大一高等数学第九章第二节二重积分的计算法.docx

1、大一高等数学第九章第二节二重积分的计算法第二节二重积分的计算法一、二重积分在直角坐标系中的计算法二、二重积分在极坐标系中的计算法三、小结思考题练习题一、二重积分在直角坐标系中的计 算法如果积分区域为:a x f(x,y)dx.兴 切(丿)X型区域的特点:穿过区域且平行于y轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点.Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，则必须分割.在分割后的三个区域上分别使用积分公式n 勿 +u D D、 D2 D、例1 改变积分f(xyy)dy的次序.例2改变积分/（X）心的次序.解积分区域如图2J = 2-xX、= 2x -570

2、.9 1 *5 3原式=dy J二缶f f(x,y)dx.例 3 改变积分j -p/(x,j)Jy ( 0) 的次序.f(xy)dx+他(：丹八3)必+fdy0gy)必.解两曲线的交点 产二=(0,0) ,(1,1), 1兀=厂+ y)dxdy x1 + y)dyD=x - x2) + (x-x4)rfx =豊Jo 2 140例5 求JJx2ey2dxdy ,其中 D 是以0,0),(1,1),(M)为顶点的三角形.x2ey dxdy =dy x2e y dx D成的立体如图.- 卩 f 了 -exdx dy exdx.y解exdx不能用初等函数表示先改变积分次序.=f x(e ex)dx =

3、 -e -e.码 8 2例7求由下列曲面所围成的立体体积， z = x +j, z = xy 9 x + =l, x =0, j =0.所围立体在xoy面上的投影是 0 x4-j xy9 所求 =JJ(x +j- xy)daD(x-hy-xy)dy訂：住(1 一兀)+ (1-兀尸血=召二、二重积分在极坐标系中计算 法 1 1 .Aa,=-（巧 + ZV;$ 一 乙叮=-(2r； + zXrf)Ar； 22=片 Arz -+叫M“ AJJ f (x9y)dxdy = f (rcosG3rsinO)rdrd0.D D二重积分化为二次积分的公式（1）区域特征如图a0. py(pOr 02(&)JJ

4、f(rcos0rsin0)rdrd0D=f (r cos,r sin)rJr.Ja J 卩i (0)区域特征如图a V & V 0，0（&）厂 V 02（&）JJ f (rcos09rsin0)rdrdO=p dorOJa J)01 (0)f (rcosGyrsin0)rdr.CQE二重积分化为二次积分的公式（2 ）SBJJ f (r cos,r sin0)rdrdOD“ r(p2、=J do f(r cos,rsin)rJr.二重积分化为二次积分的公式（3）| f (r cos,r sinff)rdrd0D/(rcos,rsin)rJr.极坐标系下区域的面积a = rdrdO.例8写出积分f

5、(x.y)dxdy的极坐标二次积分形 式，其中积分注域D = (x9y) 1-x y l-xOxl.所以圆方程为厂=1,直线方程为厂=1-sin& + cos &SR豈例9 计算exy dxdy，其中D是由中心在 原点，半径站 的圆周所围成的闭区域.解在极坐标系下D： 0r , 002兀exydxdy = J 冷町：”皿A ex2y：dxdy 帖宀怙心 ffe dxdy.Dt S D2又 1 = ex dxdys=exldx ey dy =( e dx)2; =jjexydxdyD同理笃=fjex y dxdy=(-e1R);UH /j / I29兀“ -R2 / -X2 J 2 兀-2R2

6、(l-? )( e dx) 8 时，人一 G /Tr4 4故当Z?T8时，即(J；厂必)弓所求广义积分ex2dx =耳例11 计算+ y2)dxdy,其D为由Dx2 -F y2 = 2y 9 X2 -by2 = 4,及直线工 _ 3y= 0 , 丿一3*=0所围成的平面闭区域.x 3 j = 0 n 0、=手6X2 4-j2 = 2j = r = 2sin&Jj(x2 y2)dxdy = %2 -rdr = 15(寸一、3)D 6 S n /snag例12 计算二重积分沁字二必小, 其中积分区域为D = (x9j)I1x2 + j2 r =ay(x2 + )2)2 = 2a2(x2 y2) r

7、 =“、2cos2&,r =a、2cos2& -得交点心叫),所求面积 r = JJ dxdy = 4jJ dxdy D Dtfa . 2cos20=4 je rdr= a2(V3-).SR三、小结二重积分在直角坐标下的计算公式 jjf(x,y)dcr = y)dy. X 型f(x,y)dcr =f ；: /(x,y)x.Y型(在积分中要正确选择积分次序)二重积分在极坐标下的计算公式Jj f (r cos,r srO)rdrdG Pp 叭(8)=J dffj $ f (rcos0rsin0)rdr = J dOy f (rcos0rsinO)rdr=0 f(rcos0,rsin0)rdr.(在

8、积分中注意使用对称性)SB思考题1设/(X)也0,1上连续，并设/(x)dr =A, 求JM f(x)f(y)dy 思考题1解答v 不能直接积出，改变积分次序.令/ =jdxjxf(x)f(y)dy9 则原 =jdyf(x)f(y)dx = j/(x)dx f(y)dy,故 2“ =：/(兀)必/(刃心+ /(x)Jx f(y)dy= /(x)Jx( +f )f(y)dySR思考题2交换积分次序：C- pacosQ(a A 0) 0)所围成的闭区域，化为先对 后对工的二次积分，应为 .HR4、将二壓积分J打其中D是由直线I)y = X,X = 2及双曲线y = i(X 0)所围成的闭区X域化为

9、先对 后对 的二次积分，应为5.将二次积分力丄： 改换积分次序,应为 .6、 将二次积分改换积分次序，应为 7.将二次积分心仁f(x.y)dx改换积分次序，应为 2.画出积分区域，并计算下列二重积分：1、 其和 是由|x| + |j|1所确定的闭区域.D2、 JJX+h 一其和 是由直线y = 2=x及j = 2兀所围成的闭区域3、 沪(“必=讼厂叫如SR4* -*心如其中 ： -lSxSl,US_yS2.三、设平面薄片所占的闭区域由直线x + y = 2,y = x和r轴所围成，它的面密度p(x.y) = x2 + y2f求该 薄片的质量成的四、求由曲面z = +2丁及z = 6-2x?-，

10、？，所立体的体积.练习题1答案如宀 f(x,y)dy；4、 Ji*rfy /(x, y)dx + jrfyj /(x, y )dx ；5、 J匈:;F/g皿：.0 . ” _ pl . /r-arcsln y6、 丄切亠“丿小处订叽的/(工皿;I7、 rfx*x /(xyMyCQB练习题2一、填空题:1、 将 f2、 IM于 #2sec0secO3、 J0jo f(r)rdr；4、 f4rf0( f (r cosG,rsin0)rJr；Jo Jsec0 U1II0 n slnO |5、 J；坷 ，宀一皿厂，2-1.二、一 4(2，n2-，)；SR三、四、五、R 4、彳、尹一3)?= 1 rrj4n f (r cos 0, r sin 0)J0一4(加 f arccos+ ( rdr lar f(r cos 0,rsin0)rf0.J 2a J-urccos2a40 *3n 4 a32