八个无敌模型全搞定空间几何的外接球和内切球问题.docx

1、八个无敌模型全搞定空间几何的外接球和内切球问题八个有趣模型一一搞定空间几何体的外接球与内切球类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）方法:找三条两两垂直的线段，直接用公式(2R)=ab2c2 ,即 2 .PAC中，可根据正弦定理 a b C 2R ,求出RSin A Sin B Sin C2.如图9-2 ,平面PAC _平面ABC ,且AB _ BC (即AC为小圆的直径)OC2 =O1C2 O1O2 二 R2=r2 O1O2 = ACjR2-O1O23.如图9-3 ,平面PAC _平面ABC ,且AB _ BC (即AC为小圆的直径)，且 P的射影是. ABC的 外心

2、=三棱锥P-ABC的三条侧棱相等=三棱P-ABC的底面=ABC在圆锥的底上，顶点 P点也是 圆锥的顶点解题步骤：第一步：确定球心 0的位置，取 ABC的外心O1 ,则P,0,01三点共线；第二步：先算出小圆 O1的半径AoI=T ,再算出棱锥的高 PO1 =h (也是圆锥的高)；第三步：勾股定理： OA2 =O1A2 O1O2= R2 =(h-R)2 r2 ,解出 R4.如图9-3 ,平面PAC _平面ABC ,且AB _ BC (即AC为小圆的直径)，且 PA _ AC ,贝U利用勾股定理求三棱锥的外接球半径： (2R)PA2 (2r)2= 2 ,；PA2 (2r)2 ； R2 =r2 OO

3、12 ：= R = r2 OO12例3 (1)正四棱锥的顶点都在同一球面上， 若该棱锥的高为1 ,底面边长为2 3 ,则该球的表面积为 。(2)正四棱锥S - ABCD的底面边长和各侧棱长都为 2 ,各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为 _解：(1)由正弦定理或找球心都可得 2R = 7, S =4二R2 =49二，4(2)方法一：找球心的位置，易知r=1 ,h=1,h=r ,故球心在正方形的中心 ABCD处，R =1 ,V=3 方法二：大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是 =SAC的外接圆，此处特殊， RtSAC的斜边是球半径，2R =2,4R 1 , V 3(3)在三棱锥 P - ABC 中

4、，PA=PB= PC3,侧棱PA与底面ABC所成的角为60 ,则该三棱锥外接球的体积为（A.二B.C. 4D.解：选D,圆锥Al BlC在以r二三的圆上,2R=I（4）已知三棱锥 S-ABC的所有顶点都在球 径,且SC=：2 ,则此棱锥的体积为（O的求面上，AABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直AJ22.2Br6解：OoIf R2 -r2 - 1 -( ：)21 1 3 6 、2二 _ Sh 二3类型四、汉堡模型（直棱柱的外接球、图 10-2，圆柱的外接球）图 10-2图 10-302 IO 题设：如图10-1，是任意三角形）10-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下

5、底面可以第一步：确定球心O的位置，O1是 ABC的外心，则OoI 平面 ABC ；第二步：算出小圆1O1 的半径 AO1 = r， OO1 AA121h （ AA1 = h也是圆柱的高）；2第三步：勾股定理:OA2 PA2 9。JRFhfRr巨,解出R已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，例4 （1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面,9且该六棱柱的体积为 ，底面周长为3 ,则这个球的体积为81解：设正六边形边长为 a ,正六棱柱的高为 h ,底面外接圆的关径为 r ,则a =-，2底面积为 s=6 子 G）S 晋，V柱. Sh=詈 h=8，h3，RS（尹 E）SI，R / ,球的体

6、积为V= 3（2）直三棱柱 ABC-A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若 AB = AC= AAI=2, . BAC =120 ,则此球的表面积等于3解：BC =2.、3， 2r 4， r=2， R=. 5 ， S = 20 二Sin 120 -（3）已知. EAB所在的平面与矩形 ABCD所在的平面互相垂直,EA=EB =3, AD = 2,. AEB= 60 ,则多面体 E- ABCD 的外接球的表面积为。16二解析：折叠型，法一： ：EAB的外接圆半径为r1二-3，OO13 13R= -1 *3=2 ；法二：O1M ， r2 = O2D = 2 2，R213 -4，R = 2，S =

7、1 &4 4（4）在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，AB =4,AC =6, A ,AA1 =4则直三棱柱 ABC-A1B1C1的外接球3的表面积为160。 -32 1解析：BC2 =16 36 -2 4 6 -22 2 Z AA1、2R =r (-)2160S =-3类型五、折叠模型题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠（如图11）第一步：先画出如图所示的图形，将 ABCD画在小圆上，找出 BCD和=ABD的外心H1和H2 ；第二步：过H1和H 2分别作平面BCD和平面ABD的垂线，两垂线的交点即为球心 O ,连接OE,OC ；第三步：解 OEHI ,算出OHi ,在Rt Q

8、CH 中，勾股定理： OHi2-CHi2=OC2例5三棱锥P- ABC中，平面PAC _平面ABC , PAC和 ABC均为边长为2的正三角形，则三棱 锥P-ABC外接球的半径为 .解析：2rl =2r2 =Sin 60rI 二O2H,3,2 2 2R =O2H r1,15法二:.3AH =1R2 =AO2 =AH 2 O1H2 O1O15类型六、对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等， 求外接球半径（AB=CD， AD = BC，AC = BD） 第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；第二步：设出长方体的长宽高分别为 a,b,c，AD=BC

9、=X，AB=CD = y，AC = BD = Z ,列方程组,J 2 2 2a +b =xJ丄 2 2b +c = y 二2丄 2 2c +a = zJ2 2(2R) =az21 1补充： VA-BCD =abc abc 4 abc6 3第三步：根据墙角模型,2R = a2 b2 c2图122Z求出R，例如，正四面体的外接球半径可用此法。例6（ 1）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形 （正四面体的截面）的面积是 （2）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是A.迈 B 毎 C4 31的球面上，其中底面的三个顶点

10、）1312解：（1）截面为 PCO1 ,面积是.2 ；（2）高h = R =1 ,底面外接圆的半径为R=1，直径为2R = 2，（1）题解答图设底面边长为 a ,贝U 2R = a =2，a = . 3，S 3a2Sin 60 43.31 , 3三棱锥的体积为V Sh =3 4(3)在三棱锥 A-BCD 中，AB=CD= 2, AD = BC =3, AC= BD= 4,则三棱锥 A - BCD外接球的表面积为29。 2解析：如图12,设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长,设长宽高分别为a, b, C，则a2 b2 = 9，b2 c2 =4，c2 a2 =16. 2(a2 b2 c2)

11、= 9 4 16 = 29，2(a2 b2 c2) = 9 4 16 = 29，2,2 2 29 2 29 29a b C , 4R , S =2 2 2(4)如图所示三棱锥 A-BCD ,其中AB=CD =5, AC =BD表面积为 . 解析：同上，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为 a,b,c ,2 2 2 2 2 2 22(a2 b2 c2) =25 36 49 =110, a2 b2 c-55, 4R-55, S =55二【55二；对称几何体；放到长方体中】(5) 正四面体的各条棱长都为 2 ,则该正面体外接球的体积为= 6,AD = BC=：7,则该三棱锥外接

12、球的解析：这是特殊情况,但也是对棱相等的模式，放入长方体中,R=，V =42 3类型七、两直角三角形拼接在一起(斜边相同，也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥 )模型C题设： APB =/ACB =90 ,求三棱锥P - ABC外接球半径(分析：取公共的斜边的中点 O ,连接1OP,OC ,贝y OA=OB=OC=OP AB , O为三棱锥P- ABC外接球球心，然后在 OCP中求出例7 (1)在矩形ABCD中，AB =4, 则四面体ABCD的外接球的体积为(半径)，当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定 值。B - AC - D ,BC =3 ,沿

13、AC将矩形ABCD折成一个直二面角)A.5 434 125 125二”解：(1) 2R = AC=5, R , V R ,选 C2 3 3 8 6(2)在矩形ABCD中，AB =2 , BC =3,沿BD将矩形ABCD折叠，连接AC ,所得三棱锥 A-BCD 的外接球的表面积为解析：(2) BD 的中点是球心 O , 2R = BD=Jl3 , S =4二R2 =13二;类型八、锥体的内切球问题1 题设：如图14 ,三棱锥P - ABC上正三棱锥，求其外接球的半径。 第一步：先现出内切球的截面图， E,H分别是两个三角形的外心；1第二步：求DH BD , PO = PH -r, PD是侧面 A

14、BP的高；3第三步：由 POE相似于 PDH ,建立等式：=-p ,解出rDH PD2题设：如图15 ,四棱锥P-ABC上正四棱锥，求其外接球的半径PB图14第一步：先现出内切球的截面图， P,O,H三点共线；1第二步：求FH BC , PO=PH -r , PF是侧面 PCD的高；2第三步：由APOG相似于 PFH ,建立等式：OG= _PO，解出HF PF3.题设：三棱锥 P - ABC是任意三棱锥，求其的内切球半径方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等 第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；图15第二步：设内切球的半径为 r ,建立等式：Vp/BC =V

15、OJBC VO _PAB VPAC VO _pbcVP -ABC1 1 1S AB C r SPAB r SPAC3 3 31 _ 1r SPBC r (S ABC S PAB SPAC S Pbc ) r3 3 A P第三步：解出rSO-ABC3V P ABCSO -PABSO -PACSO -PBC习题：1.若三棱锥S- ABC的三条侧棱两两垂直，且SA = 2 , SB = SC = 4 ,则该三棱锥的外接球半径为 ( )A. 3 B. 6 C. 36 D. 9解：【A】(2R)2 = .416 16=6 , R = 3【三棱锥有一侧棱垂直于底面，且底面是直角三角形】【共两种】2.三棱锥

16、S - ABC中，侧棱SA _平面ABC ,底面ABC是边长为 3的正三角形，SA = 2. 3 ,则该三棱锥的外接球体积等于32 二4 32二8 = ?3 2 2解析：2r 2 , (2R) =4 12 =16 , R =4 , R=2 ,外接球体积Sin 60【外心法(加中垂线)找球心；正弦定理求球小圆半径】解析：2 4 2ABC外接圆的半径为 ，三棱锥SABC的直径为2R ,外接球半径 R=Si n603 33.正三棱锥S _ABC中，底面ABC是边长为 3的正三角形，侧棱长为于 2,则该三棱锥的外接球体积等或R2=(R-J3)2+1， R=上，外接球体积V=纟兀R3 = f兀= 3厶3

17、 ，3 3 3 33 274 三棱锥P- ABC中，平面PAC _平面ABC， PAC边长为2的正三角形， AB _ BC ,则三棱锥 P-ABC外接球的半径为5.三棱锥P-ABC中，平面 PAC _平面ABC， P-ABC外接球的半径为2 2 2PA PC -AC 9 9 一4解析：cos. P.I2、22PA PC 2 3 39 2 C 9.2,R =_4 8AC= 2 , PA= PC = 3 , AB _ BC，则三棱锥2 7 2 16 2 . c 4. 2sin . P =1-（一） , Sln P =9 81 9解析：2 4 2PAC的外接圆是大圆，2R . , R= ,Sin 60 3 396.三棱锥 P - ABC 中，平面 PAC _平面 ABC , AC = 2 , PA_ PC , AB_ BC ,则三棱锥 P - ABC 外接球的半径为解：AC是公共的斜边， AC的中点是球心 0 ,球半径为R=