高中数学 第一讲 坐标系 一 平面直角坐标系成长训练 新人教A版选修44.docx

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高中数学第一讲坐标系一平面直角坐标系成长训练新人教A版选修44

2019-2020年高中数学第一讲坐标系一平面直角坐标系成长训练新人教A版选修4-4

夯基达标

1.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线2x＇2+8y＇2=1，则曲线C的方程为（　　）

A.50x2+72y2=1

B.9x2+100y2=1

C.25x2+36y2=1

D.

解析:

将代入曲线方程2x′2+8y′2=1,得2·（5x）2+8·（3y）2=1,即50x2+72y2=1.

答案:

A

2.将曲线x2+y2=1伸缩变换为的伸缩变换公式为（　　）

A.

B.

C.

D.

解析:

设伸缩变换为代入=1得=1与x2+y2=1比较,得λ2=4,μ2=9.∴λ=2,μ=3.

答案:

A

3.在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换

后的图形.

（1）5x+2y=0;

（2）x2+y2=1.

解:

（1）由伸缩变换

得到①

将①代入5x+2y=0,得到经过伸缩变换后的图形的方程是5x′+3y′=0.

经过伸缩变换后,直线仍然变成直线.

（2）将①代入x2+y2=1,得到经过伸缩变换后的图形的方程是

=1.

经过伸缩变换后,圆可以变成椭圆.

4.在同一平面直角坐标系中，将曲线x2-36y2-8x+12=0变成曲线x＇2-y＇2-4x＇+3=0，求满足图象变换的伸缩变换.

解:

设伸缩变换为将其代入方程x′2-y′2-4x′+3=0得λ2x2-μ2y2-4λx+3=0.

与方程x2-36y2-8x+12=0比较系数得

∴λ=,μ=3.∴伸缩变换为x′=

5.△ABC中，若BC的长度为4，中线AD的长为3，则A点的轨迹方程是________.

解析:

取B、C所在直线为x轴,线段BC的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系,则B（-2,0）,C（2,0）.

设A（x,y）,则D（0,0）,|AD|=3.

∴x2+y2=9（y≠0）.

答案:

x2+y2=9（y≠0）

6.在气象台A正西方向300千米处有一台风中心,它以每小时40千米的速度向东北方向移动,距台风中心250千米以内的地方都要受其影响.问:

从现在起,大约多长时间后,气象台A所在地将遭受台风影响持续多长时间?

解析:

本题的解决如果从题意上考虑,较难入手解决,我们可以考虑通过建立平面直角坐标系来解决.

解:

如图所示,以气象台为坐标原点,正东方向为x轴正方向,建立直角坐标系.则现在台风中心B的坐标为（-300,0）.根据题意,可知,t小时后,B1的坐标为（-300+40tcos45°,40tsin45°）,即（-300+20t,20t）,因为以台风中心为圆心,以250千米为半径的圆上或圆内的点将遭受台风影响,所以B1在圆上或圆内时,气象台将受台风影响.

所以令|AB1|≤250,即（-300+20t）2+（20t）2≤2502,整理得16t2-120t+275≤0.

解得

1.99≤t≤8.61.

故大约2小时后,气象台A所在地将遭受台风影响,大约持续6个半小时.

7.如图,已知A、B、C是直线m上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O＇切直线m于点A，又过B、C作⊙O＇异于m的两切线，切点分别为D、E，设两切线交于点P，

（1）求点P的轨迹方程;

（2）经过点C的直线l与点P的轨迹交于M、N两点，且点C分所成的比等于2∶3，求直线l的方程.

解析:

先根据圆切线的定义,可得到点P的轨迹是椭圆,然后建立适当的坐标系求出点P的轨迹方程来；根据定比分点坐标公式,找出相关点的坐标来,列出方程组求出点M、N的坐标,从而求出直线方程.

解:

（1）∵|PE|=|PD|,|BD|=|BA|,|CE|=|CA|,

∴|PB|+|PC|=|PD|+|DB|+|CE|-|PE|=|BD|+|CE|=|AB|+|CA|=18＞6=|BC|,

∴P点轨迹是以B、C为焦点,长轴长等于18的椭圆.

以B、C两点所在直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,则可设椭圆的方程是=1（a＞b＞0）.

∵a=9,c=3,∴b2=72.

∴P点的轨迹方程是=1（y≠0）.

（2）设M（x1,y1）、N（x2,y2）,∵C（3,0）分MN所成的比为,

由①②消去y2,得（5-x2）2+（1-）=1,

解得x2=-3,y2=±8,即N（-3,±8）.

∴由C、N可得直线的方程是4x+3y-12=0或4x-3y-12=0.

8.如右图,某隧道设计为双向四车道，车道总宽22m，要求通行车辆限高4.5m，隧道全长2.5km，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.

（1）若最大拱高h为6m，则隧道设计的拱宽l是多少？

（2）若最大拱高h不小于6m，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？

（半个椭圆的面积公式为lh，柱体体积为底面积乘以高.结果精确到0.1m）

解析:

当最大拱高h为定值时,隧道设计的拱宽l即为2a；当最大拱高h为变量时,可根据均值定理,得到椭圆面积为最小.

解:

（1）如图建立坐标系,则点P（11,4.5）,椭圆方程为=1.将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程,得a=,l=2a=≈33.3.故隧道的拱宽约为33.3m.

（2）由椭圆方程=1,得=1.

因为≥

即ab≥99,且l=2a,h=b,

所以S=lh=≥.

当S取最小值时,有,得a=11,b=,此时,l=2a=22≈31.1,h=b≈6.4.

故当拱高约为6.4m,拱宽约为31.1m时,土方工程量最小.

9.某河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5m时，水面宽8m，一木船宽4m，高2m，载货后木船露在水面上的部分高为m，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，木船开始不能通航？

解析:

求抛物线方程时,若由已知条件可知曲线是抛物线,一般用待定系数法.

本题中影响通航的因素是高度和宽度,而宽度是首要的,据对称性,可取拱顶为坐标原点,拱桥的对称轴为y轴建立直角坐标系xOy,设抛物线方程为x2=-2py（p＞0）,运用待定系数法确定参数p,问题即可获解.

解:

根据题意,建立右图所示的直角坐标系,设抛物线方程为x2=-2py（p＞0）,

∵A（4,-5）在抛物线上,

∴42=-2p（-5）,p=1.6.

∴x2=-3.2y（-4≤x≤4）.

设当水面BB′上涨到与抛物线拱顶相距h米时船开始不能通航,这时木船两侧与抛物线接触,于是可设木船宽BB′的端点B的坐标为（2,y1）,由22＝-3.2y1,得y1＝-,h=|y1|+=|-|+=2（m）,所以当水面上涨到与抛物线拱顶相距2m时,船开始不能通航.

10.我们有一种数学方法：

数形结合.如果要采取这种方法，基本上都是要建立适当的坐标系，我们为什么要采取这种方法呢？

答案:

坐标系的创建，在代数和几何之间架起了一座桥梁.利用坐标系，我们可以方便地用代数的方法确定平面内一个点的位置，也可以方便地确定空间内一个点的位置.它使几何概念得以用代数的方法来描述，几何图形可以通过代数形式来表达，这样便可将抽象的代数方程用形象的几何图形表示出来，又可将先进的代数方法应用于几何学的研究.

建立直角坐标系，数形结合，我们可以解决许多数学问题，如函数问题就常常需要借助直角坐标系来解决.而在其他领域，坐标系与物理、化学等相关学科交织在一起，在日常生活中有着广泛的应用.如飞机航行、炮弹发射问题等等.我们生活中有这样一个例子：

教室的墙壁上挂着一块黑板，它的上、下边缘分别在学生的水平视线上方a米和b米，那么学生距墙壁多远时看黑板最清楚（即所张的视角最大）？

我们就可以建立一个平面直角坐标系,运用三角函数的知识加以解决，如图所示.

平面直角坐标系是进一步学习函数、三角函数及其他坐标系的必备基础知识.

走近高考

1.为了得到函数y=2sin（）,x∈R的图象,只需把函数y=2sinx,x∈R的图象上所有的点（　　）

A.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）

B.向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）

C.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）

D.向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）

答案:

C

2.如图,已知直线l与半径为1的⊙D相切于点C,动点P到直线l的距离为d,若,建立适当的直角坐标系,求点P的轨迹方程.

解:

∵

∴点P的轨迹是以点D为焦点,l为相应准线的椭圆.

由e=-c=1,解得a=,c=1,b==1.

于是以CD所在直线为x轴,以CD与⊙D的另一交点O为坐标原点建立直角坐标系,所求点P的轨迹方程为+y2=1.

3.在平面直角坐标系xOy中,有一个以F1（0,-）和F2（0,）为焦点、离心率为的椭圆.设椭圆在第一象限的部分为曲线C,动点P在C上,C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B,且向量=+.求:

（1）点M的轨迹方程;

（2）||的最小值.

解:

（1）椭圆方程可写为=1,

式中a>b>0,且

得a2=4,b2=1,所以曲线C的方程为x2+=1（x>0,y>0）.

y=2（0

y′=-

设P（x0,y0）,因P在C上,有0

设A（x,0）和B（0,y）,由切线方程得x=,y=

由=+得M的坐标为（x,y）,由x0、y0满足C的方程,得点M的轨迹方程为=1（x>1,y>2）.

（2）∵||2=x2+y2,

y2=

=4+,

∴||2=x2-1++5≥4+5=9且当x2-1=,即x=>1时,上式取等号.

故||的最小值为3.

2019-2020年高中数学第一讲坐标系三简单曲线的极坐标方程成长训练新人教A版选修4-4

夯基达标

1.已知点P（）,若点P的极角θ满足-π<θ<π,ρ∈R,下列点中与点P重合的是（　　）

A.

B.

C.

D.

解析:

当-π≤θ≤π时,ρ≥0（或ρ≤0）时,除极点外,点极坐标分别为唯一.当ρ∈R时,一个点的极坐标只有两个形式:

（-,-）或（2,）.

答案:

D

2.圆ρ=2（cosθ+sinθ）的圆心的坐标是（　　）

A.（1,）

B.（）

C.（）

D.（2,）

解析:

圆的方程可化为ρ=2cos（θ-）.

这是ρ=2rcos（θ-θ0）形式,它的圆心为O′（r,θ0）,本题也可化为直角坐标方程求解.

答案:

A

3.极坐标系中,方程ρ=cosθ（θ∈［0,π］,ρ∈R）表示的曲线是（　　）

A.以（,0）为圆心,半径为的上半个圆

B.以（,0）为圆心,半径为的圆

C.以（1,0）为圆心,半径为的上半个圆

D.以（,）为圆心,半径为的圆

解析:

当ρ≥0时,θ∈［0,］,方程ρ=cosθ表示上半个圆,半径为,当ρ≤0时,θ∈［,π］,方程表示下半个圆,半径为.

答案:

B

4.方程ρ=sinθ+cosθ+K的曲线不经过极点,则K的取值范围是（　　）

A.K≠0

B.K∈R

C.|K|>2

D.|K|≤2

解析:

当ρ=0时,sinθ+cosθ=-K,若此方程无解,由|sinθ+cosθ|≤,∴当|K|>2时,方程无解.

答案:

C

5.在极坐标系中,点P（2,）到直线ρsin（θ-）=1的距离等于（　　）

A.1

B.2

C.3

D.1+3

解法一:

∵xP=2cos=,yP=2sin=-1,

∴P点的直角坐标为（,-1）.

又直线ρsin（θ-）=1化为直角坐标方程为y-x-1=0.

∴P点到直线的距离为d=|--·-1|=1+.

解法二:

直线ρsin（θ-）=1与直线θ=平行,且距离为1.

过P点作PH垂直于直线

ρsin（θ-）=1,垂足为H,设PH交直线θ=于M,在Rt△POM中,OP=2,∠POM=.

∴PM=2sin=.

故P点到直线ρsin（θ-）=1的距离为1+.

答案:

D

6.点M在直线ρcosθ=a（a>0）上,O为极点,延长OM到P使|MP|=b（b>0）,则P的轨迹方程是________.

解析:

设M（ρ0,θ0）,P（ρ,θ）,则ρ0cosθ0=a,ρ=ρ0+b,θ0=θ代入即可.

答案:

（ρ-b）cosθ=a

7.画出极坐标方程（θ-）ρ+（-θ）sinθ=0的图形.

解析:

若所给曲线的极坐标方程比较复杂时,可将其方程分解因式,分解成几个常见曲线方程连乘积的形式,然后分别作出图形,放在一起即为所求方程的曲线.

解:

如图,将原方程分解因式得（θ-）（ρ-sinθ）=0,∴θ-=0,

即θ=为一条射线,或ρ-sinθ=0为一个圆.

8.证明过A（ρ1,θ1）和B（ρ2,θ2）两点的直线l的极坐标方程是

解析:

虽然所证明的方程看起来比较复杂,但是,只要我们理清求曲线方程的步骤,问题是不难解决的.我们可以利用三角形的面积法将这些量互相联系起来.

解:

设M（ρ,θ）为直线AB上一点,如图,∵S△AOB=ρ1ρ2sin（θ2-θ1）,S△AOM=ρρ1sin（θ-θ1）,

S△BOM=ρρ2sin（θ2-θ）,

又S△AOB=S△AOM+S△BOM,

∴ρ1ρ2sin（θ2-θ1）=ρρ1sin（θ-θ1）+ρρ2sin（θ2-θ）,

即

9.已知圆ρ=2,直线ρcosθ=4,过极点作射线交圆于A,直线于B,求AB中点M的轨迹方程.

解:

设M（ρ,θ）,A（ρ1,θ1）,B（ρ2,θ2）,则有

∴（2ρ-2）cosθ=4ρ=2secθ+1.

10.从原点O引直线交直线2x+4y-1=0于点M，P为OM上一点，已知|OP|·|OM|=1，求P点的极坐标方程.

解析:

先把直线化为极坐标方程,由于P点的运动与M点有关,可以利用转移法来解决问题.我们可以根据长度之间的关系式找到点P与点M坐标之间的关系.

解:

如图,以O为极点,x轴正方向为极轴建立坐标系后,直线的方程化为2ρcosθ+4ρsinθ-1=0.

设M（ρ0,θ0）,P（ρ,θ）,

则2ρ0cosθ+4ρ0sinθ-1=0.

又,知

代入2cosθ+4sinθ-1=0,

∴ρ=2cosθ+4sinθ,这是一个圆（ρ≠0）.

11.从极点O作圆C：

ρ=8cosθ的弦ON，求ON的中点M的轨迹方程.

解析:

在直角坐标系中,求曲线的轨迹方程的方法有直接法、定义法、转移法,在极坐标系中,求曲线的极坐标方程这几种方法仍然是适用的.

解法一:

如图,圆C的圆心C（4,0）,半径r=|OC|=4,连结CM.

∵M为弦ON的中点,

∴CM⊥ON.故M在以OC为直径的圆上.

所以,动点M的轨迹方程是ρ=4cosθ.

解法二:

解法一是定义法,下面我们用转移法来解决这个问题.

设M点的坐标是（ρ,θ）,N（ρ1,θ1）.

N点在圆ρ=8cosθ上,

∴ρ1=8cosθ1.（*）

∵M是ON的中点,

∴将它代入（*）式得2ρ=8cosθ,故M的轨迹方程是ρ=4cosθ.

12.O为已知圆外的定点,M在圆上,以OM为边作正三角形OMN,当点M在圆上移动时,求点N的轨迹方程（O、M、N逆时针排列）.

解:

以O为极点,以O和已知圆圆心O′所在射线为极轴,建立极坐标系,如图,设|OO′|=ρ0,圆的半径为r,那么圆的极坐标方程为ρ2-2ρ0ρcosθ+ρ02-r2=0,

设N（ρ,θ）,M（ρ1,θ1）,

∵M在圆上,

∴ρ12-2ρ0ρ1cosθ1+ρ02-r2=0.①

∵△OMN为正三角形,∴

代入①得ρ2-2ρ0ρcos（θ-）+ρ02-r2=0,这就是点N的轨迹方程.

走近高考

1.（经典回放）曲线的极坐标方程ρ=4sinθ化成直角坐标方程为（　　）

A.x2+（y+2）2=4

B.x2+（y-2）2=4

C.（x-2）2+y2=4

D.（x+2）2+y2=4

解析:

在ρ=4sinθ两边同时乘以ρ得ρ2=4ρ·sinθ.

再利用

可得x2+y2=4y,

即x2+（y-2）2=4.

答案:

B

2.（经典回放）在极坐标系中,过点M（2,）且平行于极轴的直线的极坐标方程是________.

解析:

如图所示,设P（ρ,θ）为直线上任一点,连结PO,作PA垂直极轴于点A.

在Rt△PAO中,|PA|=2,∠POA=θ,∴ρsinθ=2.

∴所求的极坐标方程为ρsinθ=2.

答案:

ρsinθ=2

3.（经典回放）设有半径为4的圆,它在极坐标系内的圆心的坐标为（4,π）,则这个圆的极坐标方程是________.

解析:

如图所示,设P（ρ,θ）为圆上任一点,则在Rt△RPO中,

|OR|=8,∠POR=π-θ,

∴ρ=8cos（π-θ）,即ρ=-8cosθ.

∴所求圆的极坐标方程是ρ=-8cosθ.

答案:

ρ=-8cosθ