勾股定理的十六种的证明方法.docx

1、勾股定理的十六种的证明方法勾股定理的十六种的证明方法【证法1】（课本的证明）做g个全等的宜角三角形，三牛边长分别为已、氐C的正方形，把它们上图那样拼成两个正方形* 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b-所以面枳相筹.即整理得 /+护=口f证法21 （邹元治证明）以包、b为直角边，以亡为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于2 把这四个宜角三角形拼成如图所示形状，使乩E. B三点在一条直线上，B. F、C三点在一条直线上，C、S D三点在一条直线上.丁 RtMjAE空 抵扣澱，二 ZAHE = ZBEF.T ZAEH - ZAHE 二 90,二 ZAEH 亠 ZBEF

2、 = 90:.ZHEF = 180-90= 90二四边形EFGH是一个边长为亡的正方形.它的面积等于T Rt i GDH 空 Rt 2 HAE,二 ZHGDT ZHGD二 ZEHA又丁 ZGHE二 ZDHA二ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于 W-（fl +i） = 4xdia 2【证法3】（赵爽证明以弘b为直角边Cba）,以C为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于2把这H个直角三 角形拼成如图所示形状-T RMDAHWWVAAAJWi4AAA.二 ZHDA =/ ZHAD +/. ZEAB +二ABCD是一个边长为C的正方形，它的面积等于c/ EF =

3、FG =GH =HE = ba ,ZHEF = 90-A EFGH是一个边长为b自的正方形，它的面积等于0.由）1 ” 4x jai + =c*二 J=+i=c = .t证法4】（1876年美国jS统Carfield证明）以窝、b为直角边，以C为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的 口 i 积尊于2 ，把这两个直角三角形拼成如图所示形状,T RtAEAD 丝 Rt A CBE.:、ZADE 二 ZBEL: ZAED + ZADE = 90，:.ZAED + ZBEC = 90/. ZDEC = 180-90= 90./.卫提个等直角三角形，它的面积等于2 .又丁 ZDAE = 90%

4、 ZEBC =:.AD/ZBC.A ABCD是一个直角梯形，它的面积等于朮口 +疔 丄 &1+护=2 X ab +：2 2 2 ,d十b八t证法5】(梅文鼎证明)做四个全等的直角三角形，段它们的两条直角边长分别为a、b ,斜边长为s把它 们拼成如图那样的一个多边形，使D、E. F在一条亘线上.过C作AC的延长銭交DF于 点P./ D. E、F 在一条直线上，且 RtAGEF 竺 Rt A EBD, V-VWMWVWMW-V.:.ZEGF = ZBED,*/ ZEGF 亠 ZGEF = ，:* ZBED + ZGEF = 9tr ,:.ZBEG =1SO-90= 9(r.又T .4B = BE

5、= EG = GA = c, g二ABEG是一个边长为c的正方形:、ZABC + ZCBE = 90* = BxAXBOz:.ZABC = ZEBD.:.ZEBD 十 ZCBE = 90即 ZCBD= 9(r.又 T ZBDE = 90, ZBCP = 9(7 ,a*BC二BD二a. 二BDPC是一亍边长为a的正方形.同理，HPFG是一伞边长为b的正方形设多边形GHCBE的面积为&则L !时=5 斗 2 X i血* r* /+止【证法7】（欧几里得证明） 做三个边长分别为b.在一条直线上，连结BF. CD.过 C 作 CLDE, 交；m于点此交DE于点L,T AF = AC, .AB = AD

6、, ZFAB = ZCAD,代A復&望T iFAB的面积等于空“. 乂吐的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，二矩形ADUI的面积 同理可证，矩形MLEB的面积=戸.T正方形ADEB的面积=葩形ADUI的面积+矩形MLEB的面积 /, 护，即 护+占=/*E证法町（利用相似三竟形性质证明）a. b.斜边AB的长为G a如图，在肚丄A匹中,设直角边AS反的长度分别为 点C作CD1AB,垂足是D*在i ADC和iACE中，V ZADC - ZACB = 90,ZC.AD = ZB AC,二 AASC s aA*AD ： AC H AC : AB,艮卩 HC：=4D 一毎-同理可证F ASflS s

7、二 HC*=（川D + D）川占=討$1,即 o+i）i=匚I【证法9】（畅作玫证明）垂足为巴 过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为做两个全等的直角三角形.设它们的两条直角边长分别为吐、b Cba斜边长为亡. 再做一个边长为U的正方形.把它们拼成如图所示的多边形-过丄作AF丄AG AF交GT 于FIF交DT于R.过B作肝丄左F,E, DE交AF于乩T ZBAD 二 90, ZPAC = W,二 ZDAH = ZEAC.又/ ZDHA = 90, ZBCA = 9（ ,AD = AB = C；二 Rt 业 DHA Rt 也 BCA.二 DH = BC = a, AH = AC = b.由作法可知

8、，PECA是一个矩形， 所以 Rt A AFB 丝 RtAgCA.即 PB = CA = b, AP= a,从而卩H = bau*； Rt i DGT 瓷 Rt i BCA ,g卫與.奉廳2瞬二 DtrT?G = a2S5? = ZHDA .又 T ZDGT 二 90, ZDHF 二 W ,二愍空.匹I竺雛屯哪,二DGFH是一亍边故为a的止万形.二 GF = FH = a . TFAF. TF = GT-GF = ba .二TFPB是一个直角梯形，上底TF二b-E下底SP= b,高FPp + （b-G . 用数字表示面积的编号（如图九则以C为边长的正方形的面积为C* = S + Sj + Sj

9、 + s 耳 + s予* 场+昂+ Sq 二挣 + 0-口）讥+0-口） _b-ab2二 S, + S, = b*-ab-S, 护-Sf 把代入，得=5 + 5 + F - S fSj +Sj +Sp-时+男+男-酹+/,- 盼+沪=八【证法10 t李钱ffi明）设直角三角形两直角边的长分别为a.b（ba）,斜边的长为=做三个边长分别为包、 b. C的正方形，把它忙I拼成如S所示形状，使爪E. G三点在一条直线上.用数字表示 面积的编号（如图）.T ZTBE =:.ZTBH =又 T ZBTH = BT = BE -:、RtAHBT 丝 Rt AABE.:、HT 二 AE 二比:、GH = G

10、T-HT = b-a.又 T ZGHF + ZBEI = 90ZDBC + ZBHT = ZTBH +二 ZGHF = ZDBC：DB = ER ED = b-aZHGF = ZBX = 9 呼，:、gt A HGF 丝 RtA.jBgC.即 工二 $2.过Q作Q蛆丄AL垂足是乩 由ZBAQ二ZBEA二二 ZQAMt 而 AB 二 AQ 二 0R貯避.所以 陆Ajj里 空Rt .即 細SE百屁卫滋 又得QM = A = a, ZAQM二ZBAE.ZABH = 9tr Z.ABE.ZBEA = 90, H bjfes Kc上RaHb BGAZBHT = 90% E59Cn 可知 ZABE所以驰玉

11、賤 旦 陆29迪.又5x2JSSI -a.ZHGF = ZBDC = 90%二 Rt A HGF 竺 Rt A BDC.即思产h.-VvVv-VvVvVvVvVv Vv-Vv-VvVv-VvVvV过Q作QNLLAG,垂足是底 由ZBAQ二ZBEA二9化 可知 ZABE =ZQAM,而壷B = AQ = C.所以Rt AABE竺 肚綁M -又RMHET空 Rt A ABE.所以Rt A HBT竺 班色QM .即 况=匹.由 Rt A ABE 竺 Rt A Q.W,又得 QM = AE = a, ZAQM = ZEAE.VvVvVvVvVvVvVvVvX VvVvVv-VvvA-VvVv丁 ZAQ

12、M + ZFQM = 90% ZBAE + ZCAR = 90% ZAQM = NBAE, 二 ZFQM = ZCAR.a,又丁 ZQitF = ZARC = 90% QM = AR =二 Rt A qfF 竺 Rt A ARC.即 $严耳-VvVv-VvVvZv-Vv Vv-Vv-VvVv-VvVvV丁 亡2=$1 +昂 + 爲+ S斗+ 5；, /=S + Ssj =S.+S- + S,V * = A 易=壬乌=斗二 宀b =S +S5 + Sm + 斗 + 禺二 S + rS斗 + $2 + SjCC,在 d磁中设直珀边BC = a, AC = b,斜边AB = c,如图以0为圆心a为半

13、 径作圆，交AB及AB的延长线分别于Ik E,则ED = BE = BC = a.因为ZE仙=90 点C在B上，所以扛是B的切线，由切割线是理，得屁；=毘3二as+seas-sd)= (c + d)(c -d)r *=f ，即 b1,:.宀t证法12】(利用雾列米定理证明在R2ABC中，设直角边BC = a. AC = b,斜边AB = c (如图)*过点&作AD/CB, 过点B作BDZCA,则ACBD为矩形，矩形ACBD内接于一个圆，根据多列米定理，圆内接 四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有= JD*5CSED ,a.T AB = DC = c, AD = BC =AC = BD =

14、b,二 且0=占c+c,即 /吕口： +盼，二 ?+，=/ r-（4 + 0 + 亡）严b.斜边啊的长为G过【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）在gt黒照中，设直角边EC = a, AC = b,斜边託= 切点分W?d7e F （如圏人设0的半径为r.T AE = AF, BF = BD, CD = CE,二 MC+ BC-AB=AE+CE+SD +CD）（討戸+EF）=CE + CD 二 r + r = 2r， 即 a + = 2r,r* a + b = 2f + f .A -（2r + c）gp 2aif = 4（r* +rc）+c*又 T Sg厂匚沪 Sae+Sse = 2 2 22

15、r + C + c）r/, 4（宀 n：）=4sr,*4卜+临）=2胡 /+ 即+2 口& = 2e占+（；【证法14】（利用反证法证明）如图，在1卫匸中设直角边AG阮的长度分别为a、点C作CD丄AE.垂足是D.假设/十护乂蔦即假设 也+證2厂护则由= AJ*.5 = M（a + AD）= aBaD + ABBD可知-心5 扭-M,或者 肋ED.即 AD： ACAC： AB.或者 BD： BC?BC： AB.在AAK和lACB中，丁 ZA = ZA,二若 AD： ACAC： AB,则ZADCH ZACE.在AC咀和A他中，T ZB = ZE二若 BD： BCtBC： ABx 贝JZCDBZAC

16、B.又 T ZACB = 9Cr ,二 Z：ADCH9（r, ZCDEHgcre +恥 *曲谢假设不能成立这与作法CD丄AB矛盾.所以二 /Jababaabb【证法15】（辛卜松证明）A b . 3 BT 6 a设直角三角形两直角边的长分别为已*,斜边的长为作边长是a吒的正方形ABCD* 把正方形ABB划分咸上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的积为 （疔=/+护+滋.把正方形.BCD划分成上方右图所示的几个部分则正方形ABCD的（a + 4 X ab + T 2 二 2如 i.小十护十2aij = 2ab十F,面积为证法祐】（陈杰证明）设直甬三角形两直角边的长分别为a.b（baX斜边的长

17、为B做两亍边长分别为包、 氐U三点在一条宜线上.用数字表b的正方形a).把它们拼成如图所示形状， 示面积的絹号(如图).在EH - b上截取ED - a,连结加、DC,则 AD = B丁 EH = EH + HM = b 十 a , ED =二 DM = EM-ED = (b +切一a = b, 又 T ZCMD =ZAED 三:.R t A A EDA ZEADV ZADEZADE:.ZAX二作AB/7DC, CB?/DA,则期5是一个边长为c的正方激：ZBAF + ZFAD = ZDAE + ZFAD = 9(r,A ZBAF=ZD.E,连结FB,在 ABF和i ADE中，便E、5 ba,

18、 AG2baEb9少,CM = a.90 AE = b,zmdcTdT= ad = c.ZAX+ ZMDC =1SOH a MBCF dZMDC = ZADE - ZEAD = 90J 9054 + 寸 s+ ES+ (is + gs)+T+ +占 H0S+s十 TS+LS+msH c心 +JS+gsHFSH shts LS+ Esh 飞 扌s+rs*十 Is旳 rs+叶s +k+CSH r .33 m lavw: 8 H 自 6 H 0 H % Tw喺IWH J M rq抵八 H s H Js H 0wN H Si.llrl- CXKrLrLllIJ 皐勺m 3avf3vIHJVqq H 6 H OVH gvUII%+Hab方2abbaaabbbabaaCE zD 石zzzcAaAaAa