立体几何证明题归类.docx
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立体几何证明题归类
立体几何证明题归类
空间直线、平面的平行与垂直问题
一、“线线平行”与“线面平行”的转化问题，“线面平行”与“面面平行”的转
化问题知识点：
一）位置关系：
平行：
没有公共点．
相交：
至少有一个公共点，必有一条公共直线，公共点都在公共直线上．相交包括垂直相交和斜交．
二）平行的判定：
定义：
没有公共点的两个平面平行．
判定定理：
若一个平面内的两条相交直线平行于另一平面，则这两个平面平行．
垂直于同一条直线的两个平面平行．平行于同一个平面的两个平面平行．
过已知平面外一点作这个平面的平行平面有且只有一个．三）平行的性质：
定义：
两个平行平面没有公共点．
性质定理一：
若一个平面与两个平行平面都相交，则两交线平行．性质定理二：
两个平行平面中的一个平面内的所有直线平行于另一个平面．
一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，必垂直于另一个平面．
一般地，一条直线与两个平行平面所成的角相等，但反之不然．
夹在两个平行平面间的平行线段相等．特别地，两个平行平面间的距离处处相等．
二、“线线垂直”到“线面垂直”“线面垂直”到“线线垂直”及三垂线定理
1、斜线长定理——从平面外一点所引的垂线段和斜线段中①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；②相等的两条斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；③垂线段比任何一条斜线段都短2、直线与平面所成的角
一条直线若是平面的斜线，那么它和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线与平面所成的角。
特别地，若这条直线是平面的垂线，那么这条直线与平面所成的角是直角;如果这条
直线平行于这个平面,那么直线与平面所成的角是0。
090结论：
斜线与平面所成的角，是这条直线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。
3、三垂线定理及逆定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面内的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
逆定理：
在平面内的一条直线和这个平面内的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在这个平面内的射影垂直。
其主要作用有：
①证明问题：
如线线、线面、面面垂直的证明；
例 题
1、：
如图，在底面为平行四边形的四棱锥P?
ABCD中，AB?
AC，PA?
平面ABCD，点E是PD的中点.求证：
PB//平面AEC；求证：
EO?
PD；
2、如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱EF//1BC．?
2证明FO//平面CDE；
设BC?
3CD，证明EO?
平面CDF． 3、如图，在长方体
ABCD?
A1BC11D1中，E,P分别是BC,A1D1的
中点，M,N分别是
A,E1C的D中点，
AD?
AA1?
a,AB?
2a
求证：
MN//面ADD1A1；
求二面角P?
AE?
D的大小。
求三棱锥P?
DEN的体积。
4、如图，四棱锥P?
ABCD的底面是正方形，PD?
底面ABCD，点E在棱PB上.求证：
平面AEC?
平面PDB；
5、如图，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点，
PA?
1，P在平面ABC内的射影为BF的中点O。
证明PA⊥BF；
求O到平面PAB的距离。
6、如图，平面PAC?
平面ABC，?
ABC
是以AC为斜边的等腰直角三角形，E,F,O分别为PA，
PB，AC的中点，AC?
16，PA?
PC?
10．
设G是OC的中点，证明：
FG//平面BOE；求二面角P-AB-C的大小。
7、如图，PCBM是直角梯形，∠PCB＝90°，PM∥BC，PM＝1，BC＝2，又AC＝1，∠ACB＝120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°.求证：
平面PAC⊥平面ABC;求二面角M?
AC?
B的大小;求三棱锥P?
MAC的体积.
8、如图，平面ABEF?
平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，
?
BAD?
?
FAB?
900,BC//?
1AD，BE2//?
1AF2证明：
C,D,F,E四点共面；
设AB?
BC?
BE，求二面角A?
ED?
B的大小；
9、如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB?
AE,FA?
FE,?
AEF?
45?
求证：
EF?
平面BCE；
设线段CD的中点为P，在直线AE上是否存在一点M，使得PM?
平面BCE？
若存在，请指出点M的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理；求二面角F?
BD?
A的大小。
10、已知正方体ABCD－A'B'C'D'的棱长为1，点M是棱AA'的中点，点O是对角线BD'的中点.
求证：
OM为异面直线AA'和BD'的公垂线；求二面角M－BC'－B'的大小；求三棱锥M－OBC的体积.
D?
C?
B?
A?
M?
DA?
OCBP11.如图，四棱锥P?
ABCD中，底面ABCD为矩形，
PD?
底面ABCD，AD?
PD，E、F分别为
CD、PB的中点．
求证：
EF?
平面PAB； 设AB?
的角的大小
CFEAD2BC，求AC与平面AEF所成
B12、（14分）已知正方体ABCD?
A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点.求证：
C1O//平面AB1D1；
（2）A1C?
平面AB1D1．
13.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、G分别是A1A，
D1C，AD的中点；
B1A1D1C1NM求证：
MN//平面ABCD；
MN⊥平面B1BG．
14.如图
3
所示，在四面体
BAGDCP?
ABC中，
PA?
BC?
6，
PC?
AB?
10,AC?
8,PB?
234．F是线段PB上一点，CF?
1534，点E在线段AB上，且EF?
PB．17PFE
B
证明：
PB?
平面ＣＥF；求二面角B?
CE?
F的大小．
15．如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝
1PA，2A
图3
C
点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．（Ⅰ）求证：
OD∥平面PAB；
（Ⅱ）求直线OD与平面PBC所成角的大小．
16.如图，在三棱柱
ABC?
A1B1C1中，
AB?
BC,BC?
BC1,AB?
BC1，E,F,G分别为线段
AC1,AC11,BB1的中点，
求证：
平面ABC?
平面ABC1；
EF//面BCC1B1；GF?
平面AB1C1
17．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，E是AB上一点，PE⊥EC.已知PD?
2,CD?
2,AE?
1,求2异面直线PD与EC的距离；二面角E—PC—D的大小.
18．已知三棱锥Ｐ－ABC中，Ｅ、Ｆ分别是AC、AB的中点，△ABC，△PEF都是正三角形，PF⊥AB．（Ⅰ）证明PC⊥平面PAB；
（Ⅱ）求二面角Ｐ－AB－C的平面角的余弦值
19、如图，四棱锥P?
ABCD的底面是正方形，
PD?
底面ABCD，点E在棱PB上.
求证：
平面AEC?
平面PDB； 当PD?
2AB且E为PB的中点时，求AE与
平面PDB所成的角的大小.
20．如图所示，在长方体ABCD?
A1BC11D1中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点
求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；证明：
平面ABM⊥平面A1B1M。
21.如右图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点．求证：
EF∥平面CB1D1；求证：
B1D1⊥平面CAA1C1
22.如图，已知矩形ABCD中，AB=10，BC=6，将矩形沿对角线BD把△ABD折起，使A移到A1点，且A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上．求证：
BC?
A1D；
求证：
平面A1BC?
平面A1BD；求三棱锥A1?
BCD的体积
23.如图，在正方体A1B1C1D1—ABCD中，E、F分别是棱AB、BC的中点，O是上底面ABCD的中心。
求证：
EF⊥平面BB1D。
E为CC1的动点，24.如图已知正方体ABCD?
A1BC11D1中，点
①求证：
A1E?
BD;
②当E恰为CC1的中点时，求证：
平面A1BD?
EBD
空间直线、平面的平行与垂直问题
一、“线线平行”与“线面平行”的转化问题，“线面平行”与“面面平行”的转
化问题知识点：
一）位置关系：
平行：
没有公共点．
相交：
至少有一个公共点，必有一条公共直线，公共点都在公共直线上．相交包括垂直相交和斜交．
二）平行的判定：
定义：
没有公共点的两个平面平行．
判定定理：
若一个平面内的两条相交直线平行于另一平面，则这两个平面平行．
垂直于同一条直线的两个平面平行．平行于同一个平面的两个平面平行．
过已知平面外一点作这个平面的平行平面有且只有一个．三）平行的性质：
定义：
两个平行平面没有公共点．
性质定理一：
若一个平面与两个平行平面都相交，则两交线平行．性质定理二：
两个平行平面中的一个平面内的所有直线平行于另一个平面．
一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，必垂直于另一个平面．
一般地，一条直线与两个平行平面所成的角相等，但反之不然．
夹在两个平行平面间的平行线段相等．特别地，两个平行平面间的距离处处相等．
二、“线线垂直”到“线面垂直”“线面垂直”到“线线垂直”及三垂线定理
1、斜线长定理——从平面外一点所引的垂线段和斜线段中①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；②相等的两条斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；③垂线段比任何一条斜线段都短2、直线与平面所成的角
一条直线若是平面的斜线，那么它和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线与平面所成的角。
特别地，若这条直线是平面的垂线，那么这条直线与平面所成的角是直角;如果这条
直线平行于这个平面,那么直线与平面所成的角是0。
090结论：
斜线与平面所成的角，是这条直线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。
3、三垂线定理及逆定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面内的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
逆定理：
在平面内的一条直线和这个平面内的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在这个平面内的射影垂直。
其主要作用有：
①证明问题：
如线线、线面、面面垂直的证明；
例 题
1、：
如图，在底面为平行四边形的四棱锥P?
ABCD中，AB?
AC，PA?
平面ABCD，点E是PD的中点.求证：
PB//平面AEC；求证：
EO?
PD；
2、如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱EF//1BC．?
2证明FO//平面CDE；
设BC?
3CD，证明EO?
平面CDF． 3、如图，在长方体
ABCD?
A1BC11D1中，E,P分别是BC,A1D1的
中点，M,N分别是
A,E1C的D中点，
AD?
AA1?
a,AB?
2a
求证：
MN//面ADD1A1；
求二面角P?
AE?
D的大小。
求三棱锥P?
DEN的体积。
4、如图，四棱锥P?
ABCD的底面是正方形，PD?
底面ABCD，点E在棱PB上.求证：
平面AEC?
平面PDB；
5、如图，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点，
PA?
1，P在平面ABC内的射影为BF的中点O。
证明PA⊥BF；
求O到平面PAB的距离。
6、如图，平面PAC?
平面ABC，?
ABC
是以AC为斜边的等腰直角三角形，E,F,O分别为PA，
PB，AC的中点，AC?
16，PA?
PC?
10．
设G是OC的中点，证明：
FG//平面BOE；求二面角P-AB-C的大小。
7、如图，PCBM是直角梯形，∠PCB＝90°，PM∥BC，PM＝1，BC＝2，又AC＝1，∠ACB＝120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°.求证：
平面PAC⊥平面ABC;求二面角M?
AC?
B的大小;求三棱锥P?
MAC的体积.
8、如图，平面ABEF?
平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，
?
BAD?
?
FAB?
900,BC//?
1AD，BE2//?
1AF2证明：
C,D,F,E四点共面；
设AB?
BC?
BE，求二面角A?
ED?
B的大小；
9、如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB?
AE,FA?
FE,?
AEF?
45?
求证：
EF?
平面BCE；
设线段CD的中点为P，在直线AE上是否存在一点M，使得PM?
平面BCE？
若存在，请指出点M的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理；求二面角F?
BD?
A的大小。
10、已知正方体ABCD－A'B'C'D'的棱长为1，点M是棱AA'的中点，点O是对角线BD'的中点.
求证：
OM为异面直线AA'和BD'的公垂线；求二面角M－BC'－B'的大小；求三棱锥M－OBC的体积.
D?
C?
B?
A?
M?
DA?
OCBP11.如图，四棱锥P?
ABCD中，底面ABCD为矩形，
PD?
底面ABCD，AD?
PD，E、F分别为
CD、PB的中点．
求证：
EF?
平面PAB； 设AB?
的角的大小
CFEAD2BC，求AC与平面AEF所成
B12、（14分）已知正方体ABCD?
A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点.求证：
C1O//平面AB1D1；
（2）A1C?
平面AB1D1．
13.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、G分别是A1A，
D1C，AD的中点；
B1A1D1C1NM求证：
MN//平面ABCD；
MN⊥平面B1BG．
14.如图
3
所示，在四面体
BAGDCP?
ABC中，
PA?
BC?
6，
PC?
AB?
10,AC?
8,PB?
234．F是线段PB上一点，CF?
1534，点E在线段AB上，且EF?
PB．17PFE
B
证明：
PB?
平面ＣＥF；求二面角B?
CE?
F的大小．
15．如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝
1PA，2A
图3
C
点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．（Ⅰ）求证：
OD∥平面PAB；
（Ⅱ）求直线OD与平面PBC所成角的大小．
16.如图，在三棱柱
ABC?
A1B1C1中，
AB?
BC,BC?
BC1,AB?
BC1，E,F,G分别为线段
AC1,AC11,BB1的中点，
求证：
平面ABC?
平面ABC1；
EF//面BCC1B1；GF?
平面AB1C1
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