普通高考数学一轮复习第25讲平面向量的概念及运算精品学案.docx

1、普通高考数学一轮复习第25讲平面向量的概念及运算精品学案2020年普通高考数学科一轮复习精品学案第25讲 平面向量的概念及运算一课标要求：(1)平面向量的实际背景及基本概念通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理 解向量的几何表示；(2 )向量的线性运算1通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义；2通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义；3了解向量的线性运算性质及其几何意义。(3)平面向量的基本定理及坐标表示1了解平面向量的基本定理及其意义；2掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运

2、算；4理解用坐标表示的平面向量共线的条件。二.命题走向本讲内容属于平面向量的基础性内容，与平面向量的数量积比较出题量较小。以选择题、 填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、 实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。此类题难度不大，分值 59分。预测2020年高考：(1)题型可能为1道选择题或1道填空题；(2)出题的知识点可能为以平面图形为载体表达平面向量、借助基向量表达交点位置或 借助向量的坐标形式表达共线等问题。三要点精讲1.向量的概念1向量既有大小又有方向的量。向量一般用 a,b,c来表示，或用有向线段的起点与终点的uuu uu

3、u - -大写字母表示，如： AB几何表示法 AB , a ；坐标表示法a xi y j (x, y)。向量的大uuu小即向量的模(长度)，记作| AB |即向量的大小，记作丨a |。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。2零向量长度为0的向量，记为0,其方向是任意的，0与任意向量平行 零向量a = 0 I a I =0。由于0的方向是任意的，且规定 0平行于任何向量，故在有关向量平行(共线)的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。 (注意与0的区别)3单位向量模为1个单位长度的向量，向量 a0为单位向量 I a0 I= 1。4平行向量(共线向量)方向相同或相反的非零向量。任意一组平

4、行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作 a / b。由于向量可以进行任意的平移 (即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、 的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。5相等向量X2 y2长度相等且方向相同的向量 相等向量经过平移后总可以重合，记为 a b。大小相等，方向相同 (x，yj (x2, y2)yi2.向量的运算(i)向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法。uuu LULT

5、 BC =ACuuu r uuu r r uuu设 AB a,BC b，贝U a + b =AB规定：(1)0 a a 0 a ；(2)向量加法满足交换律与结合律；向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”(1)用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始 点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。(2)三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终 点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。当两个向量的起点公共时， 用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时， 用三角形法则。向量加

6、法的三角形法则可推广至多个向量相加UUUUULTUUUTUULTUUUUUUABBCCDLPQQRAR，但这时必须“首尾相连”。(2)向量的减法1相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做 a的相反向量。(i) ( a) = a ; (ii)记作 a ,零向量的相反向量仍是零向量。关于相反向量有:a+( a)=( a)+ a = 0 ; (iii) 若 a、b 是互为相反向量，则 a= b , b = a , a +b =0。2向量减法向量a加上b的相反向量叫做 a与b的差，记作：a b a ( b)求两个向量差的运算，叫做向量的减法。3作图法：a b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量(

7、a、b有共同起点)(3 )实数与向量的积1实数入与向量a的积是一个向量，记作 入a，它的长度与方向规定如下:(I)a a ；(n)当 o时，入a的方向与a的方向相同；当 0时，入a的方向与a的方向相反；当 0时，a 0,方向是任意的。2数乘向量满足交换律、结合律与分配律。3.两个向量共线定理：向量b与非零向量a共线 有且只有一个实数 ，使得b= a。4.平面向量的基本定理如果8,e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数i, 2使：a iei 2e2其中不共线的向量ei,e2叫做表示这一平面内所有向量的组基底。5.平面向量的坐标表示(1)平面向量的坐标表

8、示：在直角坐标系中，分别取与 x轴、y轴方向相同的两个单位r r r r向量i , j作为基底 由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量 a可表示成a xi yj ,由于a与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y),其中x叫 作a在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标。规定：(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量；(2 )向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位 置有关系。 (2 )平面向量的坐标运算：四.典例解析题型1:平面向量的概念例1 . (1)给出下列命题：r r1若 | ai = | b |，则 a

9、 = b ；UULff uuir2若a B, C, D是不共线的四点，则AB DC是四边形ABCD平行四边形的充要条件;r r r r r r3若 a = b, b =c，贝U a = c；4a=b的充要条件是I api bi且a b；r r5若 a/ b , b C，则 5/ C ；其中正确的序号是 。（2）设ao为单位向量，（1 ）若a为平面内的某个向量，贝U a=| a| ao ;（2）若a与a。平行，则a=| a| ao ；（ 3 ）若a与a。平行且| a |=i，则a = a。上述命题中，假命题个数 是（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3解析：（1 不正确两个向量的长度相等，

10、但它们的方向不一定相同；uuu UULT uuu uuir UUU UULT2正确； AB DC , I AB I I DC |且 AB/ DC ,又A, B, C, D是不共线的四点， 四边形 ABC助平行四边形；反之，若四边形 ABCDUUU UULT uuu uuur为平行四边形，则， AB / DC且I AB| I DC |,ULU UJIT因此，AB DC。r r3正确； a=b, a, b的长度相等且方向相同；r r又b = C , b , C的长度相等且方向相同， a, c的长度相等且方向相同，故a=c。r r r r4不正确；当a b且方向相反时，即使I 5i=i b I，也不

11、能得到a = b，故I 5i=i b I且r ra b不是a=b的充要条件，而是必要不充分条件；5不正确；考虑b=0这种特殊情况；综上所述，正确命题的序号是。点评：本例主要复习向量的基本概念。向量的基本概念较多，因而容易遗忘。为此，复习时一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想。w fe- （2）向量是既有大小又有方向的量， a与| a| ao模相同，但方向不一定相同，故（ 1）是假命题；若 a与ao平行，则a与ao方向有两种情况：一是同向二是反向，反向时 a =- | a| ao，故（2）、（3）也是假命题。综上所述，答案选 Do点评：向量的概念较多，且

12、容易混淆，故在学习中要分清，理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量等概念。题型2:平面向量的运算法则uuu r uuu r r例2. （1 ）如图所示，已知正六边形 ABCDEFO是它的中心，若BA=a , BC=b，试用a ,r uuu uuu uiurb 将向量 OE , BF , BD ,uuuFD表示出来。(2) (06上海理,13)如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是(A. AB = DC B .AD + AB = AC C . AB AD = BD D . AD + CB = 0(3) (06广东，4)如图1所示,D是厶ABC的边AB上的点，则向量CD

13、(1A. BC BA2C. BC 丄 BA2)1B . BC -BA2一 1一D . BC - BA2C(1)解析：根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则，用向量ra, b来表示其他向量，只要考虑它们是哪些平行四边形或三角形的边即可。因为六边形 ABCDE是正六边形，所以它的中心 O及顶点A,B,C四点构成平行四边形 ABCOuuu uuur uuu uuu uuur uuu r r uuiu所以 BA BC BA AO BO , BO = a + b, OE =uuu r r BO = a + b,由于代B, O, F四点也构成平行四边形 ABOF所以uuu uuiu uuur uu

14、iu uuu r r r r r BF = BO + OF =BO+BA=a + b+ a=2a+b ,p 胡C Duuur uuu同样在平行四边形BCDO中 , BD = BCuuiu CD =uuu uuu r r r r r uuu uuur BC BO = b + ( a + b) = a + 2 b , Fd = BCurn r BA = b点评：其实在以A, B, C, D, E, F及O七点中，任两点为起点和终点，均可用表 r b ra示，且可用规定其中任两个向量为b，另外任取两点为起点和终点，也可用b表示。(2)C.(3)CD CB BDB、C、Duuu uuu AB BCuu

15、uCD1 -BC BA，故选 Ao2O是平面上的任意五点，试化简:uuur，DBuuurACuuirBD ,uuu uuur OA OCuuuOBuuur CO。uuu解析：原式=(ABuuur BC)uurCDuurACuuur uult CD AD ；原式=uuu:(DBuuu BD)uuurACr uuur0 ACuuur AC;uuuuuuuuuruuuuuuuuuruuur uuu r uuu原式=:(OBOA)(OCCO)AB(OCCO) AB 0 AB例4.设x为未知向量,a、b为已知向量,解方程or r r r 12x(5a+3x4b)+23b =0r r r 1 r r r解

16、析：原方程可化为：(2 x 3x) + ( 5a+ a) + (4 b 3b) = 0 ,2r 9 r r x = a+ b。2点评：平面向量的数乘运算类似于代数中实数与未知数的运算法则，求解时兼顾到向量 的性质。题型3 :平面向量的坐标及运算uuur 例 5 已知 ABC 中，A(2, 1) , B(3,2) , C( 3,1),BC 边上的高为 AD,求 AD。unr解析：设D(x,y)，则ADx2,yuu1 ,BDuuux 3, y 2 ,BCb, 3unr mur murAD BC,BDuuuBC6 x 2 3 y10得x13 x 3 6 y20y1nur所以AD 1,2题型4 :平面

17、向量的性质(3) d c x 4, y 1 ,5 b 2,44x4 2 y 1 0/白 x3fX5由题意得 2 2 ，得 或x 4 y 1 5 y1y3例 &已知 a (1,0),b (2,1).(1 )求 | a 3b | ；(2)当k为何实数时，k a b与a 3b平行， 平行时它们是同向还是反向?解析：(1)因为 a (1,0), b (2,1). 所以 a 3b (7,3)则 |a 3b| - 72 32 58(2)k a b(k2, 1),a 3b(7,3)因为k a b与a3b平行,所以3( k2) 710即得k37r r此时k a b(k2, 1)(,1),a 3b(7,3)，则

18、 a 3b3(ka b)，即此rr3时向量a3b 与 kab方向相反。点评：上面两个例子重点解析了平面向量的性质在坐标运算中的体现，重点掌握平面向 量的共线的判定以及平面向量模的计算方法。题型5:共线向量定理及平面向量基本定理例9.平面直角坐标系中， O为坐标原点，已知两点 A (3, 1), B (- 1, 3),若点C满足OC OA OB，其中a、卩 R,且a + 3 =1,则点C的轨迹方程为( )2 2A. 3x+2y 11=0 B. (x 1) + (y 2) =5C. 2xy=0D. x+2y 5=0解法一：uut设 C x,y，则 OCUUx,y ,OAuut3,1 ,OB 1,3

19、 oLULT 由OCULU OAuuuOB 得 x, y 3 ,33,3x3X, A A于是 y3 ，先消去，由1x 4 1得 。1y 3 2再消去得x2y 5 0 ,所以选取Do解法二：由平面向量共线定理，LUUULUuuu当OCOAOB ,1时，A、B C共线。因此，点C的轨迹为直线 AB,由两点式直线方程得 x 2y 5 0即选Dt 点评：熟练运用向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则进行运算；两个向量平行的坐标表示；运用向量的坐标表示，使向量的运算完全代数化，将数与形有机的结合。 * * * *例 10.( 1)已知丨 OA 丨=1,丨 OB I =J3,OA?OB=0,点 C

20、 在/ AOB，且/ AOC30。，例11.已知向量u (x, y)与v ( y,2 y x)的对应关系用(1)证明：对于任意向量 a,b及常数m n恒有f (ma nb) mf(a)nf (b)成立; r r(2 )设 a (1,1),b (1,0)，求向量 f(a)及 f(b)的坐标；(3)求使f(C) ( p, q) , (p, q为常数)的向量C的坐标解析：(1 )设 a (q,a2),b (bj,b2)，则 mlf(ma nb) (ma2 nb2,2ma2 2nb2 mq n)m(a2,2a2 a1) n(b2,2t)2 b1)，r r r rf (ma nb) mf (a) nf

21、(b)(2)由已知得 f(a)= (1, 1), f(b) =(3)设 c= (x, y),则 f (c) (y,2y y=p, x=2p-q,即卩 c= (2P- q, p)。例12.求证：起点相同的三个非零向量uun r uuu r证明：设起点为0, OA = a , OB =b ,(0, 1)x) (p,q),r ra, b , 3$ 2b的终点在同一条直线上。uuur r rOC = 3a 2b ,uuur 则 ACuuurOCuuur r r uuurOA=2（ ab） ， ABuuur uuur r r uuur OB OA=ba， ACuuur2AB，uuur uuurAC, A

22、B共线且有公共点 A,因此，A B, C三点共线,rr即向量a , b , 3a -2b的终点在同一直线上.点评：（1）利用向量平行证明三点共线，需分两步完成： 证明向量平行； 说明两个向量有公共点；用向量平行证明两线段平行也需分两步完成：证明向量平行；说明两向量无公共 点。五思维总结数学教材是学习数学基础知识、形成基本技能的“蓝本” ,能力是在知识传授和学习过程 中得到培养和发展的。新课程试卷中平面向量的有些问题与课本的例习题相同或相似，虽然 只是个别小题，但它对学习具有指导意义，教学中重视教材的使用应有不可估量的作用。因 此，学习阶段要在掌握教材的基础上把各个局部知识按照一定的观点和方法组

23、织成整体，形 成知识体系。学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几 何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算 向量的模、两点的距离等。由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、 解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点。（1） 向量的加法与减法是互逆运算；（2） 相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件；（3） 向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合） ，而向量平行则包括 共线（重合）的情况；（4） 向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位 置有关系；