例1
A.
16：
（1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为
B•20二C•24二
体积为16,则这个球的表面积是（C）
•32二
（2）
若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为■.3，
则其外接球的表面积是
解:
=4416=24，S=24,选C；
22222
（1）V=ah=16,a=2,4R^aah
（2）
4R2=333=9，SFR2=9二
（3）
在正三棱锥S-ABC中，M、N分别是棱SC、
BC的中点，且AM_MN,若侧棱SA=2、3,则
正三棱锥S-ABC外接球的表面积是。
36二
解：
引理：
正三棱锥的对棱互垂直。
证明如下：
如图（3）-1,取ABlBC的中点DlE,连接AElCD,AElCD交于H,连接SH,则H是底面正三角
形ABC的中心，SH_平面ABC,SH_AB,
AC=BC,AD=BD,CD_AB,AB_平面SCD,
■AB_SC,同理：
BC_SA,AC_SB,即正三棱锥的对棱互垂直,
本题图如图（3）-2,-AM_MN,SB//MN,
■AM_SB,AC_SB,SB_平面SAC,
SB_SA,SB_SC,SB_SA,BC_SA,
-SA_平面SBC,SA_SC,
故三棱锥S-ABC的三棱条侧棱两两互相垂直，
⑶题-1
C
⑶题-2
-（2R）2=（2一3）2（2一3）2（2W）2=36,即4R2=36,
正三棱锥S-ABC外接球的表面积是36…
（4）在四面体S-ABC中，SA_平面ABC,ZBAC=120,SA=AC=2,AB=1,则该四面体的外接
球的表面积为（D）A.11二B.7:
10
40
D.-
3
3,那么它的外接球的表面积是
（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为何体外接球的体积为
1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几
解析：
（4）在ABC中，BC2=AC2AB2—2ABBCCoS120=7，
BCi7，ABC的外接球直径为
BC
sin_BAC
（2R）-（2r）2SA2=
240
）4盲，S=
40二
3，选D
（5）三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为
a,b,c（a,b,c∙R'），则
ab=12
』bc=8,二abc=24,二a=3，b=4，c=2，（2r）2=a2+b2+c2=29，S=ΦτR2=29兀，
ac=6
⑹（2R）^a2b2c^3，R^l，R诗
4
=—JI
3
33
π
82
类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）
1.题设：
如图5,PA_平面ABC
解题步骤：
第一步：
将UABC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD,连接PD,贝UPD必过球心O;
第二步：
O1为ABC的外心，所以OO1—平面ABC,算出小圆O1的半
径OID=r（三角形的外接圆直径算法：
利用正弦定理，得
SinASinBSinC
（5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为
第三步：
利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：
①（2R）2=PA2∙（2r）2=2R=..PA2（2r）2；
②R2=r2OOi2=R=r2OO1
2.题设：
如图6,7,8,P的射影是JABC的外心三棱锥P-ABC的底面ABC在圆锥的底上，顶点
二三棱锥P-ABC的三条侧棱相等二
P点也是圆锥的顶点
解题步骤:
第一步：
确定球心0的位置，取
ABC的外心Oi,则PQO三点共线;
第二步：
先算出小圆O1的半径AO^r,再算出棱锥的高PO1=h（也是圆锥的高）；
第三步：
勾股定理：
OA2=O1A2∙O1O2=R2=（h-R）2∙r2,解出R
方法二：
小圆直径参与构造大圆。
例2一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为（）C
16兀
A.3二B.2二C.D.以上都不对
3
解：
选C,（、3-R）21=R2,3-2、3RR21=R2,4-2.3R=0,
16
类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）
A
P
O
Ol
C
图9-2
图9-3图9-4
1题设：
如图9-1,平面PAC_平面ABC,且AB_BC（即AC为小圆的直径）
第一步：
易知球心O必是PAC的外心，即PAC的外接圆是大圆，先求出小圆的直径AC=2r；
第二步：
在.>PAC中，可根据正弦定理—abC2R,求出R
SinASinBSinC
2.如图9-2,平面PAC_平面ABC,且AB_BC（即AC为小圆的直径）
OC2=O1C2O1O2二R2=r2O1O2=ACjR2-O1O2
3.如图9-3,平面PAC_平面ABC,且AB_BC（即AC为小圆的直径），且P的射影是.ABC的外心=三棱锥P-ABC的三条侧棱相等=三棱P-ABC的底面=ABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点
解题步骤：
第一步：
确定球心0的位置，取ABC的外心O1,则P,0,01三点共线；
第二步：
先算出小圆O1的半径AoI=T,再算出棱锥的高PO1=h（也是圆锥的高）；
第三步：
勾股定理：
OA2=O1A2∙O1O2=R2=（h-R）2∙r2,解出R
4.如图9-3,平面PAC_平面ABC,且AB_BC（即AC为小圆的直径），且PA_AC,贝U
利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：
①（2R）^PA2（2r）2=2^,；PA2（2r）2；
②R2=r2OO12：
=R=r2OO12
例3
（1）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1,底面边长为23,则该球的表面积为。
（2）正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为2,各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为_
解：
（1）由正弦定理或找球心都可得2R=7,S=4二R2=49二，
4π
（2）方法一：
找球心的位置，易知r=1,h=1,h=r,故球心在正方形的中心ABCD处，R=1,V=——
3方法二：
大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是=SAC的外接圆，此处特殊，RtSAC的斜边是球半径，
2R=2,
4π
R—1,V—
3
（3）在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC
»3,侧棱PA与底面ABC所成的角为60,则该三棱锥外
接球的体积为（
A.二
B.
C.4
D.
解：
选D,圆锥AlBlC在以r
二三的圆上,
2
R=I
（4）已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球径,且SC=：
2,则此棱锥的体积为（
O的求面上，AABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直
A
J2
2
.2
Br
6
解：
OoIfR2-r2-1-（：
）2
1136、2
二_Sh二
3
类型四、汉堡模型（直棱柱的外接球、
图10-2，
圆柱的外接球）
图10-2
图10-3
・■
02
IO∏
题设：
如图10-1，
是任意三角形）
10-3,直三棱柱内接于球
（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以
第一步：
确定球心
O的位置，O1是ABC的外心，则
OoI—平面ABC；
第二步：
算出小圆
1
O1的半径AO1=r，OO1AA1
2
1
h（AA1=h也是圆柱的高）；
2
第三步：
勾股定理:
OA2PA29。
JRFhfRr
巨,解出R
已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，
例4
（1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面,
9
且该六棱柱的体积为，底面周长为3,则这个球的体积为
8
1
解：
设正六边形边长为a,正六棱柱的高为h,底面外接圆的关径为r,则a=-，
2
底面积为s=6子G）S晋，V柱.Sh=詈h=8，h「3，RS（尹E）SI，
R/,球的体积为V=3
（2）直三棱柱ABC-A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC
=AAI=2,.BAC=120,则此
球的表面积等于
3
解：
BC=2.、3，2r4，r=2，R=∙.5，S=20二
Sin120-
（3）已知.EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直,
EA=EB=3,AD=2,.AEB=60,则多面体E-ABCD的外接
球的表面积为
。
16二
解析：
折叠型，法一：
：
EAB的外接圆半径为r1二-3，
OO1
313
R=-1*3=2；法二：
O1M，r2=O2D=■'
22
，R2
13-4，R=2，S=1&
44
（4）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=4,AC=6,A,AA1=4则直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球
3
的表面积为
160
。
-
3
21
解析：
BC2=1636-246-
2
22ZAA1、2
R=r（-）
2
160
S=-
3
类型五、折叠模型
题设：
两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠
（如图11）
第一步：
先画出如图所示的图形，将ABCD画在小圆上，找出BCD和=ABD的外心H1和H2；
第二步：
过H1和H2分别作平面BCD和平面ABD的垂线，两垂线的交点即为球心O,连接OE,OC；
第三步：
解OEHI,算出OHi,在RtQCHι中，勾股定理：
OHi2-CHi2=OC2
例5三棱锥P-ABC中，平面PAC_平面ABC,△PAC和△ABC均为边长为2的正三角形，则三棱锥P-ABC外接球的半径为.
解析：
2rl=2r2=
Sin60
rI二
O2H
^,3,
222
R=O2Hr1
15
法二:
"..3
AH=1
R2=AO2=AH2O1H2O1O
■15
类型六、对棱相等模型（补形为长方体）
题设：
三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（AB=CD，AD=BC，AC=BD）第一步：
画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；
第二步：
设出长方体的长宽高分别为a,b,c，AD=BC=X，AB=CD=y，AC=BD=Z,列方程组,
J222
a+b=x
J丄22
^b+c=y二
2丄22
c+a=z
J
22
（2R）=a
z2
11
补充：
VA-BCD=abcabc4abc
63
第三步：
根据墙角模型,
2R=a2b2c2
图12
2
Z
求出R，
例如，正四面体的外接球半径可用此法。
例6
（1）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一
个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是
（2）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为
在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是
A.迈B•毎C
43
1的球面上，其中底面的三个顶点
）
13
12
解：
（1）截面为PCO1,面积是.2；
（2）高h=R=1,底面外接圆的半径为
R=1，
直径为
2R=2，
（1）题解答图
设底面边长为a,贝U2R=—a—=2，a=∙.3，S3a2
Sin60「4
3.3
1∣,3
三棱锥的体积为VSh=
34
（3）在三棱锥A-BCD中，AB=CD=2,AD=BC=3,AC
=BD=4,则三棱锥A-BCD外接球的表
面积为
29
。
・
2
解析：
如图12,设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长,
设长宽高分别为a,b,C，则a2b2=9，
b2c2=4，c2a2=16.2（a2b2c2）=9416=29，
2（a2b2c2）=9416=29，
2,222922929
abC,4R,S=
222
（4）如图所示三棱锥A-BCD,其中AB=CD=5,AC=BD
表面积为.
解析：
同上，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为a,b,c,
2222222
2（a2b2c2）=253649=110,a2b2c-55,4R-55,S=55二
【55二；对称几何体；放到长方体中】
（5）正四面体的各条棱长都为2,则该正面体外接球的体积为
=6,AD=BC=：
7,则该三棱锥外接球的
解析：
这是特殊情况,
但也是对棱相等的模式，放入长方体中,
R=—，V=4~
23
类型七、两直角三角形拼接在一起
（斜边相同，也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥）模型
C
题设：
∙APB=/ACB=90,求三棱锥P-ABC外接球半径（分析：
取公共的斜边的中点O,连接
1
OP,OC,贝yOA=OB=OC=OPAB,■O为三棱锥P-ABC外接球球心，然后在OCP中求出
例7
（1）在矩形ABCD中，AB=4,则四面体ABCD的外接球的体积为（
半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值。
B-AC-D,
BC=3,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角
）
A.
5434125125二”
解：
（1）2R=AC=5,R,VR,选C
23386
（2）在矩形ABCD中，AB=2,BC=3,沿BD将矩形ABCD折叠，连接AC,所得三棱锥A-BCD的外接球的表面积为
解析：
（2）BD的中点是球心O,2R=BD=Jl3,S=4二R2=13二;
类型八、锥体的内切球问题
1•题设：
如图14,三棱锥P-ABC上正三棱锥，求其外接球的半径。
第一步：
先现出内切球的截面图，E,H分别是两个三角形的外心；
1
第二步：
求DHBD,PO=PH-r,PD是侧面ABP的高；
3
第三步：
由POE相似于PDH,建立等式：
=-p°,解出r
DHPD
2•题设：
如图15,四棱锥P-ABC上正四棱锥，求其外接球的半径
P
B
图14
第一步：
先现出内切球的截面图，P,O,H三点共线；
1
第二步：
求FHBC,PO=PH-r,PF是侧面PCD的高；
2
第三步：
由APOG相似于PFH,建立等式：
OG=_PO，解出
HFPF
3.题设：
三棱锥P-ABC是任意三棱锥，求其的内切球半径
方法：
等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等第一步：
先画出四个表面的面积和整个锥体体积；
图15
第二步：
设内切球的半径为r,建立等式：
Vp/BC=VOJBC■VO_PAB■V^PACVO_pbc^'
VP-ABC
111
S'ABCr—SPABr—SPAC
3■33
1_1
r—SPBCr（SABC'S'PAB'SPAC'SPbc）r
33AP
第三步：
解出
r
SO-ABC
3VPABC
'SO-PAB
SO-PAC
'SO-PBC
习题：
1.若三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，且SA=2,SB=SC=4,则该三棱锥的外接球半径为（）
A.3B.6C.36D.9
解：
【A】（2R）2=.41616=6,R=3
【三棱锥有一侧棱垂直于底面，且底面是直角三角形】【共两种】
2.三棱锥S-ABC中，侧棱SA_平面ABC,底面ABC是边长为3的正三角形，SA=2∙∙.3,则该三
棱锥的外接球体积等于
32二
432二
8=■
■?
322
解析：
2r2,（2R）=4•12=16,R=4,R=^2,外接球体积
Sin60
【外心法（加中垂线）找球心；正弦定理求球小圆半径】
解析：
242
ABC外接圆的半径为，三棱锥S—ABC的直径为2R,外接球半径R=——
Sin60「√3√3
3.正三棱锥S_ABC中，底面ABC是边长为3的正三角形，侧棱长为
于•
2,则该三棱锥的外接球体积等
或R2=（R-J3）2+1，R=上，外接球体积V=纟兀R3=f兀=3厶3，
√3333327
4•三棱锥P-ABC中，平面PAC_平面ABC，△PAC边长为2的正三角形，AB_BC,则三棱锥P-ABC外接球的半径为
5.三棱锥P-ABC中，平面PAC_平面ABC，P-ABC外接球的半径为
222
PAPC-AC99一4
解析：
cos.P
'.I「2、2
2PAPC233
92C9.2
R=_
48
AC=2,PA=PC=3,AB_BC，则三棱锥
272162.c4.2
sin.P=1-
（一）,SlnP=
9819
解析：
242
PAC的外接圆是大圆，2R.,R=,
Sin60√3√3
9
6.三棱锥P-ABC中，平面PAC_平面ABC,AC=2,PA_PC,AB_BC,则三棱锥P-ABC外接球的半径为
解：
AC是公共的斜边，AC的中点是球心0,球半径为R=
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