轴对称全章复习与巩固基础知识讲解与巩固练习.docx
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轴对称全章复习与巩固基础知识讲解与巩固练习
轴对称全章复习与巩固（基础）
【学习目标】
1.认识轴对称、轴对称图形，理解轴对称的基本性质及它们的简单应用；
2.了解垂直平分线的概念，并掌握其性质；
3.了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，并掌握它们的性质以及判定方法.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、轴对称
1.轴对称图形和轴对称
（1）轴对称图形
如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：
轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
（2）轴对称
定义：
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质：
①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；
②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.
（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系
区别:
轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：
如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．
2.线段的垂直平分线
线段的垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
要点二、作轴对称图形
1.作轴对称图形
（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；
（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.
2.用坐标表示轴对称
点（
）关于
轴对称的点的坐标为（
－
）；点（
）关于
轴对称的点的坐标为（－
）；点（
）关于原点对称的点的坐标为（－
－
）.
要点三、等腰三角形
1.等腰三角形
（1）定义：
有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.
（2）等腰三角形性质
①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；
②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.
（3）等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等 边”）.
2.等边三角形
（1）定义：
三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.
（2）等边三角形性质：
等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.
（3）等边三角形的判定：
①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等的三角形是等边三角形；
③有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.
3.直角三角形的性质定理：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
【典型例题】
类型一、轴对称的判断与应用
1、如图所示的是在一面镜子里看到的一个算式，该算式的实际情况是怎样的？
【答案与解析】该算式的情况是：
120＋85＝205
【总结升华】从镜子里看物体——左右相反
举一反三：
【变式】如图,是一只停泊在平静水面上的小船,它的“倒影”应是图中的（）.
【答案】B；
提示：
从水中看物体——上下颠倒
2、如图，C、D、E、F是一个长方形台球桌的4个顶点，A、B是桌面上的两个球，怎样击打A球，才能使A球撞击桌面边缘CF后反弹能够撞击B球？
请画出A球经过的路线，并写出作法．
【答案与解析】
解：
作点A关于直线CF对称的点G，连接BG交CF于点P，则点P即为A球撞击桌面边缘CF的位置，A球经过的路线如下图.
【总结升华】这道题利用了轴对称的性质，把AP转化成了线段GP，通过找A点的对称点，从而确定点P的位置.
举一反三：
【变式】（2016春•深圳校级期中）如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（ ）
A．10B．15C．20D．30
【答案】A；
提示：
根据轴对称的性质，
，△PQF的周长等于
.
3、如图，ΔABC中，点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3），点B的坐标为
（3，1），如果要使ΔABD与ΔABC全等，求点D的坐标．
【思路点拨】关于AB直线对称，且与△ABC全等的△ABD有一个，此时的△ABC与△ABD绕着AB的中点旋转180°，又可以找到两个与△ABC全等的三角形.
【答案与解析】
解：
满足条件的点D的坐标有3个（4，－1）；（－1，－1）；（－1，3）.
【总结升华】有一条边相同的全等三角形，可以通过轴对称和旋转的方法找出，注意不要漏解.
举一反三：
【变式】在直角坐标系
中，△ABC关于直线
＝1轴对称，已知点A坐标是（4，4），则点B的坐标是（ ）
A.（4，－4）B.（－4，2）C.（4，－2）D.（－2，4）
【答案】C；
提示：
点A和点B是关于直线
＝1对称的对应点，它们到
＝1的距离相等是3个单位长度，所以点B的坐标是（4，－2）．
类型二、等腰三角形的性质与判定
4、已知：
一等腰三角形的两边长
，
满足方程组
，则此等腰三角形的周长为（ ）
A.5B.4C.3D.5或4
【思路点拨】通过解方程组算出等腰三角形的两边长，由于没有指定边长是腰还是底，所以需要分类讨论，最后还要注意检验能否构成三角形.
【答案】A；
【解析】
解：
解方程组
得
，
当腰为1，2为底时，1＋1＝2，不能构成三角形，
当腰为2，1为底时，能构成三角形，周长为2＋2＋1＝5
【总结升华】本题从边的方面考查等腰三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
举一反三：
【变式】已知等腰三角形的一个内角为70°，则另两个内角的度数是（ ）
A.55°，55°B.70°，40°C.55°，55°或70°，40°D.以上都不对
【答案】C；
提示：
当70°为顶角时,另外两个角是底角，它们的度数是相等的，为（180°－70°）÷2＝55°，当70°为底角时,另外一个底角也是70°,顶角是180°－140°＝40°．
5、（2015秋•淮安校级期末）如图：
（1）P是等腰三角形ABC底边BC上的一个动点，过点P作BC的垂线，交AB于点Q，交CA的延长线于点R．请观察AR与AQ，它们有何关系？
并证明你的猜想．
（2）如果点P沿着底边BC所在的直线，按由C向B的方向运动到CB的延长线上时，
（1）中所得的结论还成立吗？
请你在图
（2）中完成图形，并给予证明．
【思路点拨】
（1）由已知条件，根据等腰三角形两底角相等及三角形两直角互余的性质不难推出∠PRC与∠AQR的关系；
（2）由已知条件，根据等腰三角形两底角相等及三角形两直角互余的性质不难推出∠BQP与∠PRC的关系．
【答案与解析】
解：
（1）AR=AQ，理由如下：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵RP⊥BC，
∴∠B+∠BQP=∠C+∠PRC=90°，
∴∠BQP=∠PRC．
∵∠BQP=∠AQR，
∴∠PRC=∠AQR，
∴AR=AQ；
（2）猜想仍然成立．证明如下：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C．
∵∠ABC=∠PBQ，
∴∠PBQ=∠C，
∵RP⊥BC，
∴∠PBQ+∠BQP=∠C+∠PRC=90°，
∴∠BQP=∠PRC，
∴AR=AQ．
【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质及判定；题中有两个类别的特殊三角形，等腰三角形是两个底角相等，直角三角形是两个锐角互余，还有对顶角相等的条件，为角的关系转化提供依据．
举一反三：
【变式1】（2016·常州）如图，已知△ABC中，AB=AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O．
（1）求证：
OB=OC；
（2）若∠ABC=50°，求∠BOC的度数.
【答案】
（1）证明：
∵AB=AC．
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BD、CE是高，
∴∠DBC＝∠ECB，
∴OB=OC
（2）∵∠ABC＝50°，AB=AC，
∴∠A=180°-2×50°=80°，
∴∠BOC=180°-80°=100°.
【变式2】如图，∠BAC＝90°，以△ABC的边AB、AC为直角边向外作等腰直角△ABE和△ACD，M是BC的中点，请你探究线段DE与AM之间的数量关系．
【答案】ED＝2AM
解：
连接DE，
∵∠BAC＝90°，M是BC的中点
∴AM＝BM＝MC＝
∠EAD＝∠BAC＝90°，AE＝AB，AC＝AD
∴△ABC≌△AED
∴ED＝BC
∴ED＝2AM
类型三、等边三角形的性质与判定
6、如图，设D为等边△ABC内一点，且AD＝BD，BP＝AB,∠DBP＝∠DBC.求∠BPD的度数.
【答案与解析】
解：
如图，连接CD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，又AD＝BD，DC是公共边，
∴△BDC≌△ADC（SSS），
∴∠DCB＝∠DCA＝
×60°＝30°，∠DBC＝∠DAC，
∵∠DBP＝∠DBC，
∴∠DAC＝∠DBP，
又已知BP＝AB，
∴BP＝AC，
∴△DBP≌△DAC（SAS），
∴∠P＝∠ACD＝30°．
【总结升华】本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，在判定三角形
全等时，关键是选择恰当的判定条件．
举一反三：
【变式】（2014秋•东胜区校级期中）如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H．
（1）求证：
△BCE≌△ACD；
（2）求证：
FH∥BD．
【答案】证明：
（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°，
∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，
∴在△BCE和△ACD中，
∵
，
∴△BCE≌△ACD（SAS）．
（2）由
（1）知△BCE≌△ACD，
则∠CBF=∠CAH，BC=AC
又∵△ABC和△CDE都是等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，
∴∠ACH=180°﹣∠ACB﹣∠HCD=60°=∠BCF，
在△BCF和△ACH中，
∵
，
∴△BCF≌△ACH（ASA），
∴CF=CH，
又∵∠FCH=60°，
∴△CHF为等边三角形
∴∠FHC=∠HCD=60°，
∴FH∥BD．
【巩固练习】
一.选择题
1.（2016•北京）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2015•威海模拟）如图，△ABC中BD、CD平分∠ABC、∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，AB=5，AC=7，BC=8，△AEF的周长为（ ）
A．13B．12C．15D．20
3.以下叙述中不正确的是（）
A．等边三角形的每条高线都是角平分线和中线
B．其中有一内角为60°的等腰三角形是等边三角形
C．等腰三角形一定是锐角三角形
D．在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等；反之，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等
4．下列条件①有一个角为60°的三角形；②三个外角都相等的三角形；③一边上的高与中线重合的三角形；④有一个角为60°的等腰三角形．能判定三角形为等边三角形的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5.如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，DE交AB于E,且AB＝BC，则下列结论中错误的是（）
A．BD⊥ACB．∠A＝∠EDAC．BC＝2ADD．BE＝ED
6.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，∠BAC的角平分线AF交CD于E，则△CEF必为（）
A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形
7.下列说法中不正确的是（）
A.等边三角形是轴对称图形
B.若两个图形的对应点连线都被同一条直线垂直平分，则这两个图形关于这条直线对称
C.若△
≌△
则这两个三角形一定关于一条直线对称
D.直线MN是线段AB的垂直平分线，若P点使PA＝PB，则点P在MN上，若
，则
不在MN上
8．如图所示,Rt△ABC中，∠C＝90°,AB的垂直平分线DE交BC于D，交AB于点E．当∠B＝30°时，图中不一定相等的线段有（）
A．AC＝AE＝BEB．AD＝BDC．CD＝DED．AC＝BD
二.填空题
9.如图，O是△ABC内一点，且OA＝OB＝OC，若∠OBA＝20°,∠OCB＝30°，则∠OAC＝_________.
10.如图，△ABC中，∠A＝90°，BD为∠ABC平分线，DE⊥BC，E是BC的中点，∠C的度数为_________.
11.如图，△ABC中，∠C＝90°，D是CB上一点，且DA＝DB＝4，∠B＝15°,则AC的长为．
12.（2014•宝应县二模）如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=60cm，DE=2cm，则BC= cm．
13.点D、E分别在等边△ABC的边AB、BC上，将△BDE沿直线DE翻折，使点B落在B1处，DB1、EB1分别交边AC于点F、G．若∠ADF＝80º，则∠CEG＝．
14．一个汽车车牌在水中的倒影为
，则该车的牌照号码是______．
15.（2016·厦门校级模拟）在等腰△ABC中，AB=AC，AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底边长为_________.
16.三角形纸片ABC中，∠A＝60°，∠B＝80°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，如图所示∠1＝30°，则∠2＝_______．
三.解答题
17.（2015春•宜春期末）已知，在平面直角坐标系中，点M、N的坐标分别为（1，4）和（3，0），点Q是y轴上的一个动点，且M、N、Q三点不在同一直线上，当△MNQ的周长最小时，求点Q的坐标．
18.如图，上午9时，一条渔船从A出发，以12海里/时的速度向正北航行，11时到达B处，从A、B处望小岛C，测得∠NAC＝15°，∠NBC＝30°.若小岛周围12.3海里内有暗礁，问该渔船继续向正北航行有无触礁危险？
19．如图所示，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，且AB＝AE，AC＝AD，求证∠DBC＝
∠DAB．
20．如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，BD＝CE，M是AC边的中点，求证△DEM是等腰三角形．
【答案与解析】
一.选择题
1.【答案】D；
【解析】A、是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项正确．
2.【答案】B；
【解析】解：
∵EF∥BC，
∴∠EDB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠CBD，
∴∠EDB=∠EBD，
∴BE=ED，
同理DF=CF，
∴△AEF的周长是AE+EF+AF
=AE+ED+DF+AF
=AE+BE+CF+AF
=AB+AC
=5+7
=12．
故选B．
3.【答案】C；
【解析】等腰三角形还有钝角三角形和直角三角形．
4.【答案】B；
【解析】②④均能判定三角形为等边三角形.
5.【答案】C；
【解析】因为BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，所以∠EBD＝∠DBC＝∠EDB，故B、D成立，由等腰三角形三线合一的性质知A成立.
6.【答案】A；
【解析】∠CFA＝∠B＋∠BAF，∠CEF＝∠ECA＋∠EAC，而∠B＝∠ECA，∠BAF＝∠EAC，故△CEF为等腰三角形.
7.【答案】C；
【解析】全等的两个三角形不一定关于一条直线对称.
8.【答案】D；
【解析】由角平分线的性质结合∠B＝30°，可知A、B、C均成立.
二.填空题
9.【答案】40°；
【解析】△AOB与△BOC与△AOC均为等腰三角形,∠OAC＝
＝40°.
10.【答案】30°；
【解析】证△BDE≌△CDE，∠ABD＝∠DBE＝∠C＝30°.
11.【答案】2；
【解析】∠ADC＝30°，
.
12.【答案】62；
【解析】解：
延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，作DF∥BC，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AN⊥BC，BN=CN，
∵∠EBC=∠E=60°，
∴△BEM为等边三角形，
∴△EFD为等边三角形，
∵BE=60，DE=2，
∴DM=58，
∵△BEM为等边三角形，
∴∠EMB=60°，
∵AN⊥BC，
∴∠DNM=90°，
∴∠NDM=30°，
∴NM=29，
∴BN=31，
∴BC=2BN=62，
故答案为62．
13.【答案】40°；
【解析】∠BDE＝
，∠BED＝∠DEG＝180°－50°－60°＝70°，所以∠CEG＝40°.
14.【答案】W5236499
【解析】只需将倒影沿垂直旋转180°即可，因此该车的牌照号码为：
W5236499.
15.【答案】16或8；
【解析】∵BD是等腰△ABC的中线，可设AD=CD=
，则AB=AC=
，根据题意可分两种情况：
①AB+AD=15，即
，解得
，此时BC=
；
②AB+AD=21，即
，解得
，此时BC=
；
经验证，这两种情况都是成立的.
∴这个三角形的底边长为8或16.
16.【答案】50°；
【解析】∠C＝40°，根据折叠图形对应角相等及三角形内角和定理，∠2＝50°.
三.解答题
17.【解析】
解：
作点N关于y轴的对称点N′，连接MN′交y轴于点Q，
则此时△MNQ的周长最小，
理由：
∵点N的坐标是（3，0），
∴点N′的坐标是（﹣3，0），
过点M作MD⊥x轴，垂足为点D
∵点M的坐标是（1，4）
∴N′D=MD=4
∴∠MN′D=45°，
∴N′O=OQ=3，
即点Q的坐标是（0，3）．
18.【解析】
解：
该渔船继续向正北航行有触礁危险
作CD⊥AB于D，
由题意AB＝24，
∵∠NAC＝15°，∠NBC＝30°
∴∠ACB＝15°，AB＝BC＝24
在直角三角形BCD中，DC＝
＝12，
∵12＜12.3，∴该渔船继续向正北航行有触礁危险.
19.【解析】
证明：
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠CAB
在△DAE和△CAB中，
∴△DAE≌△CAB（SAS），
∴∠BDA＝∠ACB，
又∵∠AED＝∠CEB，
∴∠ADE＋∠AED＝∠ACB＋∠CEB，
∵∠DAE＝180°－（∠ADE＋∠AED），∠DBC＝180°－（∠ACB＋∠CEB），
∴∠DAE＝∠DBC，
∵∠DAE＝
∠DAB，
∴∠DBC＝
∠DAB．
20．【解析】
证明：
连接BM，
∵AB＝BC，AM＝MC，
∴BM⊥AC，且∠ABM＝∠CBM＝
∠ABC＝45°，
∵AB＝BC，所以∠A＝∠C＝
＝45°，
∴∠A＝∠ABM，所以AM＝BM，
∵BD＝CE，AB＝BC，
∴AB－BD＝BC－CE，即AD＝BE，
在△ADM和△BEM中，
∴△ADM≌△BEM（SAS），
∴DM＝EM，
∴△DEM是等腰三角形．
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