高中数学 第一讲 坐标系 一 平面直角坐标系成长训练 新人教A版选修44.docx

1、高中数学 第一讲 坐标系 一 平面直角坐标系成长训练 新人教A版选修442019-2020年高中数学 第一讲 坐标系 一 平面直角坐标系成长训练 新人教A版选修4-4夯基达标1.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线2x2+8y2=1，则曲线C的方程为() A.50x2+72y2=1B.9x2+100y2=1 C.25x2+36y2=1D.解析:将代入曲线方程2x2+8y2=1,得2(5x)2+8(3y)2=1,即50x2+72y2=1. 答案:A2.将曲线x2+y2=1伸缩变换为的伸缩变换公式为()A.B.C.D.解析:设伸缩变换为代入=1得=1与x2+y2=1比较,得2=4

2、,2=9.=2,=3. 答案:A3.在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形. (1)5x+2y=0;(2)x2+y2=1.解:(1)由伸缩变换得到 将代入5x+2y=0,得到经过伸缩变换后的图形的方程是5x+3y=0. 经过伸缩变换后,直线仍然变成直线. (2)将代入x2+y2=1,得到经过伸缩变换后的图形的方程是=1. 经过伸缩变换后,圆可以变成椭圆.4.在同一平面直角坐标系中，将曲线x2-36y2-8x+12=0变成曲线x2-y2-4x+3=0，求满足图象变换的伸缩变换.解:设伸缩变换为将其代入方程x2-y2-4x+3=0得2x2-2y2-4x+3=0.与方程x2-

3、36y2-8x+12=0比较系数得=,=3.伸缩变换为x=5.ABC中，若BC的长度为4，中线AD的长为3，则A点的轨迹方程是_.解析:取B、C所在直线为x轴,线段BC的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系,则B(-2,0),C(2,0). 设A(x,y),则D(0,0),|AD|=3. x2+y2=9(y0). 答案:x2+y2=9(y0)6.在气象台A正西方向300千米处有一台风中心,它以每小时40千米的速度向东北方向移动,距台风中心250千米以内的地方都要受其影响.问:从现在起,大约多长时间后,气象台A所在地将遭受台风影响持续多长时间?解析:本题的解决如果从题意上考虑,较难入手解决,我们可以

4、考虑通过建立平面直角坐标系来解决. 解:如图所示,以气象台为坐标原点,正东方向为x轴正方向,建立直角坐标系.则现在台风中心B的坐标为(-300,0).根据题意,可知,t小时后,B1的坐标为(-300+40tcos45,40tsin45),即(-300+20t,20t),因为以台风中心为圆心,以250千米为半径的圆上或圆内的点将遭受台风影响,所以B1在圆上或圆内时,气象台将受台风影响. 所以令|AB1|250,即(-300+20t)2+(20t)22502,整理得16t2-120t+2750. 解得1.99t8.61. 故大约2小时后,气象台A所在地将遭受台风影响,大约持续6个半小时.7.如图,

5、已知A、B、C是直线m上的三点，且|AB|=|BC|=6，O切直线m于点A，又过B、C作O异于m的两切线，切点分别为D、E，设两切线交于点P，（1）求点P的轨迹方程; （2）经过点C的直线l与点P的轨迹交于M、N两点，且点C分所成的比等于23，求直线l的方程.解析:先根据圆切线的定义,可得到点P的轨迹是椭圆,然后建立适当的坐标系求出点P的轨迹方程来；根据定比分点坐标公式,找出相关点的坐标来,列出方程组求出点M、N的坐标,从而求出直线方程. 解:（1）|PE|=|PD|,|BD|=|BA|,|CE|=|CA|, |PB|+|PC|=|PD|+|DB|+|CE|-|PE|=|BD|+|CE|=|A

6、B|+|CA|=186=|BC|, P点轨迹是以B、C为焦点,长轴长等于18的椭圆.以B、C两点所在直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,则可设椭圆的方程是=1(ab0). a=9,c=3,b2=72. P点的轨迹方程是=1(y0). （2）设M(x1,y1)、N(x2,y2),C(3,0)分MN所成的比为, 由消去y2,得(5-x2)2+(1-)=1, 解得x2=-3,y2=8,即N(-3,8). 由C、N可得直线的方程是4x+3y-12=0或4x-3y-12=0.8.如右图,某隧道设计为双向四车道，车道总宽22 m，要求通行车辆限高4.5 m，隧道全长2.5 km，隧道的拱

7、线近似地看成半个椭圆形状.（1）若最大拱高h为6 m，则隧道设计的拱宽l是多少？（2）若最大拱高h不小于6 m，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（半个椭圆的面积公式为lh，柱体体积为底面积乘以高.结果精确到0.1 m）解析:当最大拱高h为定值时,隧道设计的拱宽l即为2a；当最大拱高h为变量时,可根据均值定理,得到椭圆面积为最小. 解:（1）如图建立坐标系,则点P(11,4.5),椭圆方程为=1.将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程,得a=,l=2a=33.3.故隧道的拱宽约为33.3 m. （2）由椭圆方程=1,得=1. 因为即ab99,且l=2a,h=b, 所

8、以S=lh=. 当S取最小值时,有,得a=11,b=,此时,l=2a=2231.1,h=b6.4. 故当拱高约为6.4 m,拱宽约为31.1 m时,土方工程量最小.9.某河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5 m时，水面宽8 m，一木船宽4 m，高2 m，载货后木船露在水面上的部分高为m，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，木船开始不能通航？解析:求抛物线方程时,若由已知条件可知曲线是抛物线,一般用待定系数法. 本题中影响通航的因素是高度和宽度,而宽度是首要的,据对称性,可取拱顶为坐标原点,拱桥的对称轴为y轴建立直角坐标系xOy,设抛物线方程为x2=-2py(p0),运用待定系数法确定参数p,问

9、题即可获解. 解:根据题意,建立右图所示的直角坐标系,设抛物线方程为x2=-2py(p0),A（4,-5）在抛物线上, 42=-2p(-5),p=1.6. x2=-3.2y(-4x4). 设当水面BB上涨到与抛物线拱顶相距h米时船开始不能通航,这时木船两侧与抛物线接触,于是可设木船宽BB的端点B的坐标为（2,y1）,由22-3.2y1,得y1-,h=|y1|+=|-|+=2（m）,所以当水面上涨到与抛物线拱顶相距2 m时,船开始不能通航.10.我们有一种数学方法：数形结合.如果要采取这种方法，基本上都是要建立适当的坐标系，我们为什么要采取这种方法呢？ 答案:坐标系的创建，在代数和几何之间架起了

10、一座桥梁.利用坐标系，我们可以方便地用代数的方法确定平面内一个点的位置，也可以方便地确定空间内一个点的位置.它使几何概念得以用代数的方法来描述，几何图形可以通过代数形式来表达，这样便可将抽象的代数方程用形象的几何图形表示出来，又可将先进的代数方法应用于几何学的研究. 建立直角坐标系，数形结合，我们可以解决许多数学问题，如函数问题就常常需要借助直角坐标系来解决.而在其他领域，坐标系与物理、化学等相关学科交织在一起，在日常生活中有着广泛的应用.如飞机航行、炮弹发射问题等等.我们生活中有这样一个例子：教室的墙壁上挂着一块黑板，它的上、下边缘分别在学生的水平视线上方a米和b米，那么学生距墙壁多远时看黑

11、板最清楚（即所张的视角最大）？ 我们就可以建立一个平面直角坐标系,运用三角函数的知识加以解决，如图所示. 平面直角坐标系是进一步学习函数、三角函数及其他坐标系的必备基础知识.走近高考1.为了得到函数y=2sin(),xR的图象,只需把函数y=2sinx,xR的图象上所有的点()A.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变) B.向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变) C.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变) D.向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)答案:C2.如图,已知直

12、线l与半径为1的D相切于点C,动点P到直线l的距离为d,若,建立适当的直角坐标系,求点P的轨迹方程.解:点P的轨迹是以点D为焦点,l为相应准线的椭圆. 由e=-c=1,解得a=,c=1,b=1. 于是以CD所在直线为x轴,以CD与D的另一交点O为坐标原点建立直角坐标系,所求点P的轨迹方程为+y2=1.3.在平面直角坐标系xOy中,有一个以F1(0,-)和F2(0, )为焦点、离心率为的椭圆.设椭圆在第一象限的部分为曲线C,动点P在C上,C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B,且向量=+.求:(1)点M的轨迹方程;(2)|的最小值.解:(1)椭圆方程可写为=1, 式中ab0,且得a2=4,

13、b2=1,所以曲线C的方程为x2+=1(x0,y0). y=2(0x1),y=-设P(x0,y0),因P在C上,有0x01,y2). (2)|2=x2+y2,y2=4+,|2=x2-1+54+5=9且当x2-1=,即x=1时,上式取等号. 故|的最小值为3.2019-2020年高中数学 第一讲 坐标系 三 简单曲线的极坐标方程成长训练 新人教A版选修4-4夯基达标1.已知点P(),若点P的极角满足-2D.|K|2解析:当=0时,sin+cos=-K,若此方程无解,由|sin+cos|,当|K|2时,方程无解. 答案:C5.在极坐标系中,点P(2,)到直线sin(-)=1的距离等于() A.1B

14、.2C.3D.1+3解法一:xP=2cos=,yP=2sin=-1, P点的直角坐标为(,-1). 又直线sin(-)=1化为直角坐标方程为y-x-1=0. P点到直线的距离为d=|-1|=1+.解法二:直线sin(-)=1与直线=平行,且距离为1. 过P点作PH垂直于直线sin(-)=1,垂足为H,设PH交直线=于M,在RtPOM中,OP=2,POM=. PM=2sin=. 故P点到直线sin(-)=1的距离为1+. 答案:D6.点M在直线cos=a(a0)上,O为极点,延长OM到P使|MP|=b(b0),则P的轨迹方程是_.解析:设M(0,0),P(,),则0cos0=a,=0+b,0=代

15、入即可. 答案:(-b)cos=a7.画出极坐标方程(-)+(-)sin=0的图形.解析:若所给曲线的极坐标方程比较复杂时,可将其方程分解因式,分解成几个常见曲线方程连乘积的形式,然后分别作出图形,放在一起即为所求方程的曲线. 解:如图,将原方程分解因式得(-)(-sin)=0,-=0, 即=为一条射线,或-sin=0为一个圆.8.证明过A(1,1)和B(2,2)两点的直线l的极坐标方程是解析:虽然所证明的方程看起来比较复杂,但是,只要我们理清求曲线方程的步骤,问题是不难解决的.我们可以利用三角形的面积法将这些量互相联系起来. 解:设M(,)为直线AB上一点,如图,SAOB=12sin(2-1

16、),SAOM=1sin(-1), SBOM=2sin(2-), 又SAOB=SAOM+SBOM, 12sin(2-1)=1sin(-1)+2sin(2-), 即9.已知圆=2,直线cos=4,过极点作射线交圆于A,直线于B,求AB中点M的轨迹方程.解:设M(,),A(1,1),B(2,2),则有 (2-2)cos=4=2sec+1.10.从原点O引直线交直线2x+4y-1=0于点M，P为OM上一点，已知|OP|OM|=1，求P点的极坐标方程.解析:先把直线化为极坐标方程,由于P点的运动与M点有关,可以利用转移法来解决问题.我们可以根据长度之间的关系式找到点P与点M坐标之间的关系. 解:如图,以

17、O为极点,x轴正方向为极轴建立坐标系后,直线的方程化为2cos+4sin-1=0. 设M(0,0),P(,), 则20cos+40sin-1=0. 又,知代入2cos+4sin-1=0, =2cos+4sin,这是一个圆(0).11.从极点O作圆C：=8cos的弦ON，求ON的中点M的轨迹方程.解析:在直角坐标系中,求曲线的轨迹方程的方法有直接法、定义法、转移法,在极坐标系中,求曲线的极坐标方程这几种方法仍然是适用的. 解法一:如图,圆C的圆心C(4,0),半径r=|OC|=4,连结CM. M为弦ON的中点, CMON.故M在以OC为直径的圆上. 所以,动点M的轨迹方程是=4cos. 解法二:

18、解法一是定义法,下面我们用转移法来解决这个问题. 设M点的坐标是(,),N(1,1). N点在圆=8cos上, 1=8cos1.(*) M是ON的中点, 将它代入(*)式得2=8cos,故M的轨迹方程是=4cos.12.O为已知圆外的定点,M在圆上,以OM为边作正三角形OMN,当点M在圆上移动时,求点N的轨迹方程(O、M、N逆时针排列).解:以O为极点,以O和已知圆圆心O所在射线为极轴,建立极坐标系,如图,设|OO|=0,圆的半径为r,那么圆的极坐标方程为2-20cos+02-r2=0, 设N(,),M(1,1), M在圆上, 12-201cos1+02-r2=0. OMN为正三角形,代入得2

19、-20cos(-)+02-r2=0,这就是点N的轨迹方程.走近高考1.(经典回放)曲线的极坐标方程=4sin化成直角坐标方程为() A.x2+(y+2)2=4B.x2+(y-2)2=4 C.(x-2)2+y2=4D.(x+2)2+y2=4解析:在=4sin两边同时乘以得2=4sin. 再利用可得x2+y2=4y, 即x2+(y-2)2=4. 答案:B2.(经典回放)在极坐标系中,过点M(2,)且平行于极轴的直线的极坐标方程是_.解析:如图所示,设P(,)为直线上任一点,连结PO,作PA垂直极轴于点A. 在RtPAO中,|PA|=2,POA=,sin=2. 所求的极坐标方程为sin=2. 答案:sin=23.(经典回放)设有半径为4的圆,它在极坐标系内的圆心的坐标为(4,),则这个圆的极坐标方程是_.解析:如图所示,设P(,)为圆上任一点,则在RtRPO中, |OR|=8,POR=-, =8cos(-),即=-8cos. 所求圆的极坐标方程是=-8cos. 答案:=-8cos