轴对称全章复习与巩固基础知识讲解与巩固练习.docx

1、轴对称全章复习与巩固基础知识讲解与巩固练习轴对称全章复习与巩固（基础） 【学习目标】1. 认识轴对称、轴对称图形，理解轴对称的基本性质及它们的简单应用；2. 了解垂直平分线的概念，并掌握其性质；3. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，并掌握它们的性质以及判定方法.【知识网络】【要点梳理】要点一、轴对称1.轴对称图形和轴对称（1）轴对称图形如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.（2）轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形

2、重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质：关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴

3、对称图形2.线段的垂直平分线线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.要点二、作轴对称图形 1.作轴对称图形（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.2.用坐标表示轴对称点（,）关于轴对称的点的坐标为（,）；点（,）关于轴对称的点的坐标为（,）；点（,）关于原点对称的点的坐标为（,）

4、.要点三、等腰三角形 1.等腰三角形（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性质 等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45.（3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等 边”）.2.等边三角形（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60.（3）等边三角形的判定： 三条边都相等的三角形是等边三角形； 三个角都相等的三角形是等边三角形

5、； 有一个角为 60的等腰三角形是等边三角形.3.直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半.【典型例题】类型一、轴对称的判断与应用 1、如图所示的是在一面镜子里看到的一个算式，该算式的实际情况是怎样的？【答案与解析】该算式的情况是：12085205【总结升华】从镜子里看物体左右相反举一反三：【变式】如图,是一只停泊在平静水面上的小船,它的“倒影”应是图中的（ ）.【答案】B ；提示：从水中看物体上下颠倒2、如图，C、D、E、F是一个长方形台球桌的4个顶点，A、B是桌面上的两个球，怎样击打A球，才能使A球撞击桌面边缘CF后反弹能够撞击B球？请画

6、出A球经过的路线，并写出作法 【答案与解析】解：作点A关于直线CF对称的点G，连接BG交CF于点P，则点P即为A球撞击桌面边缘CF的位置，A球经过的路线如下图.【总结升华】这道题利用了轴对称的性质，把AP转化成了线段GP，通过找A点的对称点，从而确定点P的位置.举一反三：【变式】（2016春深圳校级期中）如图，AOB=30，AOB内有一定点P，且OP=10在OA上有一点Q，OB上有一点R若PQR周长最小，则最小周长是（）A10 B15 C20 D30【答案】A；提示：根据轴对称的性质，PQF的周长等于.3、如图，ABC中，点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3），点B的坐标为（3，1），

7、如果要使ABD与ABC全等，求点D的坐标 【思路点拨】关于AB直线对称，且与ABC全等的ABD有一个，此时的ABC与ABD绕着AB的中点旋转180，又可以找到两个与ABC全等的三角形.【答案与解析】解：满足条件的点D的坐标有3个（4，1）；（1，1）；（1，3）. 【总结升华】有一条边相同的全等三角形，可以通过轴对称和旋转的方法找出，注意不要漏解.举一反三：【变式】在直角坐标系中，ABC关于直线1轴对称，已知点A坐标是（4，4），则点B的坐标是（ ）A.（4，4） B.（4，2） C.（4，2） D.（2，4）【答案】C；提示：点A和点B是关于直线1对称的对应点，它们到1的距离相等是3个单位长

8、度，所以点B的坐标是（4，2）类型二、等腰三角形的性质与判定4、已知：一等腰三角形的两边长，满足方程组，则此等腰三角形的周长为（）A.5 B.4 C.3 D.5或4【思路点拨】通过解方程组算出等腰三角形的两边长，由于没有指定边长是腰还是底，所以需要分类讨论，最后还要注意检验能否构成三角形.【答案】A；【解析】解：解方程组得，当腰为1，2为底时，112，不能构成三角形， 当腰为2，1为底时，能构成三角形，周长为2215【总结升华】本题从边的方面考查等腰三角形，涉及分类讨论的思想方法求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去举一反三：【

9、变式】已知等腰三角形的一个内角为70，则另两个内角的度数是（）A.55，55 B.70，40 C.55，55或70，40 D.以上都不对 【答案】C；提示：当70为顶角时,另外两个角是底角，它们的度数是相等的，为（18070）255，当70为底角时,另外一个底角也是70,顶角是180140405、（2015秋淮安校级期末）如图：（1）P是等腰三角形ABC底边BC上的一个动点，过点P作BC的垂线，交AB于点Q，交CA的延长线于点R请观察AR与AQ，它们有何关系？并证明你的猜想（2）如果点P沿着底边BC所在的直线，按由C向B的方向运动到CB的延长线上时，（1）中所得的结论还成立吗？请你在图（2）中

10、完成图形，并给予证明【思路点拨】（1）由已知条件，根据等腰三角形两底角相等及三角形两直角互余的性质不难推出PRC与AQR的关系；（2）由已知条件，根据等腰三角形两底角相等及三角形两直角互余的性质不难推出BQP与PRC的关系【答案与解析】解：（1）AR=AQ，理由如下：AB=AC，B=CRPBC，B+BQP=C+PRC=90，BQP=PRCBQP=AQR，PRC=AQR，AR=AQ；（2）猜想仍然成立证明如下：AB=AC，ABC=CABC=PBQ，PBQ=C，RPBC，PBQ+BQP=C+PRC=90，BQP=PRC，AR=AQ【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质及判定；题中有两个类别的特殊三

11、角形，等腰三角形是两个底角相等，直角三角形是两个锐角互余，还有对顶角相等的条件，为角的关系转化提供依据举一反三：【变式1】（2016常州）如图，已知ABC中，AB=AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O（1）求证：OB=OC；（2）若ABC=50，求BOC的度数.【答案】（1）证明：AB=ACABCACB，BD、CE是高，DBCECB，OB=OC（2）ABC50，AB=AC，A=180-250=80，BOC=180-80=100.【变式2】如图，BAC90，以ABC的边AB、AC为直角边向外作等腰直角ABE和ACD，M是BC的中点，请你探究线段DE与AM之间的数量关系【答案】ED2AM解：

12、连接DE，BAC90，M是BC的中点AMBMMCEADBAC90，AEAB，ACADABCAEDEDBCED2AM类型三、等边三角形的性质与判定6、如图，设D为等边ABC内一点，且ADBD，BPAB, DBPDBC.求BPD的度数.【答案与解析】解：如图，连接CD，ABC是等边三角形，ABACBC，又ADBD，DC是公共边，BDCADC（SSS），DCBDCA6030，DBCDAC，DBPDBC，DACDBP，又已知BPAB，BPAC，DBPDAC（SAS），PACD30【总结升华】本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件举一反三：【

13、变式】（2014秋东胜区校级期中）如图，已知点B、C、D在同一条直线上，ABC和CDE都是等边三角形BE交AC于F，AD交CE于H（1）求证：BCEACD；（2）求证：FHBD【答案】证明：（1）ABC和CDE都是等边三角形，BC=AC，CE=CD，BCA=ECD=60，BCA+ACE=ECD+ACE，即BCE=ACD，在BCE和ACD中，BCEACD （SAS）（2）由（1）知BCEACD，则CBF=CAH，BC=AC又ABC和CDE都是等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，ACH=180ACBHCD=60=BCF，在BCF和ACH中，BCFACH （ASA），CF=CH，又FCH=60

14、，CHF为等边三角形FHC=HCD=60，FHBD【巩固练习】一.选择题1. （2016北京）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（）A B C D2（2015威海模拟）如图，ABC中BD、CD平分ABC、ACB，过D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，AB=5，AC=7，BC=8，AEF的周长为（） A13 B 12 C 15 D 203. 以下叙述中不正确的是（ ）A等边三角形的每条高线都是角平分线和中线B其中有一内角为60的等腰三角形是等边三角形C等腰三角形一定是锐角三角形D在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等；反之，在一个

15、三角形中，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等4下列条件有一个角为60的三角形；三个外角都相等的三角形；一边上的高与中线重合的三角形；有一个角为60的等腰三角形能判定三角形为等边三角形的有（ ） A1个 B2个 C3个 D4个5. 如图，BD是ABC的角平分线，DEBC，DE交AB于E, 且ABBC，则下列结论中错误的是（ ） ABDAC BAEDA CBC2AD DBEED6. 如图，ABC中，ACB90，CD是AB边上的高，BAC的角平分线AF交CD于E，则CEF必为（ ） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 7.下列说法中不正确的是（ ）A.等边三角

16、形是轴对称图形 B.若两个图形的对应点连线都被同一条直线垂直平分，则这两个图形关于这条直线对称 C.若 ,则这两个三角形一定关于一条直线对称 D.直线MN是线段AB的垂直平分线，若P点使PAPB，则点P在MN上，若，则不在MN上8如图所示,RtABC中，C90,AB的垂直平分线DE交BC于D，交AB于点E当B30时，图中不一定相等的线段有（ ）AACAEBE BADBD CCDDE DACBD二.填空题9. 如图，O是 ABC内一点，且 OAOBOC，若OBA20,OCB30，则OAC_.10. 如图，ABC中，A90，BD为ABC平分线，DEBC，E是BC的中点，C的度数为_.11. 如图，

17、ABC中，C90，D是CB上一点，且DADB4，B15,则AC的长为 12.（2014宝应县二模）如图，在ABC中，AB=AC，D、E是ABC内两点，AD平分BAC，EBC=E=60，若BE=60cm，DE=2cm，则BC= cm13. 点D、E分别在等边ABC的边AB、BC上，将BDE沿直线DE翻折，使点B落在B1处，DB1、EB1分别交边AC于点F、G若ADF80，则CEG 14一个汽车车牌在水中的倒影为 ，则该车的牌照号码是_15.（2016厦门校级模拟）在等腰ABC中，AB=AC，AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底边长为_.16. 三角形纸片ABC中，

18、A60，B80，将纸片的一角折叠，使点C落在ABC内，如图所示130，则2_三.解答题17.（2015春宜春期末）已知，在平面直角坐标系中，点M、N的坐标分别为（1，4）和（3，0），点Q是y轴上的一个动点，且M、N、Q三点不在同一直线上，当MNQ的周长最小时，求点Q的坐标18. 如图，上午9时，一条渔船从A出发，以12海里/时的速度向正北航行，11时到达B处，从A、B处望小岛C，测得NAC15，NBC30.若小岛周围12.3海里内有暗礁，问该渔船继续向正北航行有无触礁危险？ 19如图所示，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分DAB，且ABAE，ACAD，求证DBCDAB

19、 20如图所示，在ABC中，B90，ABBC，BDCE，M是AC边的中点，求证DEM是等腰三角形【答案与解析】一.选择题1. 【答案】D；【解析】A、是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项正确2. 【答案】B；【解析】解：EFBC，EDB=DBC，BD平分ABC，EBD=CBD，EDB=EBD，BE=ED，同理DF=CF，AEF的周长是AE+EF+AF=AE+ED+DF+AF=AE+BE+CF+AF=AB+AC=5+7=12故选B3. 【答案】C； 【解析】等腰三角形还有钝角三角形和直角三角形4. 【答案】B；【

20、解析】均能判定三角形为等边三角形.5. 【答案】C；【解析】因为BD是ABC的角平分线，DEBC，所以EBDDBCEDB，故B、D成立，由等腰三角形三线合一的性质知A成立.6. 【答案】A；【解析】CFABBAF，CEFECAEAC，而BECA，BAFEAC，故CEF为等腰三角形.7. 【答案】C；【解析】全等的两个三角形不一定关于一条直线对称.8. 【答案】D； 【解析】由角平分线的性质结合B30，可知A、B、C均成立.二.填空题9. 【答案】40； 【解析】AOB与BOC与AOC均为等腰三角形,OAC40.10.【答案】30； 【解析】证BDECDE，ABDDBEC30.11.【答案】2；

21、 【解析】ADC30，.12.【答案】62； 【解析】解：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，作DFBC，AB=AC，AD平分BAC，ANBC，BN=CN，EBC=E=60，BEM为等边三角形，EFD为等边三角形，BE=60，DE=2，DM=58，BEM为等边三角形，EMB=60，ANBC，DNM=90，NDM=30，NM=29，BN=31，BC=2BN=62，故答案为6213.【答案】40； 【解析】BDE，BEDDEG180506070，所以CEG40.14.【答案】 W 5236499【解析】只需将倒影沿垂直旋转180即可，因此该车的牌照号码为：W 5236499.15.【答案】16

22、或8； 【解析】BD是等腰ABC的中线，可设AD=CD=，则AB=AC=，根据题意可分两种情况：AB+AD=15，即，解得，此时BC=；AB+AD=21，即，解得，此时BC=；经验证，这两种情况都是成立的.这个三角形的底边长为8或16.16.【答案】50；【解析】C40，根据折叠图形对应角相等及三角形内角和定理，250.三.解答题17.【解析】解：作点N关于y轴的对称点N，连接MN交y轴于点Q，则此时MNQ的周长最小，理由：点N的坐标是（3，0），点N的坐标是（3，0），过点M作MDx轴，垂足为点D点M的坐标是（1，4）ND=MD=4MND=45，NO=OQ=3，即点Q的坐标是（0，3）18.

23、【解析】解：该渔船继续向正北航行有触礁危险作CDAB于D， 由题意AB24，NAC15，NBC30ACB15，ABBC24在直角三角形BCD中，DC12，1212.3，该渔船继续向正北航行有触礁危险.19.【解析】证明：AC平分DAB， DAECAB在DAE和CAB中， DAECAB（SAS）， BDAACB， 又AEDCEB， ADEAEDACBCEB， DAE180（ADEAED），DBC180（ACBCEB）， DAEDBC， DAEDAB，DBCDAB20【解析】证明：连接BM，ABBC，AMMC，BMAC，且ABMCBMABC45， ABBC，所以AC45， AABM，所以AMBM， BDCE，ABBC， ABBDBCCE，即ADBE， 在ADM和BEM中， ADMBEM（SAS）， DMEM，DEM是等腰三角形