第四章-可测函数.ppt

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第四章可测函数,1可测函数及其性质,2叶果洛夫定理,3可测函数的构造,4依测度收敛,要点：

可测函数是利用勒贝格可测集来刻画的，勒贝格可测函数是勒贝格积分的基本对象。

记号：

一个定义在上的实函数确定了E的一组子集这里取遍一切有限实数，反之，本身也由E的这组子集而完全确定。

类似地，有,1可测函数及其性质,（4）都可测。

（3）都可测。

（2）都可测。

设是定义在可测集E上的实函数，对于任何有限实数,1、可测函数定义,设是定义在可测集的实函数，如果对于任何有限实数，都是可测集，则称为定义在E上的可测函数。

不是一个函数值，而是一个集合,在E上可测,

（1）都可测。

可测函数等价定义,推论：

设在E上可测，则总可测，不论是有限实数或,即：

可测集E上的常值函数是可测函数。

例题2：

勒贝格零测集上所定义的函数必是可测函数。

问题：

连续函数是可测函数吗？

2、点集上的连续函数定义,定义在上的实函数，如果有限，而且对于的任一邻域V，存在的某邻域U，使得，即只要且时，便有，则在连续。

如果在E中每一点都连续，则称在E上连续。

例题1：

区间a,b上的连续函数与单调函数都是是可测函数。

注：

这个定义并不要求E是可测集；当E是某个区间时，它与数学分析中连续的概念相一致。

定理2：

可测集上的连续函数是可测函数。

定理3：

（1）设是可测集E上的可测函数，而为E的可测子集，则看作定义在上的函数时，它是上的可测函数；,

（2）设定义在有限个可测集的并集上，且在每个上都可测，则在E上也可测。

3、可测函数基本性质,注：

并不是可测集的所有子集都是可测的。

引理：

设与为E上的可测函数，则与都是可测集。

定理4：

设与为在E上可测，则函数集中在零测集上）可测集。

定理5：

设是E上一列（或有限个）可测函数，则与都在E上可测。

定理6：

设是E上一列可测函数，则也在E上可测，特别当存在时，它也在可测。

可测函数列的极限,4、简单函数及其性质,

（1）定义：

设的定义域E可分为有限个互不相交的可测集即，使在每个上都等于某常数，则称为简单函数。

例如：

在区间0，1上的狄利克雷函数是可测的非连续函数。

结论：

任何简单函数都是可测的。

定理7：

设在E上可测，则总可以表示成一列简单函数的极限函数，而且还可办到,

（2）简单函数与可测函数的关系,（3）可得可测函数等价定义,函数在E上可测的充要条件是总可以表示成一列简单函数的极限函数，其中,5、几乎处处成立,注：

1简单函数仅取有限个实数值，且每个值是在一个可测子集上取的。

2简单函数列的极限函数不一定是简单函数，甚至某些点处极限函数可能为，然而简单函数一定是可测函数。

设是一个与集合E的点有关的命题，如果存在E的子集M，适合，使得在EM上恒成立，即EE成立=零测度集，则我们称在E上几乎处处成立，或说a.e.于E成立。

即：

如果一个命题S在集E上除了某个零测度子集外处处成立，是命题不成立的点总包含在某个零测集当中，则说命题S在E上几乎处处成立。

例题3

（1）与在E上几乎处处相等，指：

（2）在E上几乎处处有限，指：

（3）著名的勒贝格微分定理：

若是a,b上的单调函数，则在a,b上几乎处处可导。

（4）0,1上的狄利克雷函数a.e.于0,1,性质：

（1）a.e.于E且a.e.于E，则或a.e.于E，且a.e.于E.,

（2）f和g是定义在可测集E上几乎处处相等的函数，如果f是E的可测函数，则g也是E上的可测函数。

设是定义于E上的函数列,2叶果洛夫定理,1、收敛、几乎处处收敛、一致收敛,收敛：

若存在E上的函数，对于，则称函数列在E上收敛，为的极限函数。

几乎处处收敛：

若存在，在上收敛于，则称在E上几乎处处收敛于，记为,一致收敛：

若对于，存在自然数N，对及都有，则称函数列在E上一致收敛于。

2、几乎一致收敛（叶果洛夫定理）,设，是E上可测函数列，是E上几乎处处有限的函数，在E上几乎处处收敛于，则对任意，存在子集，使在上一致收敛，且则称在E上几乎一致收敛于，记为,注：

1”一致收敛”强于“收敛”，“收敛”强于“几乎处处收敛”,2叶果洛夫定理得逆命题就是若，则,3叶果洛夫定理揭示了可测函数列几乎处处收敛与一致收敛的关系，根据这个定理，对于任意几乎处处收敛的可测函数列，都可在E的一个子集上当作一致收敛的函数列来处理。

3可测函数的构造,鲁金定理,设是E上几乎处处有限的可测函数，则对任意，存在闭子集，使在上是连续函数，且简言之，在E上a.e.有限的可测函数是“基本上连续”的函数。

注：

（1）可测集上的连续函数一定是可测函数，反之，一般的可测函数可以说是基本上连续的函数，该定理揭示了可测函数与连续函数的关系。

（2）若在E上可测，在E上除去一个测度小于的子集后，函数连续，这样就将可测函数问题转化为连续函数问题。

4依测度收敛,1、依测度收敛,设是上的一列a.e.有限的可测函数，若有E上a.e.有限的可测函数，满足下列关系：

对任意有，则称函数列依测度收敛于，记为,文字描述：

如果事先给定一个误差，不论这个有多么小，使得的点虽然可能很多，但这些点的全体的测度随着无限增大而趋向于0。

2、勒贝格收敛定理,

（1）设E可测，,

（2）是E上a.e.有限的可测函数列；,（3）是E上a.e.收敛于，且a.e.于E；,则,定理说明：

依测度收敛弱于几乎处处收敛。

3、黎斯定理,设在E上测度收敛于，则存在子列在E上几乎处处收敛于,4、测度收敛的唯一性,