勾股定理的十六种的证明方法.docx
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勾股定理的十六种的证明方法
勾股定理的十六种的证明方法
【证法1】（课本的证明）
做g个全等的宜角三角形，
三牛边长分别为已、氐C的正方形，把它们®上图那样拼成两个正方形*从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a+b-所以面枳相筹.即
整理得/+护=口
f证法21（邹元治证明）
以包、b为直角边，以亡为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积
等于2•把这四个宜角三角形拼成如图所示形状，使乩E.B三点在一条直线上，B.F、
C三点在一条直线上，C、SD三点在一条直线上.
丁RtMjAE空抵扣澱，
二ZAHE=ZBEF.
TZAEH-ZAHE二90°,
二ZAEH亠ZBEF=90\
:
.ZHEF=180^-90"=9'0\
二四边形EFGH是一个边长为亡的
正方形.它的面积等于
TRtiGDH空Rt2HAE,
二ZHGD
TZHGD
二ZEHA
又丁ZGHE
二ZDHA
二ABCD是一个边长为a+b的正方形，它的面积等于W-
（fl+i）'=4x—di
■a♦2
【证法3】（赵爽证明〉
以弘b为直角边Cb>a）,以C为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角
三角形的面积等于2・把这H个直角三角形拼成如图所示形状-
TRMDAH
■WWV^AAAJWi^4\AAA.
二ZHDA=
■/ZHAD+
/.ZEAB+
二ABCD是一个边长为C的正方形，它的面积等于c\
■/EF=FG=GH=HE=b—a,
ZHEF=90°-
AEFGH是一个边长为b—自的正方形，它的面积等于0.由）1”4xjai+=c*
二^J=+i==c=.
t证法4】（1876年美国jS统Carfield证明）
以窝、b为直角边，以C为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的
■口i
积尊于2，把这两个直角三角形拼成如图所示形状,
TRtAEAD丝RtACBE.
:
、ZADE二ZBEL
■:
ZAED+ZADE=90°，
:
.ZAED+ZBEC=90\
/.ZDEC=180°-90"=90".
/.卫§£提—个等®直角三角形，
它的面积等于2.
又丁ZDAE=90%ZEBC=
:
.AD/ZBC.
AABCD是一个直角梯形，它的面积等于朮口+疔丄&1+护=2X—ab+—
・：
222,
d十b'八
t证法5】（梅文鼎证明）
做四个全等的直角三角形，段它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为s把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E.F在一条亘线上.过C作AC的延长銭交DF于点P.
■/D.E、F在一条直线上，且RtAGEF竺RtAEBD,■■V--VWMWVWMW-V.
:
.ZEGF=ZBED,
*/ZEGF亠ZGEF=，
:
*ZBED+ZGEF=9tr,
:
.ZBEG=1SO"-90"=9（r.
又T.4B=BE=EG=GA=c,g
二ABEG是一个边长为c的正方形「
:
、ZABC+ZCBE=90\
*=BxAXBOz
:
.ZABC=ZEBD.
:
.ZEBD十ZCBE=90\
即ZCBD=9（r.
又TZBDE=90",ZBCP=9（7,
a*
BC二BD二a.二BDPC是一亍边长为a的正方形.
同理，HPFG是一伞边长为b的正方形"设多边形GHCBE的面积为&则
L■!
■时=5斗2Xi血*r*
'/+止—
【证法7】（欧几里得证明）做三个边长分别为b.
在一条直线上，连结
BF.CD.过C作CL±DE,交；m于点此交DE于点
L,
TAF=AC,.AB=AD,ZFAB=ZCAD,
代■A復&望
TiFAB的面积等于空“.乂吐的面积等于矩形ADLM的面积的一半，
二矩形ADUI的面积同理可证，矩形MLEB的面积=戸.
T正方形ADEB的面积
=葩形ADUI的面积+矩形MLEB的面积/,护，即护+占'=/*
E证法町（利用相似三竟形性质证明）
a.b.斜边AB的长为Ga
如图，在肚丄A匹中,设直角边AS反的长度分别为点C作CD1AB,垂足是D*
在iADC和iACE中，
VZADC-ZACB=90",
ZC.AD=ZBAC,
二AASCsaA®*
AD：
ACHAC:
AB,
艮卩HC：
=4D•一毎-
同理可证FASflSs
二HC*=（川D+D£）・川占=討$1,即o'+i）i=匚
I【证法9】（畅作玫证明）
垂足为巴过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为
做两个全等的直角三角形.设它们的两条直角边长分别为吐、bCb>a\斜边长为亡.再做一个边长为U的正方形.把它们拼成如图所示的多边形-过丄作AF丄AGAF交GT于F…IF交DT于R.过B作肝丄左F,
E,DE交AF于乩
TZBAD二90",ZPAC=W,
二ZDAH=ZEAC.
又■/ZDHA=90",ZBCA=9（^,
AD=AB=C；
二Rt业DHA◎Rt也BCA.
二DH=BC=a,AH=AC=b.
由作法可知，PECA是一个矩形，所以RtAAFB丝RtAgCA.即PB=CA=b,AP=a,从而卩H=b—au
*；RtiDGT瓷RtiBCA,
g卫與.奉廳2瞬
二Dtr^T?
G=a™2S5?
=ZHDA.
又TZDGT二90°,ZDHF二W,
二愍空.匹I竺雛屯哪,
二DGFH是一亍边故为a的止万形.
二GF=FH=a.TF±AF.TF=GT-GF=b—a.
二TFPB是一个直角梯形，上底TF二b-E下底SP=b,高FPp+（b-G.用数字表示面积的编号（如图九则以C为边长的正方形的面积为
C*=S]+Sj+Sj+s耳+s予
**场+昂+Sq二挣+0-口）]讥+0-口）]_
①
b^--ab
2
二S,+S,=b*--ab-S,^护-S]f把②代入①，得
=5^+5]+F-S]fSj+Sj+Sp
-时+男+男-酹+/,
-盼+沪=八
【证法10]t李钱ffi明）
设直角三角形两直角边的长分别为a.b（b>a）,斜边的长为=做三个边长分别为包、b.C的正方形，把它忙I拼成如S所示形状，使爪E.G三点在一条直线上.用数字表示面积的编号（如图）.
TZTBE=
:
.ZTBH=
又TZBTH=BT=BE-
:
、RtAHBT丝RtAABE.
:
、HT二AE二比
:
、GH=GT-HT=b-a.
又TZGHF+ZBEI=90\
ZDBC+ZBHT=ZTBH+
二ZGHF=ZDBC
'：
DB=ER—ED=b-a>
ZHGF=ZBX=9呼，
:
、gtAHGF丝RtA.jBgC.即工二$2.
过Q作Q蛆丄AL垂足是乩由ZBAQ二ZBEA二
二ZQAMt而AB二AQ二0
R貯避.所以陆Ajj里空Rt.即
—細SE百屁卫滋又得QM=A£=a,ZAQM二ZBAE.
ZABH=9tr「Z.ABE.
ZBEA=90°,Hbj
fes
Kc
上
R
a
H
bB
G
A
ZBHT=90%□
E
5
9Cn可知ZABE
所以驰玉賤旦陆29迪.•又5x2JSSI-
a.
ZHGF=ZBDC=90%
二RtAHGF竺RtABDC.即思产h.
\-VvVv\-VvVvVvVvVv\Vv\-Vv\-VvVv\-VvVvV\
过Q作QNLLAG,垂足是底由ZBAQ二ZBEA二9化可知ZABE=ZQAM,而壷B=AQ=C.所以RtAABE竺肚綁M-又RMHET空RtAABE.所以RtAHBT竺班色QM.即况=匹.
由RtAABE竺RtAQ.W,又得QM=AE=a,ZAQM=ZEAE.
VvVvVvVvVvVvVvVvXVvVvVv\-VvvA-VvVv\
丁ZAQM+ZFQM=90%ZBAE+ZCAR=90%ZAQM=NBAE,二ZFQM=ZCAR.
a,
又丁ZQitF=ZARC=90%QM=AR=
二RtAq^fF竺RtAARC.即$严耳-
\-VvVv\-VvVv\^Zv\-Vv\Vv\-Vv\-VvVv\-VvVvV\
丁亡2=$1+昂+爲+S斗+5；,/=S]+Ssj=S.+S-+S,
V'*=A易=壬乌=斗
二宀b'=S\+S5+Sm+斗+禺
二S]+rS斗+$2+Sj
—C
C,
在d磁中「设直珀边BC=a,AC=b,斜边AB=c,如图「以0为圆心a为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于IkE,则ED=BE=BC=a.因为ZE仙=90\点C在©B上，所以扛是©B的切线，由切割线是理，得
屁；=毘£>3
二｛as+se'as-sd）
=（c+d）（c-d）
r*
=f，
即b—1,
:
.宀―\
t证法12】（利用雾列米定理证明｝
在R2ABC中，设直角边BC=a.AC=b,斜边AB=c（如图）*过点"&作AD//CB,过点B作BD>ZCA,则ACBD为矩形，矩形ACBD内接于一个圆，根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有
=JD*5CSED,
a.
TAB=DC=c,AD=BC=
AC=BD=b,
二且0’=占c'+」c',即/吕口：
+盼，
二£?
+，=/
■►r
-（4+0+亡）严
b.斜边啊的长为G过
【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）
在gt黒照中，设直角边EC=a,AC=b,斜边託=切点分W?
d7e>F（如圏人设©0的半径为r.
TAE=AF,BF=BD,CD=CE,
二MC+BC-AB={AE+CE}+[SD+CD）—（討戸+EF）
=CE+CD二r+r=2r，即a+=2r,
r*a+b=2f+f.
A-（2r+c）\
gp■^2aif=4（r*+rc）+c*
又TSg厂匚沪Sae+Sse=2^""2^2
—{2r+C+c）r
/,4（宀n：
）=4£sr,
*・》4卜'+临）=2胡’
「■/+即+2口&=2e占+（；'』
【证法14】（利用反证法证明）
如图，在§1卫匸中「设直角边AG阮的长度分别为a、
点C作CD丄AE.垂足是D.
假设/十护乂蔦即假设也'+證2厂护「则由
=AJ*.』5=M（a+AD）=aB・aD+AB・BD
可知-心5扭-M,或者肋•ED.即AD：
AC^AC：
AB.或者BD：
BC?
^BC：
AB.
在AAK和lACB中，
丁ZA=ZA,
二若AD：
AC^AC：
AB,则
ZADCHZACE.
在■AC咀和■A他中，
TZB=ZE>
二若BD：
BCt^BC：
ABx贝J
ZCDB^ZACB.
又TZACB=9Cr,
二Z：
ADCH9（r,ZCDEHgcr
e+恥’*曲谢假设不能成立
这与作法CD丄AB矛盾.所以「
二/"—J
ab
ab
a
a
b
b
【证法15】（辛卜松证明）
Ab.3□
BT6a
设直角三角形两直角边的长分别为已*,斜边的长为⑺作边长是a吒的正方形ABCD*把正方形ABB划分咸上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的积为（»疔=/+护+滋.把正方形.〈BCD划分成上方右图所示的几个部分「则正方形ABCD的
（a+4X—ab+T
'2二2如i.
小十护十2aij=2ab十F,
面积为
［证法祐】（陈杰证明）
设直甬三角形两直角边的长分别为a.b（b>aX斜边的长为B做两亍边长分别为包、氐U三点在一条宜线上.用数字表
b的正方形a）.把它们拼成如图所示形状，示面积的絹号（如图）.
在EH-b上截取ED-a,连结加、DC,
则AD=B
丁EH=EH+HM=b十a,ED=
二DM=EM-ED=（b+切一a=b,又TZCMD=
ZAED三
:
.RtAAED
AZEAD
VZADE
ZADE
:
.ZAX
二作AB/7DC,CB?
/DA,则期5是一个边长为c的正方激
'：
ZBAF+ZFAD=ZDAE+ZFAD=9（r,
AZBAF=ZD.\E,
连结FB,在△ABF和iADE中，
便E、
5b
a,A
G
2
b
a
E—b
9少,CM=a.
90\AE=b,
zmdcTdT=ad=c.
ZAX+ZMDC=1SO\
HaM
B
C
Fd
ZMDC=ZADE-ZEAD=90J90\
54+寸s+ES+（is+gs）+T+£+占H
0S+"s十TS+LS+msHc心+••・
JS+gsHFSH"shtsLS+Esh飞扌s+rs*十Is"〔旳rs+叶s+k+CSH・「r.33mlavw」•
■:
8H自6H0^H%・「■T^w喺IWHJMrq抵八・HsHJsH0w_ccs>i.l>lrl>———-■3v
U
II
%
+
H
ab
方2
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b
a
b
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C
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D石
z
z
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c
A
a
A
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A
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