线性代数含全部课后题详细答案7第七章线性空间与线性变换习题解答docx.docx

1、线性代数含全部课后题详细答案7第七章线性空间与线性变换习题解答docx习题七A 组1填空题(1)向量组(1,1,0,-1), (1,2,3,0), (2,3,3,-1)生成的向量空间的维数是 .解2.(2)设全体三阶上三角形矩阵构成的线性空间为V,则它的维数是 解6.(3)次数不超过2的多项式的全体构成线性空间Px2 ,其屮的元素/(x) = x2+x + l在基l,x-l, (x-1)(兀_2)下的坐标是 解(3,4,1厂1、0,=1,a?=1J丿丄是向量空间的一个基，在该基下的坐标1 A ( ( (5)二维向量空间R?中从基0二 ,a.= 到另一个基0严 ，0,= 的过渡矩阵3丿 丿 U丿

2、 (2丿是 .(2 3)解-2 丿(6)三维向量空间中的线性变换T(x, y, z) = (x+y,x-y, z)在标准基勺=(1,0,0), e2 =(0,1,0),勺=(0,0,1)下对应的矩阵是 .1 10、解 1-10.、0 0 1 丿2.选择题(1)下列说法中正确的是 (A)任何线性空间屮一定含有零向量；(B)由厂个向量生成的子空间一定是厂维的;(C)次数为n的全体多项式对于多项式的加法和数乘构成线性空间；(D)在72维向量空间V中，所有分量等于1的全体向量的集合构成V的子空间.(2)下列说法中错误的是 (A)若向量空间V中任何向量都可以由向量组0,。2，“线性表示,则0,。2,，是

3、V的一 个基；(B)若维向量空间V中任何向量都可以由向量组，线性表示，则，是V的一个基；(C)若斤-1维向量空间V中任何向量都可以由向量组0,闵，乞线性表示，则0,2,，不是V的一个基；(D)维向量空间V的任一个基必定含有个向量.(3)下列3维向量的集合中， 是R的子空间.(A) (%, x2, x3)|xt x2 x3 x2 3；XpX2,X3G R (4)在认中，下列向量集合构成子空间的是 (A)(0,0), (0,1), (1,0)组成的集合；(B)(0,0)组成的集合；(C)所有形如0,1)的向量组成的集合；(D)满足x+y = l的所有(x, y)组成的集合.(5)匕的下列变换 不是

4、线性变换.(A)T(x, y) = (0,0)；(B)T(x, y) = cix + by, cx-dy), a,b,c、d 是实数;(C)T(x, ,y) = (x+y, 1)；(D)T(x, y) = (0,x-y).解(1) A; (2) A; (3) C; (4) B： (5) C.3.验证：(1)主对角线上元素Z和等于0的2阶矩阵的全体S,；(2) 2阶对称矩阵的全体S?,对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间，并写出每个空间的一个基.解(1)任取 AeSBeS其中ci,b,cde、f表示任意实数，则对于任意的匕/lwR,有线性运算的封闭性成立:kA + AB =(ka + Zb kc

5、 + Aeyykd 十入f -ka - Abyfl 0/P 0、J 0(2)任取/w S2,Be S2,对于任意的k,壮R,都满足运算成立:(kA + Z5)t =Zs4t+X5t= + AjBg52.fl 0)(0 0)(2 0丿(0 1丿y52的一个基是4.验证：与向量(0,1,0)T不平行的全体3维数组向量，对于数组向量的加法和乘数运算不构成线性 空间.证明 与向量(0,1,0)1不平行的全体3维数组向量的集合记作V , a = (l,l,lj,0 = (l,O,ljw V ,但a-/? = (0,l,0)T V,所以V不是线性空间.5.设(7是线性空间V的一个子空间，证明：若(/与V的

6、维数相等，则U = V .证明 设、是U的一个基，因为t/oV,所以G V.对于任意的6TG V,必定可被0,他，乞线性表示，否则与“与V的维数相等”矛盾.由a的任意性知Vuiz,从而u = v.6.判断的下列子集是否构成子空间，说明理由./a,0 c 0丿解(1)不构成.由于b 0).0、0丿0 0、0 0丿即叫对矩阵加法不封闭(2)构成.任取bq0、。丿(a2 h2、0 c20、丿eW2,于是对任意R , kAQ +b +C = 0, 6T2 + /?2 + c2 = 0 ,Qi + 禺 + b + bj + C + c? = 0，(ax + a2 bx +b2 0、0 c+c2 0 丿e

7、W2.rkaA kb、0、 o kc、 0 丿,ka、+kb+kC=0 ,所以kAeW2.%对矩阵加法和数乘运算封闭，所以嗎构成子空间.7.判断R2X2的下列子集是否构成子空间，说明理由.(1)由所有行列式为零的矩阵所组成的集合说;(2)由所有满足A2 = A的矩阵组成的集合.解(1)不构成.取/二1,B =0、b,A.BeW 但是 A + B =1 0、0 b(2)不构成.取单位矩阵E此/ + 加法不封闭,E2=E , g W2,但(2E)2=4Eh2,所以 2EeW2,数乘不封闭.8.在应屮求向fi:a = (-2,7,6)T在基a, = (2,0,-l)T,a2 = (1,3,2)a3

8、= (-2,1,1)T下的坐标.解 设所求坐标为(%x2,x3)t,则，-2、7=了2码、0+( 、3x2+了-2禺、兀3解得(xpx2,x3)t=(-1,2,1)t.9. R?屮两个基为$=(1,1,1)T, 2=(1，0,-If,他=(1,0,1八 0严(1,2,1几 02=Q，3,4)t, 03=(3,4,5)丁, 求由基到基屈，禹，A的过渡矩阵.解 设(0,“2，属)=(0，2，3)几 则a 1 p-1“ 2 3、厂 2 3 4、卩=(,2，。3尸(屈，禹，属)=1 0 02 3 4=0 -1 -11 4 5 丿(3)已知。在基01,02,03下的坐标为(1,2,3/,求a在基0,。2

9、，”3下的坐标.(I 1 1)解 (1)因为(0,2，。3)=(勺，勺，勺)0 11,所以基勺，纟2,勺到基的过渡矩阵为、0 0 1p 1 1)P= 0 1 10 0 1 丿H 1 1)1 -1 0、勺0 0、（2）由于（0,02，03）=（$，。2，。3）/ =0 1 10 1 -1=0 1 00 0 1,0 0 1,0 0 b故卩 = (1,0, 0)T, 02 = (0丄 0), 03 = (0,0,1)T ./ 、(3)设a在基apa2,a3 b的坐标为(xpx2,x3)1 ,则有a = (a9a2,a x2 ,又从而/ 、1-10、=A2=01-12-1宀）6001丿3) Z 3丿1

10、1.在R3P取两个基勺=(l,0,0,0)T,02=(O,1,O,O)T, 勺=(0,0,l,0)T,S=(0,0,0,l)T,=(2 丄-IQ,02=(0,3,1,0)丁,a3=(5,3,2,l)T, a4=(6,6,l,3)T.（1）求前一个基到后一个基的过渡矩阵;(2)(3)求向量（西，兀2,兀3, X4）T在后一个基下的坐标;求在两个基下有相同坐标的向量.解(1)因为(, a2,03,a4) = ,e2,e3, e4)，21-1、103105321661,所以前一个基到后一个基的过渡矩 2056阵为昇=1336-1121 1013a = J队、卩2、卩J2= (ai9a2,a3)A2设

11、向fi（XpX2,X3, A：4）T在后一个基下的坐标为（）1 歹3）丁，则/ 3;i = (a19a2,a3,a4)旳=Ay2%宀丿宀丿所以,( 、X/ 2 0 5 6、旳= A兀213 3 6%兀3-112 1丄丿丿10 1 3,/ 529-27-33、兀2_ 1112-9-23兀3 27900-18申丿-7-3926, 设向量0 =（西，勺，兮兀）丁在两个基下有相同的坐标，则/ 、（ 、西a = (et,e2,e3,e4)兀2尤3=E兀2兀3H丿所以(力一)勺 =0 ,解得G = (1,1,1,1)T, ke R 12./ 、x说明xOy平面上变换T =y）(xAy)的几何意义，其中fo

12、A =I。(0A =(0 1)A =1-1 0 丿兀、-10、厂X、T3丿=A= 01丿解,关于y轴对称; I y丿=A兀、_0_厂0、J丿芒丿Ly/ （、0丿jy丿J宀,投影到y轴;,关于直线y = x对称;了兀、/TJ丿=A卫丿X0-11)/ 、(y07丿，顺时针旋转9(T13“阶对称矩阵的全体V对于矩阵的线性运算构成-个呼维线性空间.给定“阶矩阵P,以/表示V中的任一元素，变换T(A) = PtAP称为合同变换.证明合同变换丁是V中的线性变换.证明设 /1,Bg V, keR,则力丁二/1,3丁 二，所以=A+Bf (kA = kA .从而 A+B 与是对称矩阵.又因为T(A + B)=

13、円(力 + b)P = pJAP + PtBP = T(A) + T(B),T(kA) = P(kA)P = kPYAP = kT(A),所以7是U中的线性变换.厂 4 6 0、14.设疋中a19a2,a3是一个基，且线性变换丁在此基下的矩阵为/= -3-5 0,-3 -6 1 丿(1)证明-$ +2 +硯，。3，-20 +硯也是R的一个基；(2)求线性变换卩在此基下的矩阵.证明(1)令0 =-$ +还+磅，02 =3，属=一2$ +笑，可解得a、=卩- 02 -卩3、 2=2几-2爲-03， “3=02，这说明了0,硯，他和A，0,几可以相互线性表示，从而它们等价，所以队、队、队是R的一个基

14、.(2)设线性变换卩在基久属，03下的矩阵是，并设从基久硯，砌到基0|,02，禹的过渡矩阵是-1 0-2、f 1由条件知卩=1 01,得 p=-1,4 =S 1、,4 =厂0 0、00丿1 丿7 5兀2间.在岭中取一个基4 =,在中定义合同变换AT(A) =fllo求7在基4,力2,九下的矩阵解因为1 1、q 0、a 0、(1 1、1H4)=1 1丿40 1丿二1 1丿0 0丿,0 b1)=力+ /I, + 力3，1丿a 0、a21 1、q o、p 1、r r0 PJ 1丿,0 1丿1 2丿T(A) =q 0、n 0)fo 0000、T(A.) =1 b40 1丿1 b0 b01丿b=A3（T

15、（4）, t（a2）, t（a3）=（4, , 4）1109J21丿1 0 0、所以7在基4，力2，力3下的矩阵为1 1 01 2 1,17.设/是一个正定矩阵，向量a = （xpx2,-,x/?）, J = （yp，几）在R中定义内积% 0|为/ fi = aApv 证明在这个定义之下，R是一个Euclid空间.证明 按定义证明满足以下四条性质即对(1)对称性a, 0 = a/0T =(740丁)丁 =0/丁刃=0力刃二0, a.(2)线性加性a+0,刃= (a+0)/=04灯+0力灯二%刃+ 0,刃.(3)线性齐性ka9 0=伙a)AfiT = k(aAflT) = ka, 0.(4)非负

16、性 由于/是正定矩阵，所LUa, a = aA ax是个正定二次型，从而a, a0,当且仅 当 a = 0 时a, a = 0 .18.设V是一个斤维Euclid空间，a丰Q是V中一固定向量，证明：V=xx,a = OJxeV 是卩 的一个子空间.证明 因为06 V，所以非空.再证对两种运算封闭.任给Xi，x2 g V；,即西,a = 0, x2,a = 0 ,根据 V 的线性加性有西 +x2,a = xpa + x2, a= 0 + 0 = 0,从而可知 x+ x2eV.另一方面，由kx,a = k xI? a = 0 可知，kxV.此即证得V, =x|x,a = 0,x V是V的一个子空间

17、.1.求二阶矩阵构成的线性空间R2中元素力0,211丿0、b(1 1n 1n0 1丿、G4 -J下的坐标.解设/ = RQ+G2+他G3 + E4G4,则雄 + 3 + “4 = ， k、 + 3 + k.、 1,+ k2 + 心=2, 何 + 化,+ & = -3,解得& = 0也=-1,k3 =-2,=3,所求坐标为(0,l,2,3)T2.在二阶矩阵构成的线性空间R2x2+,(1)求基,=1 0、E =0 1、0 0、,4 =r0 0、z0 b到基(2 r0 3、5 3)6 6F =-1 LF2 =1 0丿F3 =F =2 1丿虫J 3,的过渡矩阵;(2)分别求向量M =Ni&21在基Q,

18、 2, Ey d和基耳，耳，&九下的坐标;(3)解求一个非零向量/,使得力在这两个基下的坐标相等.(1)因为F 2E、+ *2 E? + 9F2 = 0E + 3E2 + 耳 + 0E4,耳=5Q + 3E2 + 2 E3 + E4,F4 = 6E| + 6 *2 + 凤 + 3 *斗,（耳,耳，耳，爲）=（, E”耳，d）21-11031053216、613丿所以，基Q, 2,色，d到基F1F2 F3 F4的过渡矩阵为21-11031053216、613丿（2）显然M=d|E +auE2 +0213 +。22疋4 得到M在基Q, E2,禺，忙4下的坐标为（如,如,。21，。22）丁 设M在基

19、,耳，Fy F4 F的坐标为（开，旳，力，4）T 则）vWi=P 1。】2%ai4-4-91271 _ 134_9 30 03_2_ _1 127 9 311)(4 111 、9/ 、+丁12a2 。229八23111 4123Qi + q。一_ 1 -27a227 93 2127 222佝123。22 丿_d-3 11亍22267 112627 Ja a2十二知L 27 11 9327 丿( 、41/ 、。12=（耳,耳，九）= (E, E Ey EJPa2a22)4M =（d，E2,尽，d）（3）解方程1 2沪厂227 1 1 26-a-a2-a224 1 11a +a2a2 a22得 d

20、ll =。12 =。口 =一。22，所以1）A-k , R H 0 （1 一1丿3.设T是卩q维线性空间V的线性变换，T在y的基下的矩阵为-1 -2 -2 -2、2 6 5 2A 二0 0 -1 -2、0 0 2 6丿求 T 在 V 的基 0 =e，02=-& +。2,队=一5 + % /?4 = - ay + a4 下的矩阵.解（0,爲，禹丿4）=（倨,2“&4）卩，其中P100、01-10P =001-1000L所求矩阵1300 _2400B = P AP =001 3、002 44.设a、。?，是R的一个基.证明0, 0+。2, $+的+少，0+02+。“也是R的一个基；（2） 求由基硯

21、,， 到基+2，$ +斶+码,，心+。2 + + % 的过渡矩阵；（3） 求向量a在基a、， 下的坐标（兀,花,，兀JT和在基0，$ +冬，+ a2 + a3,0 +的+乞下的坐标（X，儿，儿）T间的变换公式.解（1）因为1 1 1、0 1 . 1+ ，e+2+ %J =（0，2,，“）. ， 、0 0 1,q 1 p0 1 1 .所以P= . . . . , |p| = 1hO, P可逆，从而向量组a】，e + a?，+ a2 + a3 ,， ,0 0 1?$ +冬+乞与向量组!，2, 等价，而0,色，是R的一个基，所以&, a, + a2, 6Z）+ a2 + av ，e+砌+ + ”也是R的一个基.（2）由基0,。2,，到基0，&+斶，