竖直方向上的正向单位向量，则a＝－i＋j，b＝6i＋2j，c＝－i－3j，所以－i－3j＝λ（－i＋j）＋μ（6i＋2j），根据平面向量基本定理得，λ＝－2，μ＝－，所以＝4.

[答案]　4

[典例2]　给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动．若＝x＋y，其中x，y∈R，求x＋y的最大值．

[思路分析]　

[解]　以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，

则A（1,0），B，

设∠AOC＝α，α∈，

则C（cosα，sinα），

由＝x＋y，得

所以x＝cosα＋sinα，y＝sinα，

所以x＋y＝cosα＋sinα＝2sin，

又α∈，

所以当α＝时，x＋y取得最大值2.

方法探究

典例2首先通过建立平面直角坐标系，引入向量的坐标运算，然后用三角函数的知识求出x＋y的最大值．引入向量的坐标运算使得本题比较容易解决，体现了坐标法解决问题的优势．