第四章-可测函数.ppt

1、第四章 可测函数,1 可测函数及其性质,2 叶果洛夫定理,3 可测函数的构造,4 依测度收敛,要点：可测函数是利用勒贝格可测集来刻画的，勒贝格可测函数是勒贝格积分的基本对象。,记号：一个定义在 上的实函数 确定了E的一组子集这里 取遍一切有限实数，反之，本身也由E的这组子集而完全确定。,类似地，有,1 可测函数及其性质,（4）都可测。,（3）都可测。,（2）都可测。,设 是定义在可测集E上的实函数，对于任何有限实数,1、可测函数定义,设 是定义在可测集 的实函数，如果对于任何有限实数，都是可测集，则称 为定义在E上的可测函数。,不是一个函数值，而是一个集合,在E上可测,（1）都可测。,可测函数

2、等价定义,推论：设 在E上可测，则 总可测，不论 是有限实数或,即：可测集E上的常值函数是可测函数。,例题 2：勒贝格零测集上所定义的函数必是可测函数。,问题：连续函数是可测函数吗？,2、点集上的连续函数定义,定义在 上的实函数，如果 有限，而且对于 的任一邻域V，存在 的某邻域U，使得，即只要 且 时，便有，则 在 连续。,如果 在E中每一点都连续，则称 在E上连续。,例题 1：区间a,b上的连续函数与单调函数都是是可测函数。,注：这个定义并不要求E是可测集；当E是某个区间时，它与数学分析中连续的概念相一致。,定理 2：可测集 上的连续函数是可测函数。,定理 3：（1）设 是可测集E上的可测

3、函数，而 为E的可测子集，则 看作定义在 上的函数时，它是 上的可测函数；,（2）设 定义在有限个可测集 的并集 上，且 在每个 上都可测，则 在E上也可测。,3、可测函数基本性质,注：并不是可测集的所有子集都是可测的。,引理：设 与 为 E上的可测函数，则 与 都是可测集。,定理 4：设 与 为在E上可测，则函数 集中在零测集上）可测集。,定理 5：设 是E上一列（或有限个）可测函数，则 与 都在E上可测。,定理 6：设 是E上一列可测函数，则 也在E上可测，特别当 存在时，它也在可测。,可测函数列的极限,4、简单函数及其性质,（1）定义：设 的定义域E可分为有限个互不相交的可测集 即，使

4、在每个 上都等于某常数，则称 为简单函数。,例如：在区间0，1上的狄利克雷函数是可测的非连续函数。,结论：任何简单函数都是可测的。,定理 7：设 在E上可测，则 总可以表示成一列简单函数 的极限函数，而且还可办到,（2）简单函数与可测函数的关系,（3）可得可测函数等价定义,函数 在E上可测的充要条件是 总可以表示成一列简单函数 的极限函数，其中,5、几乎处处成立,注：1简单函数仅取有限个实数值，且每个值是在一个可测子集上取的。,2简单函数列的极限函数不一定是简单函数，甚至某些点处极限函数可能为，然而简单函数一定是可测函数。,设 是一个与集合E的点 有关的命题，如果存在E的子集M，适合，使得 在

5、EM上恒成立，即EE 成立=零测度集，则我们称 在E上几乎处处成立，或说 a.e.于E成立。,即：如果一个命题S在集E上除了某个零测度子集外处处成立，是命题不成立的点总包含在某个零测集当中，则说命题S在E上几乎处处成立。,例题 3（1）与 在E上几乎处处相等，指：,（2）在E上几乎处处有限，指：,（3）著名的勒贝格微分定理：若 是a,b上的单调函数，则 在a,b上几乎处处可导。,（4）0,1上的狄利克雷函数 a.e.于 0,1,性质：,（1）a.e.于E 且 a.e.于E，则 或 a.e.于E，且 a.e.于E.,（2）f和g是定义在可测集E上几乎处处相等的函数，如果f是E的可测函数，则g也是

6、E上的可测函数。,设 是定义于E上的函数列,2 叶果洛夫定理,1、收敛、几乎处处收敛、一致收敛,收敛：若存在E上的函数，对于，则称函数列 在E上收敛，为 的极限函数。,几乎处处收敛：若存在，在 上收敛于，则称 在E上几乎处处收敛于，记为,一致收敛：若对于，存在自然数N，对 及 都有，则称函数列 在E上一致收敛于。,2、几乎一致收敛（叶果洛夫定理）,设，是E上可测函数列，是E上几乎处处有限的函数，在E上几乎处处收敛于，则对任意，存在子集，使 在 上一致收敛，且则称 在E上几乎一致收敛于，记为,注：1”一致收敛”强于“收敛”，“收敛”强于“几乎处处收敛”,2叶果洛夫定理得逆命题就是若，则,3叶果洛

7、夫定理揭示了可测函数列几乎处处收敛与一致收敛的关系，根据这个定理，对于任意几乎处处收敛的可测函数列，都可在E的一个子集 上当作一致收敛的函数列来处理。,3 可测函数的构造,鲁金定理,设 是E上几乎处处有限的可测函数，则对任意，存在闭子集，使 在 上是连续函数，且简言之，在E上a.e.有限的可测函数是“基本上连续”的函数。,注：（1）可测集上的连续函数一定是可测函数，反之，一般的可测函数可以说是基本上连续的函数，该定理揭示了可测函数与连续函数的关系。,（2）若 在E上可测，在E上除去一个测度小于 的子集后，函数连续，这样就将可测函数问题转化为连续函数问题。,4 依测度收敛,1、依测度收敛,设 是 上的一列a.e.有限的可测函数，若有E上a.e.有限的可测函数，满足下列关系：,对任意 有，则称函数列 依测度收敛于，记为,文字描述：如果事先给定一个误差，不论这个 有多么小，使得 的点 虽然可能很多，但这些点的全体的测度随着 无限增大而趋向于0。,2、勒贝格收敛定理,（1）设E可测，,（2）是E上a.e.有限的可测函数列；,（3）是E上a.e.收敛于，且 a.e.于E；,则,定理说明：依测度收敛弱于几乎处处收敛。,3、黎斯定理,设在E上 测度收敛于，则存在子列 在E上几乎处处收敛于,4、测度收敛的唯一性,