线性代数含全部课后题详细答案7第七章线性空间与线性变换习题解答docx.docx

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习题七

A组

1・填空题

（1）向量组（1,1,0,-1）,（1,2,3,0）,（2,3,3,-1）生成的向量空间的维数是.

解2.

（2）设全体三阶上三角形矩阵构成的线性空间为V,则它的维数是・

解6.

（3）次数不超过2的多项式的全体构成线性空间P[x]2,其屮的元素/（x）=x2+x+l在基

l,x-l,（x-1）（兀_2）下的坐标是

解（3,4,1厂

‘1、

J丿

丄

是向量空间％的一个基，

在该基下的坐标

1A（（[}⑴

（5）二维向量空间R?

中从基0二,a.=到另一个基0严，0,=的过渡矩阵

3丿丿U丿（2丿

是.

（23）

解

-2丿

（6）三维向量空间中的线性变换T（x,y,z）=（x+y,x-y,z）在标准基勺=（1,0,0）,e2=（0,1,0）,

勺=（0,0,1）下对应的矩阵是.

‘110、

解1-10.

、001丿

2.选择题

（1）下列说法中正确的是・

（A）任何线性空间屮一定含有零向量；

（B）由厂个向量生成的子空间一定是厂维的;

（C）次数为n的全体多项式对于多项式的加法和数乘构成线性空间；

（D）在72维向量空间V中，所有分量等于1的全体向量的集合构成V的子空间.

（2）下列说法中错误的是•

（A）若向量空间V中任何向量都可以由向量组0],。

2，・・・，°“线性表示,则0,。

2,…，％是V的一个基；

（B）若〃维向量空间V中任何向量都可以由向量组…，％线性表示，则…，％是V的

一个基；

（C）若斤-1维向量空间V中任何向量都可以由向量组0,闵，…，乞线性表示，则0,^2,…，％不

是V的一个基；

（D）"维向量空间V的任一个基必定含有"个向量.

（3）下列3维向量的集合中，是R'的子空间.

（A）{（%,,x2,x3）|xtx2x3<0;x,,x2,x3gR}；（C）{（xpx2,x3）\x}=x2=x3;xpx2,x3gR};

（B）

|（xpx2,x3）%（2+x22+x32=1;xpx2,x3g

（D）{（x1,x2,x3）|x,>x2>^3；XpX2,X3GR]•

（4）在认中，下列向量集合构成子空间的是

（A）（0,0）,（0,1）,（1,0）组成的集合；

（B）（0,0）组成的集合；

（C）所有形如0,1）的向量组成的集合；

（D）满足x+y=l的所有（x,y）组成的集合.

（5）匕的下列变换不是线性变换.

（A）T（x,y）=（0,0）；

（B）T（x,y）={cix+by,cx-^-dy）,a,b,c、d是实数;

（C）T（x,,y）=（x+y,1）；

（D）T（x,y）=（0,x-y）.

解

（1）A;

（2）A;（3）C;（4）B：

（5）C.

3.验证：

（1）主对角线上元素Z和等于0的2阶矩阵的全体S,；

（2）2阶对称矩阵的全体S?

对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间，并写出每个空间的一个基.

解

（1）任取AeS^BeS^

其中ci,b,cde、f表示任意实数，则对于任意的匕/lwR,有线性运算的封闭性成立:

kA+AB=

（ka+Zbkc+Aey

ykd十入f-ka-Aby

fl0>

<0T丿

3的一个基是

P0、

J0>

（2）任取/wS2,BeS2,

对于任意的k,壮R,都满足运算成立:

（kA+Z5）t=Zs4t+X5t=^+AjBg52.

fl0）

（00）（

20丿

（01丿

52的一个基是

4.验证：

与向量（0,1,0）T不平行的全体3维数组向量，对于数组向量的加法和乘数运算不构成线性空间.

证明与向量（0,1,0）1不平行的全体3维数组向量的集合记作V,a=（l,l,lj「,0=（l,O,lj「wV,

但a-/?

=（0,l,0）T^V,所以V不是线性空间.

5.设（7是线性空间V的一个子空间，证明：

若（/与V的维数相等，则U=V.

证明设…、％是U的一个基，因为t/oV,所以GV.对于任意的6TGV,

必定可被0,他，…，乞线性表示，否则与““与V的维数相等”矛盾.由a的任意性知Vuiz,从而

u=v.

6.判断的下列子集是否构成子空间，说明理由.

0c0丿

解

（1）不构成.由于

b0）

<2+/?

+c=0,a.h.ceR>.

0、

0丿

00、

00丿

即叫对矩阵加法不封闭・

（2）构成.任取

0、

。

丿

（a2h2

、0c2

0、

°丿

eW2,

于是

对任意R,kA

Q]+b]+C]=0,6T2+/?

2+c2=0,

Qi+禺+b]+bj+C]+c?

=0，

（ax+a2bx+b20、

、0c]+c20丿

eW2.

rkaAkb、0、

ka、+kb\+kC\=0,所以kAeW2.

%对矩阵加法和数乘运算封闭，所以嗎构成子空间.

7.判断R2X2的下列子集是否构成子空间，说明理由.

（1）由所有行列式为零的矩阵所组成的集合说;

（2）由所有满足A2=A的矩阵组成的集合％.

解

（1）不构成.取/二

0、

A.BeW^但是A+B=

‘10、

<0b

（2）不构成.取单位矩阵E

此/+加法不封闭•

E2=E,£gW2,但（2E）2=4Eh2£,所以2EeW2,

数乘不封闭.

8.在应屮求向fi:

a=（-2,7,6）T在基a,=（2,0,-l）T,a2=（1,3,2）\a3=（-2,1,1）T下的坐标.

解设所求坐标为（%„x2,x3）t,则

，-2、

了2码、

（、

3x2

了-2禺、

兀3

<6>

<心>

解得（xpx2,x3）t=（-1,2,1）t.

9.R?

屮两个基为

$=（1,1,1）T,°2=（1，0,-If,他=（1,0,1八0严（1,2,1几02=Q，3,4）t,03=（3,4,5）丁,求由基到基屈，禹，A的过渡矩阵.

解设（0],“2，属）=（0，«2，"3）几则

a1p

-1

“23、

厂234、

卩=（°],°2，。

3尸（屈，禹，属）=

100

234

0-1-1

<1-11>

<145丿

<-100丿

10.在R”中，取两个基

勺二（1,0,0）T,勺=（0,l,0）T,®=（0,0,1）T；

a,=（1,0,0）r,a2=（1,1,0）『,a.=（1丄1）「，

（1）求由基el9e2,e3到基a（,a2,a3的过渡矩阵；

‘1-10、

（2）已知rti基a,,a2,a.到基久几‘属的过渡矩阵为昇=01-1,求卩辰队；

、001>

（3）已知。

在基01,02,03下的坐标为（1,2,3/,求a在基0,。

2，”3下的坐标.

（I11）

解

（1）因为（0,«2，。

3）=（勺，勺，勺）011,所以基勺，纟2,勺到基的过渡矩阵为

、001>

p11）

P=011

<001丿

H11）

‘1-10、

勺00、

（2）由于（0],02，03）=（$，。

2，。

3）/=

011

01-1

010

<001,

001,

<00b

故

卩\=（1,0,0）T,02=（0丄0）「,03=（0,0,1）T.

/、

（3）设a在基apa2,a3b的坐标为（xpx2,x3）1,则有a=（a]9a2,a^x2,又

从而

/、

<1>

-1

0、

⑴

-1

—

-1

宀）

1丿

3）

<3丿

11.在R3'P取两个基

勺=（l,0,0,0）T,

02=（O,1,O,O）T,勺=（0,0,l,0）T,

S=（0,0,0,l）T,

©=（2丄-IQ,

02=（0,3,1,0）丁,

a3=（5,3,2,l）T,a4=（6,6,l,3）T.

（1）求前一个基到后一个基的过渡矩阵;

（2）

（3）

求向量（西，兀2,兀3,X4）T在后一个基下的坐标;

求在两个基下有相同坐标的向量.

解

（1）因为（,a2,03,a4）=,e2,e3,e4）

，2

-1

、1

所以前一个基到后一个基的过渡矩

阵为昇=

-1

a=J队、卩2、卩J

=（ai9a2,a3）A

<3>

⑵设向fi（XpX2,X3,A：

4）T在后一个基下的坐标为（）1歹3」）丁，则

3;i'

=（a19a2,a3,a4）

旳

宀丿

所以,

（、

£'

‘2056、

旳

=A~'

兀2

1336

兀3

-1121

丄丿

"丿

「1013,

-27

-33、

兀2

-9

-23

兀3

~27

-18

申丿

<-7

-3

26,

⑶设向量0=（西，勺，兮兀）丁在两个基下有相同的坐标，则

/、

（、

西

a=（et,e2,e3,e4）

兀2

尤3

兀2

兀3

H丿

所以（力一£）勺=0,解得G=£（1,1,1,—1）T,keR・

12.

/、

说明xOy平面上变换T=

\y）

（x}

\y）

的几何意义，其中

I。

（0

⑶A=

（01）

⑷A=

1-10丿

"兀、

<-1

0、

厂X、

⑴T

3丿

1丿

解

关于y轴对称;Iy丿

"兀、

厂0、

J丿

芒丿

（、

1）

/、

（、

——

0丿

jy丿

宀

投影到y轴;

关于直线y=x对称;

了兀、

⑷T

J丿

卫丿

-1

1）

/、

（y

7丿

，顺时针旋转9（T・

13•“阶对称矩阵的全体V对于矩阵的线性运算构成-个呼维线性空间.给定“阶矩阵P,以

/表示V中的任一元素，变换

T（A）=PtAP

称为合同变换.证明合同变换丁是V中的线性变换.

证明设/1,BgV,keR,则力丁二/1,3丁二〃，所以=A+Bf（kA=kA.从而A+B与㈠是对称矩阵.又因为

T（A+B）=円（力+b）P=pJAP+PtBP=T（A）+T（B）,

T（kA）=P'（kA）P=kPYAP=kT（A）,

所以7是U中的线性变换.

厂460、

14.设疋中a19a2,a3是一个基，且线性变换丁在此基下的矩阵为/=-3-50,

〔-3-61丿

（1）证明-$+〃2+硯，。

3，-20+硯也是R"的一个基；

（2）求线性变换卩在此基下的矩阵.

证明

（1）令0]=-$+还+磅，02=«3，属=一2$+笑，可解得

a、=卩\-02-卩3、"2=2几-2爲-03，“3=02，

这说明了0,硯，他和A，0,几可以相互线性表示，从而它们等价，所以队、队、队是R'的一个基.

（2）设线性变换卩在基久属，03下的矩阵是〃，并设从基久硯，砌到基0|,02，禹的过渡矩阵是

<-10

-2、

由条件知卩=

得p[=

-1

<11

0丿

、一1

20、

-21,从而

-1o丿

15.函数集合V3={a=（a2x2+6Z,x+6/0）^11/2,tz,,6/0gR}对于函数的线性运算构成三维线性空

间.在％屮取一个基a,=x2e\a2=xe\a.=e\求微分运算D在这个基下的矩阵.解因为

D（0）=x2ex+2xex=©+2a.+Oa3,

D（a2）=ex+xex=0©+a2+a3,

D（a3）=ex=0$+Oa2+a3,

（100、

所以微分运算D在这个基下的矩阵为210

〔011,

、

16.二阶对称矩阵的全体V3=lA=_

石,吃,忑wR对于矩阵的线性运算构成三维线性空

厂1

S1、

厂00、

0丿

<1°丿

<01>

兀2

间.在岭中取一个基4=

在％中定义合同变换

T（A）=

求7在基4,力2,九下的矩阵•

解因为

<11、

q0、

a0、

（11、

H4）=

<11丿

<01丿

二

<11丿

<00丿

1）

=力]+/I,+力3，

1丿

a0、

<11、

qo、

p1、

<0P

J1丿

<01丿

Jo>

01丿

<12丿

T（A）=

q0、

<1i>

n0）

fo0]

0、

T（A.）=

<1b

<01丿

<1b

<0b

1丿

=A3

（T（4）,t（a2）,t（a3））=（4,,4）

1丿

‘100、

所以7在基4，力2，力3下的矩阵为110

〔121,

17.设/是一个正定矩阵，向量a=（xpx2,---,x/?

）,[J=（yp…，几）•在R"中定义内积[%0|

为[/fi]=aApv•证明在这个定义之下，R"是一个Euclid空间.

证明按定义证明满足以下四条性质即对•

（1）对称性[a,0]=a/0T=（740丁）丁=0/丁刃=0力刃二[0,a].

（2）线性加性[a+0,刃=（a+0）//=04灯+0力灯二[%刃+[0,刃.

（3）线性齐性[ka90]=伙a）AfiT=k（aAflT）=k[a,0].

（4）非负性由于/是正定矩阵，所LU[a,a]=aAax是个正定二次型，从而[a,a]>0,当且仅当a=0时[a,a]=0.

18.设V是一个斤维Euclid空间，a丰Q是V中一固定向量，证明：

V]={x\[x,a]=OJxeV}是卩的一个子空间.

证明因为06V，所以％非空.再证％对两种运算封闭.

任给Xi，x2gV；,即[西,a]=0,[x2,a]=0,根据V的线性加性有[西+x2,a]=[xpa]+[x2,a]=0+0=0,从而可知x}+x2eV}.另一方面，由[kx},a]=k[xI?

a]=0可知，kx^V^.

此即证得V,={x|[x,a]=0,x€V]是V的一个子空间.

1.求二阶矩阵构成的线性空间R"2中元素力

‘0

1丿

0、

（11\

n—

<01丿

、G4-

下的坐标.

雄+^3+“4=°，k、+£3+k.、—1,

+k2+心=2,何+化,+&=-3,

解得&=0也=-1,k3=-2,^=3,所求坐标为（0,—l,—2,3）T・

2.在二阶矩阵构成的线性空间R2x2+,

（1）求基

£,=

<10、

<01、

<00、

£4=

r00、

<00>

<00丿

•、

J0>

<0b

到基

（2r

<03、

<53）

[66]

F\=

<-1L

F2=

<10丿

F3=

<21丿虫

J3,

的过渡矩阵;

（2）

分别求向量M=

&21

在基Q,£2,Eyd和基耳，耳，&九下的坐标;

（3）

解

求一个非零向量/,使得力在这两个基下的坐标相等.

（1）因为

F]—2E、+£*2—E?

F2=0E{+3E2+耳+0E4,

耳=5Q+3E2+2E3+E4,

F4=6E|+6£*2+凤+3£*斗,

（耳,耳，耳，爲）=（£\,E”耳，d）

-1

6、

3丿

所以，基Q,£2,色，d到基F1F2F3F4的过渡矩阵为

-1

6、

3丿

（2）显然M

=d||E]+auE2+021^3+。

22疋4'

得到M在基Q,E2,禺，忙4下的坐

标为（如,如,。

21，。

22）丁•设M在基£,耳，FyF4F的坐标为（开，旳，力，＞4）T'则

）v

=P1

。

】2

ai\

<>4>

<^22>

4-91271_

——1

4_]_

9~3

_2__11

<~27~93

11）

（41

11、

/、

+丁12

~a2\~

。

9八

"11

■

Q]i+q。

■

一_⑦1-

a\2

279

321

2722

佝

\。

22丿

_d]]-

311

亍22

27J

~~a\\~~a\2

十二知

L27119

27"丿

（、

/、

。

=（耳,耳，®九）

=（E],E»EyEJP

a2\

<>4>

M=（d，E2,尽，d）

（3）解方程

沪厂「22

71126

-^--a^-a2^-a22

4111

~a\\+~a\2~a2\~~^~a22

得dll=。

12=。

口=一。

22，所以

1）

A-k,RH0・

（1一1丿

3.设T是卩q维线性空间V的线性变换，T在y的基下的矩阵为

'-1-2-2-2、

2652

A二

00-1-2

、0026丿

求T在V的基0]=e，02=-&+。

2,队=一5+%/?

4=-ay+a4下的矩阵.

解（0],爲，禹丿4）=（倨,《2“

&«4）卩，

其中

0、

-1

所求矩阵

—_

B=PAP=

、0

4.设a、。

，…，％是R"的一个基.

⑴证明0,0+。

2,$+的+少，…，0+02+・・・+。

“也是R"的一个基；

（2）求由基硯,…，％到基+«2，$+斶+码,…，心+。

2+•••+%的过渡矩阵；

（3）求向量a在基a、，％％下的坐标（兀[,花,…，兀JT和在基0，$+冬，+a2+a3,…,

0+的+…+乞下的坐标（X，儿，…，儿）T间的变换公式.

解

（1）因为

‘11…1、

01...1

+…，e+°2+…+%J=（0，°2,…，"“）・..・，

••••

、00…1,

q1…p

01…1..

所以P=....,|p|=1hO,P可逆，从而向量组a】，e+a?

，+a2+a3,…，

••••

00…1?

$+冬+…+乞与向量组«!

，«2,等价，而0,色，…，％是R"的一个基，所以&,a,+a2,6Z）+a2+av…，e+砌+•••+"”也是R"的一个基.

（2）由基0,。

2,…，％到基0，

&+斶，

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