立体几何证明题归类.docx

1、立体几何证明题归类 立体几何证明题归类 空间直线、平面的平行与垂直问题 一、“线线平行”与“线面平行”的转化问题，“线面平行”与“面面平行”的转 化问题 知识点： 一）位置关系：平行：没有公共点 相交：至少有一个公共点，必有一条公共直线，公共点都在公共直线上 相交包括垂直相交和斜交 二）平行的判定： 定义：没有公共点的两个平面平行 判定定理：若一个平面内的两条相交直线平行于另一平面，则这两个平面平行 垂直于同一条直线的两个平面平行平行于同一个平面的两个平面平行 过已知平面外一点作这个平面的平行平面有且只有一个三）平行的性质： 定义：两个平行平面没有公共点 性质定理一：若一个平面与两个平行平面都

2、相交，则两交线平行性质定理二：两个平行平面中的一个平面内的所有直线平行于另一个平面 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，必垂直于另一个平面 一般地，一条直线与两个平行平面所成的角相等，但反之不然 夹在两个平行平面间的平行线段相等特别地，两个平行平面间的距离处处相等 二、 “线线垂直”到“线面垂直”“线面垂直” 到“线线垂直”及三垂线定理 1、斜线长定理从平面外一点所引的垂线段和斜线段中射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；相等的两条斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；垂线段比任何一条斜线段都短2、直线与平面所成的角 一条直线若是平面的斜线，那么它和它在平面上的射影所成的

3、锐角，叫做这条直线与平面所成的角。特别地，若这条直线是平面的垂线，那么这条直线与平面所成的角是直角;如果这条 直线平行于这个平面,那么直线与平面所成的角是0。090结论：斜线与平面所成的角，是这条直线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。3、三垂线定理及逆定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面内的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 逆定理：在平面内的一条直线和这个平面内的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在这个平面内的射影垂直。 其主要作用有：证明问题：如线线、线面、面面垂直的证明； 例题 1、：如图，在底面为平行四边形的四棱锥P?ABCD中，AB?AC，PA?平

4、面ABCD，点E是PD的中点. 求证：PB/平面AEC；求证：EO?PD； 2、如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱EF/1BC ?2证明FO/平面CDE； 设BC?3CD，证明EO?平面CDF3、如图，在长方体 ABCD?A1BC11D1中，E,P分别是BC,A1D1的 中点，M,N分别是 A,E1C的D中点， AD?AA1?a,AB?2a 求证：MN/面ADD1A1； 求二面角P?AE?D的大小。 求三棱锥P?DEN的体积。4、如图，四棱锥P?ABCD的底面是正方形，PD?底面ABCD，点E在棱PB上. 求证：平面AEC?平面PDB； 5

5、、如图，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点， PA?1，P在平面ABC内的射影为BF的中点O。 证明PABF； 求O到平面PAB的距离。 6、如图，平面PAC?平面ABC，?ABC 是以AC为斜边的等腰直角三角形，E,F,O分别为PA， PB，AC的中点，AC?16，PA?PC?10 设G是OC的中点，证明：FG/平面BOE； 求二面角P-AB-C的大小。 7、如图，PCBM是直角梯形，PCB90，PMBC，PM1，BC2，又AC1，ACB120，ABPC，直线AM与直线PC所成的角为60. 求证：平面PAC平面ABC; 求二面角M?AC?B的大小; 求三棱锥P?MAC的体积.

6、8、如图，平面ABEF?平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形， ?BAD?FAB?900,BC/?1AD，BE2/?1AF 2证明：C,D,F,E四点共面； 设AB?BC?BE，求二面角A?ED?B的大小； 9、如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，ABE是等腰直角三角形，AB?AE,FA?FE,?AEF?45? 求证：EF?平面BCE； 设线段CD的中点为P，在直线AE上是否存在一点M，使得PM?平面BCE？若存在，请指出点M的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理； 求二面角F?BD?A的大小。 10、已知正方体ABCDABCD的棱长为1，点M是

7、棱AA的中点，点O是对角线BD的中点. 求证：OM为异面直线AA和BD的公垂线； 求二面角MBCB的大小； 求三棱锥MOBC的体积. D?C?B?A?M?DA?OCBP11. 如图，四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为矩形， PD?底面ABCD，AD?PD，E、F分别为 CD、PB的中点 求证：EF?平面PAB；设AB?的角的大小 CFEAD2BC，求AC与平面AEF所成 B12、(14分)已知正方体ABCD?A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点. 求证：C1O/平面AB1D1；(2）A1C?平面AB1D1 13.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、G分别是A1A， D1

8、C，AD的中点； B1A1D1C1NM求证：MN/平面ABCD； MN平面B1BG 14.如图 3 所示，在四面体 BAGDCP?ABC中， PA?BC?6， PC?AB?10,AC?8,PB?234F是线段PB上一点，CF?1534，点E在线段AB上，且EF?PB 17P F E B 证明：PB?平面F； 求二面角B?CE?F的大小 15如图，在三棱锥PABC中，ABBC，ABBC 1PA， 2A 图3 C 点O、D分别是AC、PC的中点，OP底面ABC ()求证：OD平面PAB； () 求直线OD与平面PBC所成角的大小 16.如图，在三棱柱 ABC?A1B1C1中， AB?BC,BC?B

9、C1,AB?BC1，E,F,G分别为线段 AC1,AC11,BB1的中点， 求证：平面ABC?平面ABC1； EF/面BCC1B1； GF?平面AB1C1 17 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形， PD底面ABCD，E是AB上 一点，PEEC. 已知PD?2,CD?2,AE?1,求 2异面直线PD与EC的距离； 二面角EPCD的大小. 18已知三棱锥ABC中，、分别是AC、AB的中点， ABC，PEF都是正三角形，PFAB ()证明PC平面PAB； ()求二面角ABC的平面角的余弦值 19、如图，四棱锥P?ABCD的底面是正方形， PD?底面ABCD，点E在棱PB上. 求证：平面

10、AEC?平面PDB； 当PD?2AB且E为PB的中点时，求AE与 平面PDB所成的角的大小. 20如图所示，在长方体ABCD?A1BC11D1中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点 求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值； 证明：平面ABM平面A1B1M。 21.如右图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点 求证：EF平面CB1D1； 求证：B1D1平面CAA1C1 22.如图，已知矩形ABCD中，AB=10，BC=6，将矩形沿对角线BD把ABD折起，使A移到A1点，且A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上 求证：BC?A1D； 求证：平面A1BC?平

11、面A1BD； 求三棱锥A1?BCD的体积 23.如图，在正方体A1B1C1D1ABCD中，E、F分别是棱AB、BC的中点， O是上底面ABCD的中心。 求证：EF平面BB1D。 E为CC1的动点， 24.如图已知正方体ABCD?A1BC11D1中，点 求证：A1E?BD; 当E恰为CC1的中点时，求证：平面A1BD?EBD 空间直线、平面的平行与垂直问题 一、“线线平行”与“线面平行”的转化问题，“线面平行”与“面面平行”的转 化问题 知识点： 一）位置关系：平行：没有公共点 相交：至少有一个公共点，必有一条公共直线，公共点都在公共直线上 相交包括垂直相交和斜交 二）平行的判定： 定义：没有公

12、共点的两个平面平行 判定定理：若一个平面内的两条相交直线平行于另一平面，则这两个平面平行 垂直于同一条直线的两个平面平行平行于同一个平面的两个平面平行 过已知平面外一点作这个平面的平行平面有且只有一个三）平行的性质： 定义：两个平行平面没有公共点 性质定理一：若一个平面与两个平行平面都相交，则两交线平行性质定理二：两个平行平面中的一个平面内的所有直线平行于另一个平面 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，必垂直于另一个平面 一般地，一条直线与两个平行平面所成的角相等，但反之不然 夹在两个平行平面间的平行线段相等特别地，两个平行平面间的距离处处相等 二、 “线线垂直”到“线面垂直”“线面垂直”

13、 到“线线垂直”及三垂线定理 1、斜线长定理从平面外一点所引的垂线段和斜线段中射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；相等的两条斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；垂线段比任何一条斜线段都短2、直线与平面所成的角 一条直线若是平面的斜线，那么它和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线与平面所成的角。特别地，若这条直线是平面的垂线，那么这条直线与平面所成的角是直角;如果这条 直线平行于这个平面,那么直线与平面所成的角是0。090结论：斜线与平面所成的角，是这条直线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。3、三垂线定理及逆定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面内的一条斜

14、线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 逆定理：在平面内的一条直线和这个平面内的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在这个平面内的射影垂直。 其主要作用有：证明问题：如线线、线面、面面垂直的证明； 例题 1、：如图，在底面为平行四边形的四棱锥P?ABCD中，AB?AC，PA?平面ABCD，点E是PD的中点. 求证：PB/平面AEC；求证：EO?PD； 2、如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱EF/1BC ?2证明FO/平面CDE； 设BC?3CD，证明EO?平面CDF3、如图，在长方体 ABCD?A1BC11D1中，E,P分别是BC,

15、A1D1的 中点，M,N分别是 A,E1C的D中点， AD?AA1?a,AB?2a 求证：MN/面ADD1A1； 求二面角P?AE?D的大小。 求三棱锥P?DEN的体积。4、如图，四棱锥P?ABCD的底面是正方形，PD?底面ABCD，点E在棱PB上. 求证：平面AEC?平面PDB； 5、如图，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点， PA?1，P在平面ABC内的射影为BF的中点O。 证明PABF； 求O到平面PAB的距离。 6、如图，平面PAC?平面ABC，?ABC 是以AC为斜边的等腰直角三角形，E,F,O分别为PA， PB，AC的中点，AC?16，PA?PC?10 设G是OC的中

16、点，证明：FG/平面BOE； 求二面角P-AB-C的大小。 7、如图，PCBM是直角梯形，PCB90，PMBC，PM1，BC2，又AC1，ACB120，ABPC，直线AM与直线PC所成的角为60. 求证：平面PAC平面ABC; 求二面角M?AC?B的大小; 求三棱锥P?MAC的体积. 8、如图，平面ABEF?平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形， ?BAD?FAB?900,BC/?1AD，BE2/?1AF 2证明：C,D,F,E四点共面； 设AB?BC?BE，求二面角A?ED?B的大小； 9、如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，ABE是等腰直角三角形

17、，AB?AE,FA?FE,?AEF?45? 求证：EF?平面BCE； 设线段CD的中点为P，在直线AE上是否存在一点M，使得PM?平面BCE？若存在，请指出点M的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理； 求二面角F?BD?A的大小。 10、已知正方体ABCDABCD的棱长为1，点M是棱AA的中点，点O是对角线BD的中点. 求证：OM为异面直线AA和BD的公垂线； 求二面角MBCB的大小； 求三棱锥MOBC的体积. D?C?B?A?M?DA?OCBP11. 如图，四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为矩形， PD?底面ABCD，AD?PD，E、F分别为 CD、PB的中点 求证：EF?平面PAB；

18、设AB?的角的大小 CFEAD2BC，求AC与平面AEF所成 B12、(14分)已知正方体ABCD?A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点. 求证：C1O/平面AB1D1；(2）A1C?平面AB1D1 13.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、G分别是A1A， D1C，AD的中点； B1A1D1C1NM求证：MN/平面ABCD； MN平面B1BG 14.如图 3 所示，在四面体 BAGDCP?ABC中， PA?BC?6， PC?AB?10,AC?8,PB?234F是线段PB上一点，CF?1534，点E在线段AB上，且EF?PB 17P F E B 证明：PB?平面F； 求二面角B?CE?F的大小 15如图，在三棱锥PABC中，ABBC，ABBC 1PA， 2A 图3 C 点O、D分别是AC、PC的中点，OP底面ABC ()求证：OD平面PAB； () 求直线OD与平面PBC所成角的大小 16.如图，在三棱柱 ABC?A1B1C1中， AB?BC,BC?BC1,AB?BC1，E,F,G分别为线段 AC1,AC11,BB1的中点， 求证：平面ABC?平面ABC1； EF/面BCC1B1； GF?平面AB1C1