大一高等数学第九章第二节二重积分的计算法.docx
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大一高等数学第九章第二节二重积分的计算法
第二节二重积分的计算法
•一、二重积分在直角坐标系中的计算法
•二、二重积分在极坐标系中的计算法
•三、小结思考题练习题
一、二重积分在直角坐标系中的计算法
如果积分区域为:
a[X—型]
其中函数©（劝、02（兀）在区间［“,6上连续・
的值等于以。
为底，以曲面z=
f（x,y）为曲顶柱体的体积.
应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,
SR
cy=fdyr2>f（x,y）dx.
兴切（丿）
X型区域的特点:
穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.
Y型区域的特点：
穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.
若区域如图，则必须分割.
在分割后的三个区域上分别
使用积分公式
n勿+u•
DD、D2D、
例1改变积分f（xyy）dy的次序.
例2改变积分
’/（X』）心的次序.
解积分区域如图
2
J=2-x
X
、
»=\2x-
5^
•
■
7
0.91
\*
・53
原式=』dyJ二缶ff（x,y）dx.
例3改变积分j^-p/（x,j）Jy（«>0）的次序.
f（x^y）dx
+他（：
丹八3）必+f"dy0gy）必.
解两曲线的交点产二=>（0,0）,（1,1）,1兀=厂
+y）dxdy{x1+y）dy
D
=x-x2）+^（x-x4）]rfx=豊・
Jo2140
例5求JJx2e'y2dxdy,其中D是以0,0）,（1,1）,
（x2e~ydxdy=^dy^x2eydxD
□□
成的立体如图.
-卩f了-
exdx^\dy\exdx.
y
解^exdx不能用初等函数表示
・•・先改变积分次序.
=fx（e—ex）dx=-e—-码82
例7求由下列曲面所围成的立体体积，z=x+j,z=xy9x+‘=l,x=0,j=0.
所围立体在xoy面上的投影是
•・•0xy9所求=JJ（x+j-xy）da
D
（x-hy-xy）dy
訂：
住（1一兀）+£（1-兀尸血=召
二、二重积分在极坐标系中计算法1^1.
Aa,=-（巧+ZV;$・一乙叮・
=-（2r；+zXrf）Ar；•
2
2
=片•Arz•
-"+叫・M
“A
JJf（x9y）dxdy=f（rcosG3rsinO）rdrd0.
DD
二重积分化为二次积分的公式
（1）
区域特征如图
a<0<.py
（p\O}JJf（rcos0^rsin0）rdrd0
D
=f（rcos^,rsin^）rJr.
JaJ卩i（0）
区域特征如图
aV&V0，
0（&）＜厂V02（&）・
JJf（rcos09rsin0）rdrdO
=\pdorO}
JaJ®©）
01（0）
f（rcosGyrsin0）rdr.
CQE
二重积分化为二次积分的公式
（2）
SB
JJf（rcos^,rsin0）rdrdO
D
“r（p2、
=Jdo]f（rcos^,rsin^）rJr.
二重积分化为二次积分的公式（3）
||f（rcos^,rsinff）rdrd0
D
/（rcos^,rsin^）rJr.
极坐标系下区域的面积a=\\rdrdO.
例8写出积分\\f（x.y）dxdy的极坐标二次积分形式，其中积分注域
D={（x9y）\1-x所以圆方程为厂=1,
直线方程为厂=^―1—-
sin&+cos&
SR
豈」
例9计算^e~x^ydxdy，其中D是由中心在原点，半径站的圆周所围成的闭区域.
解在极坐标系下
D：
0\\e~x~ydxdy=J冷町：
”皿
A^e~x2~y：
dxdy<帖宀怙心ffe'^dxdy.
DtSD2
又•・•1=^e~xdxdy
s
=e~xldxe~ydy=（[e~'dx）2;=jje~xydxdy
D\
同理笃=fje~x'ydxdy=^（\-e~1R"）;
UH
•・・/j
兀“-R2\/-X2J\2兀-2R2\
•••（l-
）<（edx）<（1-e）;
4J。
4
TTIt
当/?
—>8时，人一>G/Tr
44
故当Z?
T8时，即（J；厂必）'弓'
所求广义积分^e'x2dx=耳・
例11计算+y2）dxdy,其D为由
D
x2-Fy2=2y9X2-by2=4,及直线工_3y=0,丿一\3*=0所围成的平面闭区域.
x—\3j=0n0、=手
6
X24-j2=2j=>r=2sin&
Jj（x2y2）dxdy=%2-rdr=15（寸一、3）・
D6Sn/
snag]
例12计算二重积分□沁字¥二必小,其中积分区域为D={（x9j）I1^x2+j2<4}.
解由对称性，可只考虑第一象限部分，
D=4D\
注意：
被积函数也要有对称性.
=4『坷：
警"=-4・
SB
例13求曲线（x2+y2）2=2a2（x2-y2）
和x2+j2所围成的图形的面积.
解根据对称性有D=4巧在极坐标系下
222
x+y=a=>r=ay
（x2+）2）2=2a2（x2—y2）r=“、2cos2&,
r=a、2cos2&-
—'得交点心叫）,
所求面积fa.2cos20
=4£je£rdr
=a2（V3-^）.
SR
三、小结
二重积分在直角坐标下的计算公式jjf（x,y）dcr=y）dy.[X—型]
f（x,y）dcr=f＜；:
/（x,y）〃x.[Y—型]
（在积分中要正确选择积分次序）
二重积分在极坐标下的计算公式
Jjf（rcos^,rs\r\O）rdrdG
"Pp叭（8）
=Jdffj$f（rcos0^rsin0）rdr・
«=JdOyf（rcos0^rsinO）rdr・
=0f（rcos0,rsin0）rdr.
（在积分中注意使用对称性）
SB
思考题1
设/（X）也0,1］上连续，并设£/（x）dr=A,求JMf（x）f（y）dy・
思考题1解答
v不能直接积出，・・・改变积分次序.
令/=jdxjxf（x）f（y）dy9则原^=jdy^f（x）f（y）dx・
=j/（x）dx^f（y）dy,
故2“=」：
/（兀）必[/（刃心+£/（x）Jx£'f（y）dy
=£/（x）Jx[（£+f）f（y）dy]
SR
思考题2
交换积分次序：
C-pacosQ
（aA0）<
/=』/礼f（r,Q）dr
练习题1
填空题：
］、Jj（x'+3x2y+j'）rfo-=•其中
D
DWSMlgyMl.
2、JJxcos（x+y）da=.其中^是顶
£分别为（。
小），（“°）,（兀皿）的三角形闭区域・
3、将二重积分其中°是构轴及半
x2+j2=r2（j>0）所围成的闭区域，化为先对后对工的二次积分，应为.
HR
4、将二壓积分J打其中D是由直线
I）
y=X,X=2及双曲线y=i（X>0）所围成的闭区
X
域化为先对后对的二次积分，应为
5.将二次积分『力丄：
改换积分次序,
应为〔.
6、将二次积分改换积分次序，
应为・
7.将二次积分心仁
f（x.y）dx改换积分次序，
应为•
2.画出积分区域，并计算下列二重积分：
1、其和是由|x|+|j|<1所确定的闭区域.
D
2、JJX+h一其和是由直线
y=2』=x及j=2兀所围成的闭区域
3、沪（“必=讼「厂叫如
SR
4*-*心如其中°：
-lSxSl,US_yS2.
三、设平面薄片所占的闭区域"由直线x+y=2,y=x
和r轴所围成，它的面密度p（x.y）=x2+y2f求该薄片的质量・
成的
四、求由曲面z=+2丁’及z=6-2x?
-〉，？
，所
立体的体积.
练习题1答案
"如宀f（x,y）dy；
4、Ji*rfy£/（x,y）dx+j'rfyj/（x,y）dx；
5、J匈:
;F/g皿：
.0.”_pl./»/r-arcslny
6、丄切亠“丿小处订叽的/（工』皿;
I
7、£rfx£*x/（x’yMy・
CQB
练习题2
一、填空题:
1、将\\f*,表示为极坐
标形式的二次积分，为・
2、将^f（x.y）dxdyD为表
D
示內极坐轻形式的二次积分为.
3、将£Vf^x1+y2）dy化为极坐标形式的二
次积分亦•
4、将化为极坐标形式的二次积分
为.
三、试将对极坐标的二次积分
I•-r2acosO
/=j4n^eJ（）/（rcose,rsin0）rJr^^积分次序.
四、设平面薄片所占的闭区墀是由螺线厂=2&上一段
TT7t
弧（0VeV2）与直线°=2所围成，它的面密度为p（x,y）=x2+y2f求这薄片的质量.
底，而以曲面z为顶的曲顶柱体的体积.
练习题2答案
岸j»2cos6
、1、j2ndQyf（rcos0,rsin9）rJr；
/（rcos0,rsin0）rJr；
f—/»（cos04-sin0>
2、IM
「于#2sec0
secO
3、J^0jof（r）rdr；
4、f4rf0（f（rcosG,rsin0）rJr；
JoJsec0U1II0nslnO|
5、J；坷，宀一皿厂，\‘2-1.
二、一4（2，n2-，）；
SR
三、
四、
五、
R\4、
彳、尹一3）?
=£1r^rj4nf（rcos0,rsin0）J0
一4
（加farccos—
+（rdr\larf（rcos0,rsin0）rf0.
J2aJ-urccos—
2a
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32
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