普通高考数学一轮复习第25讲平面向量的概念及运算精品学案.docx
《普通高考数学一轮复习第25讲平面向量的概念及运算精品学案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《普通高考数学一轮复习第25讲平面向量的概念及运算精品学案.docx（19页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
普通高考数学一轮复习第25讲平面向量的概念及运算精品学案
2020年普通高考数学科一轮复习精品学案
第25讲平面向量的概念及运算
一•课标要求：
（1）平面向量的实际背景及基本概念
通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示；
（2）向量的线性运算
1通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义；
2通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义；
3了解向量的线性运算性质及其几何意义。
（3）平面向量的基本定理及坐标表示
1了解平面向量的基本定理及其意义；
2掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；
3会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；
4理解用坐标表示的平面向量共线的条件。
二.命题走向
本讲内容属于平面向量的基础性内容，与平面向量的数量积比较出题量较小。
以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。
此类题难度不大，分值5~9
分。
预测2020年高考：
（1）题型可能为1道选择题或1道填空题；
（2）出题的知识点可能为以平面图形为载体表达平面向量、借助基向量表达交点位置或借助向量的坐标形式表达共线等问题。
三•要点精讲
1.向量的概念
1向量
既有大小又有方向的量。
向量一般用a,b,c……来表示，或用有向线段的起点与终点的
uuuuuu--
大写字母表示，如：
AB几何表示法AB,a；坐标表示法axiyj（x,y）。
向量的大
uuu
小即向量的模（长度），记作|AB|即向量的大小，记作丨a|。
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
2零向量
长度为0的向量，记为0,其方向是任意的，0与任意向量平行零向量a=0IaI=0。
由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题
中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。
（注意与0的区别）
3单位向量
模为1个单位长度的向量，向量a0为单位向量Ia0I=1。
4平行向量（共线向量）
方向相同或相反的非零向量。
任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相
反的向量，称为平行向量，记作a//b。
由于向量可以进行任意的平移（即自由向量），平行
向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。
数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必
须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平
行”与几何中的“平行”是不一样的。
5相等向量
X2y2
长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为ab。
大小相等，
方向相同（x，yj（x2,y2）
yi
2.向量的运算
（i）向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法。
uuuLULTBC=AC
uuuruuurruuu
设ABa,BCb，贝Ua+b=AB
规定：
（1）0aa0a；
（2）向量加法满足交换律与结合律；
向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”
（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。
（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。
当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。
向
量加
法
的
三角
形
法则可推广至多个向量相加
UUU
UULT
UUUT
UULT
UUU
UUU
AB
BC
CD
L
PQ
QR
AR
，但这时必须
“首尾相连”。
（2）向量的减法
1相反向量：
与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量。
（i）（a）=a;（ii）
记作a,零向量的相反向量仍是零向量。
关于相反向量有:
a+（a）=（a）+a=0;（iii）若a、b是互为相反向量，则a=b,b=a,a+b=0。
2向量减法
向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，
记作：
aba（b）求两个向量差的运算，叫做向量的减法。
3作图法：
ab可以表示为从b的终点指向a的终点的向量（a、b有共同起点）
（3）实数与向量的积
1实数入与向量a的积是一个向量，记作入a，它的长度与方向规定如下:
（I）aa；
（n）当o时，入a的方向与a的方向相同；当0时，入a的方向与a的方向相反；
当0时，a0,方向是任意的。
2数乘向量满足交换律、结合律与分配律。
3.两个向量共线定理：
向量b与非零向量a共线有且只有一个实数，使得b=a。
4.平面向量的基本定理
如果8,e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有
一对实数i,2使：
aiei2e2其中不共线的向量ei,e2叫做表示这一平面内所有向量的
—组基底。
5.平面向量的坐标表示
（1）平面向量的坐标表示：
在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位
rrrr
向量i,j作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a可表示成axiyj,
由于a与数对（x,y）是一一对应的，因此把（x,y）叫做向量a的坐标，记作a=（x,y）,其中x叫作a在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标。
规定：
（1）相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量；
（2）向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系。
（2）平面向量的坐标运算：
四.典例解析
题型1:
平面向量的概念
例1.
（1）给出下列命题：
rr
1若|ai=|b|，则a=b；
UULffuuir
2若aB,C,D是不共线的四点，则ABDC是四边形ABCD^平行四边形的充要条件;
rrrrrr
3若a=b,b=c，贝Ua=c；
4a=b的充要条件是Iapibi且a〃b；
rr
5若a//b,b〃C，则5//C；
其中正确的序号是。
（2）设ao为单位向量，
（1）若a为平面内的某个向量，贝Ua=|a|•ao;
（2）若a与a。
平行，则a=|a|•ao；（3）若a与a。
平行且|a|=i，则a=a。
。
上述命题中，假命题个数是（）
A.0B.1C.2D.3
解析：
（1［①不正确•两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同；
uuuUULTuuuuuirUUUUULT
2正确；•••ABDC,•••IABIIDC|且AB//DC,
又A,B,C,D是不共线的四点，•四边形ABC助平行四边形；反之，若四边形ABCD
UUUUULTuuuuuur
为平行四边形，则，AB//DC且IAB|IDC|,
ULUUJIT
因此，ABDC。
rr
3正确；•••a=b,•a,b的长度相等且方向相同；
rr
又b=C,•b,C的长度相等且方向相同，
•a,c的长度相等且方向相同，故a=c。
rrrr
4不正确；当a〃b且方向相反时，即使I5i=ibI，也不能得到a=b，故I5i=ibI且
rr
a〃b不是a=b的充要条件，而是必要不充分条件；
5不正确；考虑b=0这种特殊情况；
综上所述，正确命题的序号是②③。
点评：
本例主要复习向量的基本概念。
向量的基本概念较多，因而容易遗忘。
为此，复
习时一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联
想。
—w—fe-—»
（2）向量是既有大小又有方向的量，a与|a|ao模相同，但方向不一定相同，故
（1）
是假命题；若a与ao平行，则a与ao方向有两种情况：
一是同向二是反向，反向时a=-|a|ao，故
（2）、（3）也是假命题。
综上所述，答案选Do
点评：
向量的概念较多，且容易混淆，故在学习中要分清，理解各概念的实质，注意区
分共线向量、平行向量、同向向量等概念。
题型2:
平面向量的运算法则
uuuruuurr
例2.
（1）如图所示，已知正六边形ABCDEFO是它的中心，若BA=a,BC=b，试用a,
ruuuuuuuiur
b将向量OE,BF,BD,
uuu
FD表示出来。
（2）（06上海理,
13）如图，在平行四边形
ABCD中，下列结论中错误的是（
A.AB=DCB.
AD+AB=ACC.AB—AD=BDD.AD+CB=0
（3）（06广东，4）如图1所示,
D是厶ABC的边AB上的
点，则向量CD（
1
A.BCBA
2
C.BC丄BA
2
）
1
B.BC-BA
2
一1一
D.BC-BA
2
C
（1）解析：
根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则，用向量
r
a,b来表示
其他向量，只要考虑它们是哪些平行四边形或三角形的边即可。
因为六边形ABCDE是正六边形，所以它的中心O及顶点A,B,C四点构成平行四边形ABCO
uuuuuuruuuuuuuuuruuurruuiu
所以BABCBAAOBO,BO=a+b,OE=
uuurrBO=a+b,
由于代B,O,F四点也构成平行四边形ABOF所以
uuuuuiuuuuruuiuuuurrrrrBF=BO+OF=BO+BA=a+b+a=2a+b,
p"■胡■
CD
uuuruuu
同样在平行四边形BCDO中,BD=BC
uuiuCD=
uuuuuurrrrruuuuuurBCBO=b+（a+b）=a+2b,Fd=BC
urnrBA=b
点评：
其实在以
A,B,C,D,E,F及O七点中，任两点为起点和终点，均可用
表rbra
示，且可用规定其中任两个向量为
b，另外任取两点为起点和终点，也可用
b表示。
（2）
C.
（3）
CDCBBD
B、C、D
uuuuuu
①ABBC
uuu
CD
1-
BCBA，故选Ao
2
O是平面上的任意五点，试化简:
uuur
，②DB
uuur
AC
uuir
BD,
uuuuuur
③OAOC
uuu
OB
uuurCO。
uuu
解析：
①原式=（AB
uuurBC）
uur
CD
uur
AC
uuuruultCDAD；
②原式=
uuu
:
（DB
uuuBD）
uuur
AC
ruuur
0AC
uuurAC
;
uuu
uuu
uuur
uuu
uuu
uuur
uuuruuuruuu
③原式=
:
（OB
OA）
（OC
CO）
AB
（OC
CO）AB0AB
例4.设x为未知向量,
a、b为已知向量,
解方程
o
rrrr1
2x（5a+3x4b）+2
3b=0
rrr1rrr
解析：
原方程可化为：
（2x3x）+（5a+a）+（4b3b）=0,
2
r9rr■■x=a+b。
2
点评：
平面向量的数乘运算类似于代数中实数与未知数的运算法则，求解时兼顾到向量的性质。
题型3:
平面向量的坐标及运算
uuur例5•已知ABC中，A（2,—1）,B（3,2）,C（—3,1）,BC边上的高为AD,求AD。
unr
解析：
设D（x,y），则AD
x
2,y
uu
1,BD
uuu
x3,y2,BC
b,3
unrmurmur
ADBC,BD
uuu
BC
6x23y
1
0得
x
1
3x36y
2
0
y
1
nur
所以AD1,2
题型4:
平面向量的性质
（3）dcx4,y1,5b2,4
4x42y10/白x3fX5
由题意得22，得或
x4y15y1y3
例&已知a（1,0）,b（2,1）.
（1）求|a3b|；
（2）当k为何实数时，kab与a3b平行，平行时它们是同向还是反向?
解析：
（1）因为a（1,0）,b（2,1）.所以a3b（7,3）
则|a3b|-723258
（2）
kab
（k
2,1）,
a3b
（7,3）
因为
kab与
a
3b平行,
所以3（k
2）7
1
0即得k
3
7
rr
此时
kab
（k
2,1）
（,1）,
a3b
（7,3），则a3b
3（kab），即此
r
r
3
时向量a
3b与ka
b方向相反。
点评：
上面两个例子重点解析了平面向量的性质在坐标运算中的体现，重点掌握平面向量的共线的判定以及平面向量模的计算方法。
题型5:
共线向量定理及平面向量基本定理
例9.平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3,1）,B（-1,3）,若点C满足
OCOAOB，其中a、卩€R,且a+3=1,则点C的轨迹方程为（）
22
A.3x+2y—11=0B.（x—1）+（y—2）=5
C.2x—y=0
D.x+2y—5=0
解法一：
uut
设Cx,y，则OC
UU
x,y,OA
uut
3,1,OB1,3o
LULT由OC
ULUOA
uuu
OB得x,y3,
33,3
x
3
X,AA
于是y
3，先消去
，由
1
x41
得。
1
y32
再消去
得x
2y50,
所以选取
Do
解法二：
由平面向量共线定理，
LUU
ULU
uuu
当OC
OA
OB,
1时，
A、
BC共线。
因此，点C的轨迹为直线AB,由两点式直线方程得x2y50即选Dt点评：
熟练运用向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则进行运算；两个向
量平行的坐标表示；运用向量的坐标表示，使向量的运算完全代数化，将数与形有机的结合。
■*■**■*
例10.
（1）已知丨OA丨=1,丨OBI=J3,OA?
OB=0,点C在/AOB^，且/AOC30。
，
例11.已知向量u（x,y）与v（y,2yx）的对应关系用
（1）证明：
对于任意向量a,b及常数mn恒有f（manb）mf（a）nf（b）成立;rr
（2）设a（1,1）,b（1,0），求向量f（a）及f（b）的坐标；
（3）求使f（C）（p,q）,（p,q为常数）的向量C的坐标
解析：
（1）设a（q,a2）,b（bj,b2），则ml
f（manb）（ma2nb2,2ma22nb2mqn^）
m（a2,2a2a1）n（b2,2t）2b1），
rrrr
f（manb）mf（a）nf（b）
（2）由已知得f（a）=（1,1）,f（b）=
（3）设c=（x,y）,则f（c）（y,2y
•y=p,x=2p-q,即卩c=（2P-q,p）。
例12.求证：
起点相同的三个非零向量
uunruuur
证明：
设起点为0,OA=a,OB=b,
（0,—1）
x）（p,q）,
rr
a,b,3$—2b的终点在同一条直线上。
uuurrr
OC=3a—2b,
uuur则AC
uuur
OC
uuurrruuur
OA=2（a－b），AB
uuuruuurrruuurOBOA=b－a，AC
uuur
2AB，
uuuruuur
AC,AB共线且有公共点A,因此，AB,C三点共线,
rr
即向量a,b,3a-2b的终点在同一直线上.
点评：
（1）利用向量平行证明三点共线，需分两步完成：
①证明向量平行；②说明两
个向量有公共点；
⑵用向量平行证明两线段平行也需分两步完成：
①证明向量平行；②说明两向量无公共点。
五．思维总结
数学教材是学习数学基础知识、形成基本技能的“蓝本”,能力是在知识传授和学习过程中得到培养和发展的。
新课程试卷中平面向量的有些问题与课本的例习题相同或相似，虽然只是个别小题，但它对学习具有指导意义，教学中重视教材的使用应有不可估量的作用。
因此，学习阶段要在掌握教材的基础上把各个局部知识按照一定的观点和方法组织成整体，形成知识体系。
学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离等。
由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点。
（1）向量的加法与减法是互逆运算；
（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件；
（3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况；
（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系；
升级会员 